一種基于本征正交分解的并群方法

武世伏,張 乾,張晉超,趙 強,*

(1.哈爾濱工程大學 核安全與仿真技術國防重點學科實驗室,黑龍江 哈爾濱 150001;2.浙江大學 物理學系 浙江近代物理中心 先進核能理論與應用實驗室,浙江 杭州 310058)

核電仿真機在核電人員培養和安全運行中起著無法替代的作用,堆芯物理的研究是仿真機的核心研究內容之一[1]。由于計算效率的限制,目前仿真機中應用的堆芯物理計算方法仍以確定論兩步法為主。在當前的確定論方法中,多群方法是對能量進行離散處理的主要方法,其精度直接影響到反應堆物理的求解精度[2]。在理論上,能群劃分得越細,多群方法計算的結果越精確。但在實際的確定論方法中,由于實際計算資源的限制,能群不能無限細化。一般是對能群進行多次歸并來降低能量離散對于計算資源的需求,但每次能群的歸并都會引入一定的近似誤差[3]。同時,在傳統兩步法的組件計算至堆芯計算的能群歸并中,組件計算一般為全反射邊界,這種歸并方法難以描述新型堆芯設計中的復雜組件間干涉效應[4]。

取消能群歸并的全堆芯一步法或采用連續能量的蒙特卡羅方法,是提高反應堆物理計算保真度的有效手段,但由于計算資源的限制,全堆芯一步法和連續能量的蒙特卡羅方法距離工程實際應用仍有一定的距離[4]。因此,在保證計算效率的情況下優化當前計算框架、提高計算精度是提升堆芯計算保真度的有效辦法。廣義多群方法是近年來提出的一種新型并群方法,這一方法利用正交基函數在少群內重構精細能群結構,提供了一種在少群結構下利用與少群計算接近的計算資源近似恢復多群能譜的方法[5]。基于這一理論,進一步發展出了針對連續能量到多群的廣義多群方法[6]和由多群到少群的離散廣義多群(DGM)方法[7]。然而,與傳統并群方法相比,采用離散勒讓德正交基的DGM方法的基本形式會需要高階展開才能有效保留多群能譜中的物理信息,在并群計算過程中需要更高的內存容量和計算資源[8]。快照與本征正交分解結合可以生成在低階展開中便有效包含樣本快照中物理信息的正交基函數[9]。這種包含物理信息的離散正交基函數應用在廣義離散并群方法中發展成了一種新型并群方法,這一方法可通過低階截斷的方式有效降低廣義并群方法對于計算資源的需求,從而在較低的計算資源需求下達到與多群計算近似的能量分辨率。

本文基于離散廣義多群方法,使用一系列小型樣本快照在KLT(K-L變換)下生成通量的本征正交基函數,并進行截斷的廣義并群計算,對一維UO2和MOX組件在不同截斷階數下的特征值、能譜重構效果進行研究。

1 理論方法

1.1 離散廣義多群方法

Zhu等[10]于2011年發展了DGM方法,采用離散勒讓德正交基獲得從細群截面映射到粗群截面的截面矩。粗群截面矩可用于少群計算得到對應的粗群通量矩。利用基函數可將粗群通量矩擴展為細群通量矩。產生的細群通量可用于更新粗群截面的截面矩,反復進行直至收斂。

DGM方法在一維SN方程中的多群表述[2]為:

(1)

式(1)中φc,g＇,l為:

(2)

式中:Nα為角度離散的個數;對于選擇的正交方法,wα為對應于離散角度μα的權重。

將g個細群劃分到G個粗群中,多群公式可表示為:

(3)

(4)

式中,i為基函數的階數。

同時定義φc,G,i,l、ψc,α,G,i為:

(5)

(6)

由此可定義從細群結構到粗群結構的映射關系為:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

聯系式(6)～(8)可得到:

(12)

將式(6)、式(9)～(12)代入式(4),可得到:

(13)

1.2 本征正交分解

離散勒讓德正交基函數本身不包含目標問題的物理信息,因此需要較高的階數才能有效重構多群能譜中的物理信息,達到合理的通量誤差。因此傳統的DGM方法在低階截斷下重構的少群通量與多群偏差較大,導致能譜和特征值計算的結果與多群計算偏差較大[12]。本征正交分解(POD)采用具有代表性的小型樣本作為快照,生成正交基,可以有效獲得樣本中的物理信息,提高低階截斷下的計算精度。POD的核心是將一個離散的或者連續的函數f(x)進行截斷展開,獲得具有對應展開階的最小二乘誤差的正交基[9]。在該方法的一些其他應用領域,如圖像壓縮中,f(x)是已知的,在其他的應用領域如流體動力學中,f(x)則是未知的[11]。采用這一正交基代替傳統的離散勒讓德正交基便可以發展出一種新的并群方法。

在本文工作中,快照是一個與能譜相關的函數[13]。由于在實際求解問題中的中子通量是一個未知量,因此需要設置一些具有代表性的小規模樣本快照來獲取與測試問題近似的通量形狀,從而通過奇異值分解(SVD)得到含有近似物理信息的本征正交基函數。

通過向量dn可以表示快照中每一個空間單元的通量,這些向量組合成為1個M×N的矩陣D,其中M是能群的數目,N是快照的數量。該正交基首先定義1個半正定矩陣B=DTD,這一半正定化矩陣過程可有效簡化矩陣計算量。同時對B進行奇異值分解得到下式:

(14)

式中:UB和VB為N×N酉矩陣,包含左右奇異向量;ΣB為包含奇異值的對角N×N矩陣;Q為N×N酉矩陣,包含B的特征向量,對應的特征值包含在Λ中。

(15)

為了形成POD基,將其特征值和對應的向量按照降序排列,將0階基作為最基本的模態。將快照投射到模態上可得到:

pj=Dqj或P=DQ

(16)

式中:P∈RM×N;qj為Q中降序排列中的第j個向量。

將得到的向量pj進行標準正交化,得到對應的POD基。任意長度M的f可近似表示為:

(17)

式中,aj=fTpj。

POD基創建了1組長度為M的基向量,只要保證快照近似于函數f,這些基向量就可提供最小二乘誤差意義上的最佳K階展開。當N≥M時,P是1組完整的基,任意長度M的向量f都可用P的前M個向量精確表示。

2 程序設計

2.1 并群算法

為了測試基于POD的新型并群方法在截斷基下的表現效果,采用Reed等[11]開發的一維并群程序Unotron進行計算。Unotron采用16角高斯積分和菱形差分處理角度變量和空間變量,并以Krasnoselskij迭代替代傳統的Picard不動點迭代,其基本過程如式(18)所示,以降低迭代速度為代價提高收斂的穩定性,減少負通量的產生[2]。

x(n+1)=(1-λ)xn+λAxn

(18)

式中:x為迭代值;n為迭代次數;λ為松弛因子;A為算子。

由式(11)可發現,裂變譜的矩不依賴于重構的能群通量,可在重構前先計算裂變譜的矩,然后使用當前迭代的正交基和精細群通量來計算截面矩,進而采用輸運求解器求解0階通量矩和特征值。最后如式(13)所示,利用0階解求解高階矩的源項。在得到當前所有的矩后,便可使用正交基更新細群通量,并在下一次迭代計算過程中更新截面矩,直到達到收斂條件。DGM方法計算流程如圖1所示。

圖1 DGM方法計算流程圖

2.2 少群結構劃分

Gibson等[2]提出了DGM方法中粗群結構選擇的基本準則,這一準則同樣適用于新的并群方法。通過選擇適當的粗群結構,可以在Krasnoselskij迭代中使用更高的λ減少迭代次數,提高計算效率。這一準則的基本要求如下:1) 限制粗群中細群總截面最大值與最小值的極限比;2) 在總截面較小的粗群中放寬極限比;3) 限制粗群中的細群數目;4) 當需要時,強制劃分粗群。

本研究中,對于4群的少群結構具體采用的數據是:截面極限比例為1.3;如果粗群中最大的總截面小于1.0 cm-1,忽略該比例限制;每個粗群中最多含有60個細群。在2群的少群結構中則將最大最小截面比值擴大到5。

2.3 問題描述

為測試基于POD分解的并群方法在恢復新型反應堆堆芯設計造成的局部復雜能譜中的表現,采用UO2和MOX兩種材料設計測試問題,構建局部復雜干涉能譜[14]。同時,為降低復雜空間效應對并群方法機理的干擾,采用一維設計,最終形成結構和尺寸如圖2所示的測試問題。問題共包含5個UO2柵元和5個MOX柵元,兩側采用反射邊界。每個柵元的燃料劃分為28個空間區域、6個水區域和22個燃料區域[15]。

圖2 柵元尺寸與排布

POD方法需要適當的具有代表性的能譜快照來構建正交基,在理論上,效果最好的能譜應當是由測試問題本身構建的正交基,但在實際反應堆物理計算過程中,這一快照是未知量,但通過這一快照可獲得當前階數下的最佳結果。因此,在本文中這一快照用作與其他快照比較的對照,命名為full-basis。為測試不同快照恢復精細能譜的效果,分別采用具有空間結構的UO2和MOX柵元、單獨的UO2柵元和MOX柵元、單獨UO2柵元、單獨MOX柵元進行44群精細化計算,以獲得能譜作為快照構建正交基,并分別命名為combine-basis、junction-basis、UO2-basis、MOX-basis。所有快照都在全反射邊界條件下進行計算。

3 數值結果

3.1 4群結果

采用2.2節的能群劃分方式,生成的少群中的多群編號列于表1。不同正交基在不同截斷階數下的特征值如圖3所示。由圖3可見:所有正交基在0階下,即傳統并群方法下的特征值偏差均為1 359 pcm;在高階下,以50 pcm偏差為參考值,對于full-basis在4階下便可以穩定收斂到這一范圍內,但由于這一正交基是無法預先得到的,因此表現最好的是combine-basis,在7階時便可以將特征值偏差穩定在50 pcm以內,為37 pcm,其次便是junction-basis,在9階時穩定在50 pcm偏差之內,為49 pcm,這兩種正交基都是由包含完整柵元信息的快照生成的,combine-basis由于包含柵元間能譜干涉的信息而表現得更好。而UO2-basis和MOX-basis由于包含的物理信息不完整,表現相對較差,只有在全階下才會有較好的特征值偏差結果。由于在SN方法低階截斷計算過程中會出現負通量,導致了低截斷階下即使是full-basis基函數,在重構能譜過程中也會出現負通量的問題,進而導致了特征值收斂的不穩定,即3階時出現了特征值偏差的變大。

表1 4群少群結構

圖3 不同截斷階下的4群特征值

圖4示出5階截斷不同正交基的能譜偏差。圖4中各種正交基在5階下與44群精細計算的能譜的偏差可以進一步證明這一結論。由于低截斷階下負通量的存在,在本研究中為統一這一過程,對最終統計的能譜采取了取絕對值的處理。在5階能譜偏差中,combine-basis的相對偏差與full-basis基本重合保持在1%以內,junction-basis的相對偏差稍差一些,但可以控制在5%以內,UO2-basis和MOX-basis的相對偏差遠高于其他3種正交基。

為進一步分析combine-basis在能譜重構上的精度,對測試問題整體能譜、結合處UO2柵元能譜、結合處MOX兩種柵元能譜與44群精細化計算的能譜之間的偏差進行了比較,分別如圖5～7所示。

圖5 組件能譜與偏差

圖6 結合處UO2柵元能譜及偏差

圖7 結合處MOX柵元能譜及偏差

對于測試問題,采用combine-basis時,在7階時便可對測試問題的能譜進行有效恢復,各能群通量相對偏差均小于0.3%。對于空間干涉最明顯的結合處的UO2和MOX柵元的能譜重構,在7階時各能群通量相對偏差均小于0.5%。相較于POD并群方法的表現,0階能譜即傳統并群方法的能譜與精細化能譜在少群下的平均通量相比,在效果最好的第1群相對偏差也在14%以上。

傳統并群方法的偏差遠高于POD并群方法,原因就是傳統的并群方法中采用全反射邊界條件,不考慮組件間的干涉效應,造成了實際的能譜和并群后的能譜偏差較大。而基于POD的并群方法通過選取合適的樣本空間,在正交基函數中有效包含了能譜干涉的物理信息,從而在少群計算中有效恢復了受到干涉影響的能譜,提高了少群能譜和特征值的計算精度。

3.2 2群結果

為進一步探索POD并群方法的能譜重構效果,測試了兩種并群到2群的方法和對應的結果。第1種為不遵循Gibson等[2]的并群條件,按照傳統快熱2群劃分方式進行能群歸并,但程序出現了無法收斂的情況。第2種采用放寬并群條件的方法,將并群條件中的截面極限比例調整為5,其他條件不變,在這一并群條件下的少群結構列于表2。

表2 2群少群結構

在這一少群結構下,測試問題中原本表現較好的 combine-basis正交基下的特征值與基準偏差如圖8所示。可以發現隨著階數增大,特征值在7階達到50 pcm以內,并群效果略差于4群,整體結果較為理想,但計算效率相對較低。對combine-basis的能譜做進一步分析,如圖9所示,可以發現在2群能群結構下能譜重構效果同樣較好,但同階下偏差整體高于4群的結果。

圖8 不同截斷階下2群特征值偏差

圖9 combine-basis 2群重構能譜及偏差

4 結論

本文面向基于本征正交分解的廣義并群理論在一維UO2和MOX組件中的效果進行驗證,首先針對不同快照生成的正交基的計算精度進行對比分析,可以發現具有空間結構UO2和MOX柵元生成的combine-basis是所有實際可用的正交基中表現最好的,在7階時便可以達到37 pcm以內的偏差,同時計算時間可以和4群計算控制在同一量級下。為進一步分析combine-basis正交基的能譜重構效果,對其在不同少群結構和截斷階數下的能譜重構情況與偏差進行了分析,發現在符合Gibson等提出的并群規則的4群結構中,combine-basis可以有效地恢復測試問題的精細能譜,并且在干涉效應最為明顯的UO2和MOX柵元結合位置的裂變材料能譜重構效果同樣較好,在截斷階數為7階時,測試問題的整體能譜中偏差最大能群的通量相對偏差在0.3%以內,干涉效應最明顯的結合處柵元能群通量的最大相對偏差在0.5%以內,精度遠高于標準并群方法得到的結果。將這一方法作為子程序嵌入到兩步法堆芯計算程序中,通過與combine-basis正交基類似的樣本空間選取規則選取適當的樣本空間進行計算,并進行本征正交分解獲得含有能譜干涉物理信息的正交基函數,對堆芯計算的少群進行重構,可有效降低堆芯計算與組件計算的能譜偏差,提高堆芯計算保真度。這一方法在放寬并群規則后的兩群結果中通量重構結果略差于4群結果,但由于能群劃分規則與傳統快熱2群有所不同,基于POD的并群方法直接應用于常規堆芯2群擴散計算仍有一定問題,這將是后續研究中需要關注的一個問題。同時,本研究結果只是針對本征正交分解的廣義并群理論在一維問題中的初步應用,面向更加接近實際工程需求的二維和拉伸三維問題,在樣本快照選擇上還沒有明確的方法。在本研究中,combine-basis作為干涉效應最強、包含物理信息最豐富的樣本快照制作的正交基,能夠最有效地重構精細能譜。這一結論可為后續復雜問題的廣義并群研究提供一定思路,即對于二維和拉伸三維問題,可以采用選取小型干涉效應明顯的柵元結構進行交叉排列組合的方式來獲得有效包含目標問題物理信息的樣本快照,但其有效性仍需要后續的數值結果進行驗證。