從知識序列到模型建構(gòu)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有序發(fā)生

【摘要】數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性決定了知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)必須基于學(xué)科自身的發(fā)展序列。只有經(jīng)歷完整的、有序的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感知和體驗(yàn)，學(xué)生才能掃清障礙，更好地遷移應(yīng)用知識。以長度單位推算教學(xué)為例，學(xué)生需真正經(jīng)歷完整的、直觀的操作過程，才能逐步形成有效的技能模型，在實(shí)際運(yùn)用中借助模型進(jìn)行有序思考，從而正確推算。

【關(guān)鍵詞】單位推算；知識序列；模型建構(gòu)

作者簡介：朱秋虹（1978—），女，江蘇省蘇州市吳江區(qū)盛澤實(shí)驗(yàn)小學(xué)。

一、源起：由單元練習(xí)引發(fā)的思考

結(jié)束“分米和毫米”這一單元的教學(xué)，學(xué)生單元練習(xí)的結(jié)果不容樂觀。筆者反思：這個單元的教學(xué)問題出在哪里？怎樣才能利用好教材和補(bǔ)充習(xí)題，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍？

筆者整理錯題，發(fā)現(xiàn)以下習(xí)題錯誤率較高。

1.70米=（）分米

2.把下面各長度按從長到短的順序排列：95厘米

6分米 10厘米 19毫米 10分米

3.某地區(qū)2012～2020年的年平均降水量是590（）（填合適的長度單位）

4.17粒大米接排在一起，量得長度大約是1分米。170粒這樣的大米接排在一起的長度大約是（）米，1700粒這樣的大米接排在一起的長度大約是（）米。

學(xué)生能較好地完成基礎(chǔ)習(xí)題，而面對上述難度不算大的習(xí)題時，為什么錯誤率就顯著提升了呢？分析學(xué)生做錯題的原因，有助于改進(jìn)教學(xué)，幫助學(xué)生提升解題能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

二、追因：推算意識和能力的缺失

（一）重復(fù)練習(xí)下的思維定式困擾

前述第1題，70米=7分米，這樣的錯誤答案，源于學(xué)生習(xí)慣用添0或去0的方法來做題。不論是教材還是配套的補(bǔ)充習(xí)題，遇到類似于“7分米=（）厘米”“40毫米=（）厘米”這樣的題時，學(xué)生很容易在做題中形成添0或去0的慣性思維，因而導(dǎo)致學(xué)生在解答“70米=（）分米”時，習(xí)慣性地去0。

重復(fù)性的練習(xí)導(dǎo)致學(xué)生在方法和技能上的固化，造成思維定式，解題時的推算過程不再完整。思維定式的產(chǎn)生偏離了知識形成的正確發(fā)展軌道，以固定的方式方法替代了應(yīng)有的分析，使推算變成一種機(jī)械的數(shù)字操作活動。

（二）以數(shù)字替代直觀體驗(yàn)的認(rèn)知偏差

前述第2題，在從長到短的排列中，10分米、6分米、95厘米的排列正確率很高。學(xué)生主要錯在19毫米和10厘米的比較，厘米和毫米在學(xué)生的印象中都是比較短的長度單位，19明顯大于10，所以學(xué)生忽略了加上單位后長度的實(shí)際大小。

這樣的認(rèn)知偏差產(chǎn)生的根本原因在于學(xué)生沒有形成對長度單位的正確認(rèn)知和換算的意識。對長度單位形成正確認(rèn)知，依賴于學(xué)習(xí)過程中有序的操作體驗(yàn)活動，當(dāng)學(xué)生將操作活動的結(jié)果而不是操作中的直觀感知建構(gòu)到自己的知識體系中時，才能形成正確的換算意識，發(fā)展邏輯思維能力。

（三）已有知識經(jīng)驗(yàn)或生活經(jīng)驗(yàn)的不足

關(guān)于第3題，年平均降水量這一術(shù)語離學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)較遠(yuǎn)，加上二年級學(xué)生的推算能力有限，不善于進(jìn)行比較分析，因此解起題來存在一定困難。關(guān)于第4題，由于學(xué)生還沒有接觸關(guān)于“倍”的知識，因此理解起來也存在一定困難。

學(xué)生能比較好地完成教材或補(bǔ)充習(xí)題上的基礎(chǔ)習(xí)題，而面對上述習(xí)題時，為什么錯誤率就顯著提升了呢？關(guān)鍵在于學(xué)生缺乏相關(guān)的知識經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，個人知識體系的建構(gòu)不夠完善，無論是對單位長度的推算還是對相關(guān)知識點(diǎn)的理解，學(xué)生都只停留在數(shù)字換算階段，推算過程缺乏有序性。

三、行動：推算能力培養(yǎng)的實(shí)踐策略

（一）完善認(rèn)知序列，讓推算有序展開

學(xué)生建構(gòu)認(rèn)知的過程，也是思維發(fā)展的過程，這是一個從外部的物質(zhì)活動向內(nèi)部的智力活動轉(zhuǎn)化的過程。從建立表象到借助實(shí)物進(jìn)行實(shí)際操作活動，再到不依賴實(shí)物而借助出聲言語進(jìn)行活動，直至能自動化地進(jìn)行內(nèi)部言語活動［1］，在此過程中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生經(jīng)歷操作測量活動，再到能夠進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的語言表達(dá)，使學(xué)生的推算過程有序展開。

1.借助直觀，明晰方法

低年級學(xué)生以直觀、形象思維為主。長度單位的學(xué)習(xí)以操作體驗(yàn)活動為主，旨在讓學(xué)生形成直觀感知。教師要將教材中的直觀圖用到位，挖掘題目的最大價值，借助直觀圖，幫助學(xué)生將實(shí)物與長度概念建立聯(lián)系，并能加以準(zhǔn)確運(yùn)用。

在“認(rèn)識毫米”的教學(xué)中，教材配套練習(xí)安排如圖（見圖1）。針對第1題，教師應(yīng)該結(jié)合直尺，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)的過程，通過清晰的表達(dá)，理解長度單位的換算。同時，教師還可以當(dāng)場出題，讓學(xué)生看著直尺進(jìn)行即時的單位換算，幫助學(xué)生建立單名數(shù)和復(fù)名數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，了解在描述某一物體的長度時可以有不同的表述方法。

2.操作測量，鞏固技能

動手實(shí)踐是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式之一。實(shí)際測量，動手操作，是學(xué)生將習(xí)得的知識方法進(jìn)行輸出的活動，方法技能掌握到位的學(xué)生就能順利地實(shí)現(xiàn)知識的有效運(yùn)用。

教材配套練習(xí)的第2題（見圖1）要求學(xué)生通過測量寫出每條邊的長，這是對前一個活動的延伸，旨在讓學(xué)生從看著圖片讀出長度，過渡到自己測量后得出數(shù)據(jù)。教學(xué)時，教師同樣應(yīng)該讓學(xué)生分享思考和換算的過程，其中既有厘米和毫米之間的換算，如3厘米就是30毫米，4厘米就是40毫米；又有單名數(shù)和復(fù)名數(shù)之間的換算，如2厘米5毫米就是25毫米。學(xué)生在測量和讀取數(shù)據(jù)的過程中，能夠逐漸從具象思維發(fā)展到抽象思維。

3.思考表達(dá)，抽象模型

2022年版數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出，要重視數(shù)學(xué)內(nèi)容的直觀表述，處理好直觀與抽象的關(guān)系。“會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的主要表現(xiàn)之一是“模型意識”。經(jīng)歷實(shí)際測量的操作活動，學(xué)生積累了大量的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，能夠準(zhǔn)確運(yùn)用長度單位來表述測量結(jié)果。通過對這些活動經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的語言表達(dá)，學(xué)生便可逐步完成知識抽象化的過程，建立思考模型。

教材中的例3（見圖2）是單位換算教學(xué)，是知識直觀后的再抽象。從利用直尺進(jìn)行分析，到不借助直尺進(jìn)行推算，教材有意讓學(xué)生的推算能力再提高一個層次。此時的推算是一個完整的思維演練過程，比如，要得出70米等于多少分米，要先想到1米=10分米，70米是70個10分米，也就是700分米。學(xué)生表達(dá)換算的過程，本質(zhì)上就是建構(gòu)思維模型的過程。建構(gòu)好這一思維模型，是學(xué)生將來以不變應(yīng)萬變的能力根基。

從利用直尺經(jīng)歷數(shù)的過程讀出長度，感受厘米和毫米之間的換算關(guān)系，到?jīng)]有直尺的幫助，直接利用單位之間的進(jìn)率進(jìn)行換算，教材從直觀的“扶”逐漸走向抽象的“放”，教師的教學(xué)也要讓學(xué)生推算能力的發(fā)展經(jīng)歷從“扶”到“放”的過程，從數(shù)數(shù)走向推理。

（二）充實(shí)教學(xué)內(nèi)容，讓推算有廣度和深度

1.基于教材改編，打破思維定式

教學(xué)不能只依托教材，而應(yīng)該用教材來教。教學(xué)內(nèi)容必須是在教學(xué)過程中師生共同創(chuàng)造的作品，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，對教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帲猿鋵?shí)教學(xué)內(nèi)容［2］，讓學(xué)生在不斷變化的問題解決情境中自主地進(jìn)行單位換算，把握推算的本質(zhì)，感悟推算過程，學(xué)以致用，從而突破重復(fù)性練習(xí)中出現(xiàn)的思維定式。

比如，教師可在例3的基礎(chǔ)上，將筆芯長度調(diào)整為6厘米5毫米，讓學(xué)生重新測量。再如，將測量的起點(diǎn)改為2，讓學(xué)生回答出鉛筆的長度。教師還可以讓學(xué)生開展測量活動，如測量數(shù)學(xué)教材的寬度，讓學(xué)生從模糊表達(dá)“18厘米多一些”或“大約19厘米”，到精準(zhǔn)表達(dá)“18厘米5毫米”或“185毫米”。這些測量練習(xí)，都能讓學(xué)生感受到不同計量單位之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

2.結(jié)合實(shí)物推算，突破思維難點(diǎn)

教師要培養(yǎng)學(xué)生的量感，幫助學(xué)生學(xué)會選擇合適的度量單位進(jìn)行不同單位的換算。教師可利用學(xué)生熟悉的參照物，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比分析［3］。當(dāng)學(xué)生擁有了自覺推算、靈活轉(zhuǎn)化的能力，學(xué)習(xí)的難點(diǎn)也將得以突破。

比如，關(guān)于“年平均降水量是590（）”這道題目，讓學(xué)生直接推想590毫米有多長有一定難度。教師可以先引導(dǎo)學(xué)生將590毫米看成600毫米，600毫米=60厘米，只有大約課桌那么高；再讓學(xué)生將單位換成厘米，將590毫米看成590厘米，約等于600厘米，也就是6米，一間教室那么寬。教師再引導(dǎo)學(xué)生想象，一年降水量的高度達(dá)6米，那么河水就會淹過馬路進(jìn)入教室。

這種聯(lián)系實(shí)際參照物的推想，可以幫助學(xué)生從熟悉的事物入手，從虛到實(shí)，從陌生走向熟悉，從而使抽象的概念在腦海中清晰起來。

3.借用整理對比，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階

教師要做好引導(dǎo)者，幫助學(xué)生學(xué)會整理對比。學(xué)生通過畫一畫，寫一寫，結(jié)合整理的結(jié)果進(jìn)行對比分析，可以更快地理清數(shù)量之間的關(guān)系，有助于進(jìn)行概括、推理等更高層次的思維活動。

對于前述提到的學(xué)生易錯題的第4題，教師可借助教材上的練習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生思考：“10張紙摞起來大約厚1毫米，100張這樣的紙摞起來大約厚多少厘米？1000張、10000張呢？”接著，用同樣的思路引導(dǎo)學(xué)生整理錯題信息，如圖3所示。

通過整理，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)紙張數(shù)量與厚度之間的關(guān)系，以及米粒數(shù)量與長度之間的關(guān)系。從簡單推出復(fù)雜，深奧的題變得清晰起來，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奇妙就在于此。這個過程能讓學(xué)生體驗(yàn)到建立思維模型之于解決實(shí)際問題的價值，也能讓學(xué)生對長度單位的認(rèn)識及其之間的換算產(chǎn)生深刻的理解與感悟。

（三）傾聽同伴思考，讓推算更靈動

在課堂教學(xué)中，學(xué)生應(yīng)該成為發(fā)言的主體，通過有條理地表達(dá)，學(xué)生能夠提升思維的有序性［4］，初步養(yǎng)成良好 的思維品質(zhì)，逐步形成理性精神。同時，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會傾聽，學(xué)習(xí)他人的學(xué)習(xí)方法，不斷拓寬自己的思路，從而提升自主學(xué)習(xí)能力。

比如，教師在課堂上提問：“3厘米小于3分米，你是怎么推算的？”有的學(xué)生回答，因?yàn)?厘米不到1分米，所以小于3分米；有的則是根據(jù)3分米是30厘米來進(jìn)行比較；還有的是通過測量3分米和3厘米的實(shí)際長度來進(jìn)行比較。

學(xué)生的思考方式不同，但都蘊(yùn)含著價值。漸漸地，在學(xué)生的交流中，在思維的碰撞中，通過分享、傾聽、學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠感受多樣化的推算方法，會從只關(guān)注數(shù)字或是單位轉(zhuǎn)向關(guān)注整體，找到適合自己的思維方式，思維也變得更靈活，推算也變得更靈動。

結(jié)語

數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用依賴于數(shù)學(xué)學(xué)科固有的知識序列邏輯，因此，單位推算非常講究知識、技能及活動經(jīng)驗(yàn)的綜合運(yùn)用。教師要基于數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及學(xué)生的認(rèn)知序列，組織開展扎實(shí)有效的探索活動，幫助學(xué)生形成一定的思維模型，打破學(xué)生固有的思維定式，提升其思維的有序性、靈活性以及數(shù)學(xué)推算能力。

【參考文獻(xiàn)】

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［4］吳正憲.劉勁苓.劉克臣.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2014.