整體建構，從表象到本質
——兼評《乘法的初步認識》一課

文|劉 松（特級教師）

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）再次明確了數學的學科屬性。數學是研究數量關系和空間形式的科學。數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系；基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構建等，形成數學的結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律。如何讓學生經歷數學概念（比如：乘法）產生的全過程，讓學生學會像學科專家一樣思維，是數學教育永恒不變的追求。因為，只有經歷了類似數學學科專家式的思維，學生的數學素養才能真正形成。

依據新課標，《乘法的初步認識》一課屬于第一學段“數與運算”主題領域，該主題“內容要求”共6 條，與本課有關是最后兩條：探索乘法的算理與算法，會簡單的整數乘法；在解決生活情境問題的過程中，體會數和運算的意義，形成初步的符號意識、數感、運算能力和推理意識。相應的“學業要求”是：能描述乘法運算的含義，知道乘法是加法的簡便運算。“教學提示”則為：在具體情境中，啟發學生理解乘法是加法的簡便運算。在教學活動中，始終關注學生運算能力和推理意識的形成與發展。

顯然，新課標中已經非常明確地說明了《乘法的初步認識》一課所應落實的四個數學核心素養——符號意識、數感、運算能力和推理意識，以及應該采用的基本教學方式——在具體情境中，啟發學生理解乘法是加法的簡便運算。目標和方式已然明確，如何才能做得更好呢？

通過文獻查閱會發現，《乘法的初步認識》一課，許多名師和專家都有過精彩的演繹，一線教師可以秉承拿來主義，學習模仿即可。但此課內容看似簡單，其實不然！克萊因說過，“歷史順序通常是正確的順序，數學家所經歷的困難，正是我們的學生要經歷的困難”。從加法到乘法，對教師來說只一步之遙，對學生來說卻是一個質的飛躍。近期，工作室的張聰聰和徐浩兩位年輕教師就此課做了部分探索和嘗試，頗有些啟發。

一、乘法初步——認知結構的重要樞紐

小學生的數學認知結構主要是加法結構和乘法結構，而乘法結構是在加法結構基礎上產生的高層次的數學認知結構。學生加法結構的構建為后續數學學習提供了最基本的知識準備和心理發展準備。乘法結構是心理學家吉爾德·維格諾德提出的，乘法結構不是指單一的認識乘法，而是一個概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關的倍、最大公因數、最小公倍數、運算規律甚至面積、體積、表面積、速度等概念和定律。

“乘法的初步認識”是從特殊的加法角度學習的，還是“合并”與累加的過程，本質上仍是“加法結構”。毋庸置疑，乘法概念的建立，是整個乘法結構大廈建立的起點和基石。在整個小學階段的數學認知結構中，“乘法的初步認識”處于承上啟下的重要節點位置。正因如此，張聰聰老師的教學，定位從“數數”開始，感受運算的一致性，不可謂視野不大！很像北師大版教材的編排特點——數一數與乘法。對于時下熱議的整體教學，江蘇省現任小學數學教研員郭慶松老師有句精彩的解釋：“格局足夠大，就是整體教學。”筆者特別喜歡這句既通俗又深刻的闡釋。年輕的張老師顯然在努力為之，值得點贊！

但僅僅是從“數數”開始，遠遠不夠，更重要的是，必須讓學生明白乘法與加法的聯系，經歷并體驗乘法如何從“特殊加法（加數相同）”中“生長”出來的全過程。所以，張老師教學的核心環節是展開“數數”，對比分析理解“幾個幾”（如下圖）。這幾乎是所有教師在教學時都必須濃墨重彩的關鍵步驟。如此，乘法的認識緊緊圍繞相同加數加法展開，學生在看見乘法“生長”的同時，可以真切地感悟到乘法的本質。

二、結論優化——概念建構的重要支撐

對于乘法概念的建立，現行人教版教材編排與過去沒有多大改變。例1 三幅“等組模型”的情境圖，得出3＋3＋3＋3＋3＝15、6＋6＋6＋6＝24、2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝14 三個加法算式后，教材直接給出一句話：這種加數相同的加法，還可以用乘法表示。如此編排，當然很好！蘇教版、北師大版等教材也基本都是類似的表述。且一線教師們更是充滿了智慧，很好地彌補了現行教材中限于篇幅所致的共性“不足”，巧妙地解答了來自學生的疑問：明明可以用加法運算解決問題，為什么還要學習乘法？而且也并沒有體現出多么簡便啊？

教師都是怎么做的呢？大部分教師會運用夸張的手法，把相同加數連加的加法算式寫得很長，讓學生真真切切地感覺到這樣寫的確很麻煩，進而認為還是乘法算式簡潔。如此經典的手法，筆者30 年前初見時，曾佩服不已。但用新課標的要求審視，是否還存有改進空間呢？再冷靜地想一想，如此教學，是否依然浮在表面，不夠深入呢？從落實核心素養的角度，上述符號意識、數感、運算能力和推理意識這四個核心素養都落實到位了嗎？我們是否還丟失了更為重要的核心素養？

乘法產生的真實過程，究竟如何？筆者比較贊同徐浩老師在課前思考中的觀點，應該是人們在發現了相同加數連加這一類加法算式的特點，得到“計算的結果只與加數本身和加數的個數有關”這一重要結論（規律）之后，繼而想到優化此類加法算式的算法，從而得到新的運算方法——乘法。學生應該經歷：探究發現規律，探討得到結論，再想到“創造新的運算”來解決問題的邏輯過程。經歷這樣的探究過程雖然困難，但是非常必要，這才是學科專家式的思維。今人無法回到當初，但我們完全可以引導學生經歷前人曾經的思維歷程。

加法不是數學運算的全部，四則運算也不是數學運算的全部，當現實需求與數學自身發展遇到需要新的運算方式時，我們需要引導學生意識到，如果現有的運算方式相對麻煩，可以想一想能不能找到某種規律（特征或結論），然后創造一種全新的運算或方式來解決問題。如果教給學生加法，是為了讓學生能夠想到用抽象的數學符號來刻畫現實世界，那么教給學生乘法，就應該是為了讓學生能夠想到用新的數學符號與形式來優化對數學世界的刻畫。教學到這一層次，學生才有可能真正理解為什么許多相同加數連加的加法算式改寫成新的運算“乘法”時，只需要兩個數（被乘數和乘數）即可，這才是更為深刻的理解。同時也更能體會到新的符號“×”產生的價值和意義。在此過程中，還培養了學生的創新意識。談到創新意識，不僅僅是新課標強調的核心素養的主要表現之一，其實，這是數學教育的終極目的所在。

三、矩陣表征——知識融通的重要手段

前文中寫到被乘數和乘數，可能有教師會提出疑問，現行教材中不是早已不再區分了嗎？是的！上文的表達，除了對應相同加數加法的和只與“加數本身”及“加數的個數”兩個因素有關外，還想表達的是，現在不區分了，不代表數學事實不存在。過去教材中強調被乘數和乘數的區別，的確給學生的學習帶來很大困擾，許多學生學了很久后，依然分不清楚，等到好不容易分清楚了，乘法交換律又出現了，教師和學生會頓時感到，兜兜轉轉，費了很大的努力，又回到了原點，似乎前面的功夫都白費了。所以，現行教材不再強調被乘數和乘數的區別，筆者雙手贊成！但是，不區分，學生的學習負擔減輕了，是否又帶來了新的學習負擔？

從張聰聰老師的學情分析中可以看出，下述“錯誤”，如果沒有圖示，單看加法算式和乘法算式，其實是完全正確的。再進一步，即便有圖示，學生若反駁，他就是“兩兩一組（8 條腿）”看的，教師又該如何解釋才能讓學生心悅誠服？

問題出在哪？其實教師們都明白！當被乘數和乘數不再區分后，有兩個現實問題擺在學生面前，就是要理解并清晰分辨一幅圖（如下圖）。

可以列出兩道乘法算式8×4和4×8。反之，一道乘法算式背后對應著兩幅圖。比如8×4，對應的等組模型可以是每組8 個，有同樣的4 組；也可以是每組4 個，有同樣的8 組。（如下圖）

這對部分數理智能較好的學生而言，理解起來沒有問題。但對全體學生而言，掌握起來會有一定的困難。

如何降低學生的學習困難？比較有效的方法之一，就是把上述兩幅圖整合為一幅圖，通過“橫著看”“豎著看”的引導，讓學生盡快感悟并理解“矩陣模型”。顯然，兩位年輕教師都意識到了這一點，在課的最后板塊，都巧妙地呈現出來。

張老師的做法是，通過兩幅圖對比，而后過渡到矩陣圖（如下圖）。

徐老師則直接出示兩幅矩陣式鴨子圖，分別橫著看和豎著看，學生可以直觀地發現，一幅圖可以對應兩道乘法算式。

然后徐老師追問：可否把6＋6＋6＋6＝24 與4＋4＋4＋4＋4＋4＝24 也用一幅圖來表征，學生即刻得出下圖。

殊途同歸，百慮一致！兩位年輕教師的教學，雖然具體路徑不同，但最終都走到了一起。

對《乘法的初步認識》一課的研究，遠不止這些。以上僅是自己粗淺的一些想法。兩位年輕教師的教學中，也同樣存在一些瑕疵和不足，懇請各位方家批評指正！