關(guān)于w-n-凝聚環(huán)

周浩然, 喬 磊, 周 柳

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 引言與預(yù)備知識

未作特別聲明時,文中所提到的n與d均為非負整數(shù),所提到的環(huán)均為有單位元的交換環(huán),所有的模都是酉模.特別地,用R表示這樣一個環(huán),對任意的R-模M,記M+=HomZ(M,Q/Z).記pdR(M)為M的投射維數(shù).記gl.dim(R)(w.gl.dim(R))為R的整體維數(shù)(弱整體維數(shù)).

1972年,Bourbaki學(xué)派[1]引入了n-表現(xiàn)模的概念.設(shè)P是R-模,若有R-模正合列

Fn→Fn-1→…→F1→F0→P→0,

其中,每個Fi是有限生成自由模(投射模),則稱P是n-表現(xiàn)模.模P是0-表現(xiàn)模(1-表現(xiàn)模)當(dāng)且僅當(dāng)是有限生成模(有限表現(xiàn)模).同時,當(dāng)n≥m時,每個n-表現(xiàn)模是m-表現(xiàn)模.

1994年,為了研究非Noether交換環(huán)理論,Costa[2]引入了n-凝聚環(huán)的概念,若每個n-表現(xiàn)R-模是n+1-表現(xiàn)的,則稱R是n-凝聚環(huán).顯然R是0-凝聚環(huán)(1-凝聚環(huán))當(dāng)且僅當(dāng)R是Noether環(huán)(凝聚環(huán)),并且每個n-凝聚環(huán)是n+1-凝聚環(huán).

1999年,文獻[4]介紹并討論了n-凝聚環(huán)的對偶,即n-余凝聚環(huán),并且利用幾乎優(yōu)擴張以及Morita對偶,給出了n-凝聚環(huán)與n-余凝聚環(huán)的等價關(guān)系.設(shè)S是環(huán),S≥R是幾乎優(yōu)擴張,則S是n-凝聚環(huán)(n-余凝聚環(huán))當(dāng)且僅當(dāng)R是n-凝聚環(huán)(n-余凝聚環(huán));設(shè)RUS定義了一個Morita對偶,則S是n-余凝聚環(huán)(n-凝聚環(huán))當(dāng)且僅當(dāng)R是n-凝聚環(huán)(n-余凝聚環(huán)).

下面將回顧交換環(huán)上w-模理論的相關(guān)知識,以便更好地展開研究(詳情可見文獻[9]).

設(shè)J是R的理想,若J是有限生成理想,并且自然同態(tài)φ:R→J*=HomR(J,R)是同構(gòu),則稱J是Glaz-Vasconcelos理想,簡稱GV-理想.設(shè)GV(R)是GV-理想的乘法系,M是R-模.令

torGV(M)={x∈M|存在J∈GV(R),

使得Jx=0}.

設(shè)M是GV-無撓模,令

Mw={x∈E(M)|存在J∈GV(R),

使得Jx?M},

則Mw稱為M的w-包絡(luò),其中E(M)是M的內(nèi)射包.GV-無撓模M是w-模當(dāng)且僅當(dāng)Mw=M.

設(shè)M和N是R-模,f:M→N是模同態(tài).若對R的任意極大w-理想m,有fm:Mm→Nm是Rm上的單同態(tài)(滿同態(tài),同構(gòu)),則稱f是w-單同態(tài)(w-滿同態(tài),w-同構(gòu)).設(shè)A→B→C是模與同態(tài)的序列,若對任意極大w-理想m,有序列Am→Bm→Cm是Rm-正合列,則稱A→B→C是w-正合列.

設(shè)M是R-模,若存在w-滿同態(tài)g:F→M,其中F是有限生成自由模,則稱M是有限型模.若存在w-正合列F1→F0→M→0,其中F0與F1是有限生成自由模,則稱M是有限表現(xiàn)型模.

若R的任意理想都是w-理想,則稱R是DW環(huán).自然地,當(dāng)R是DW環(huán)時,極大w-理想就是極大理想,w-正合列就是正合列.

設(shè)M是R-模.若M的任意子模是有限型的,則稱M是w-Noether模.若R的任意理想是有限型的,則稱R是w-Noether環(huán).

設(shè)M是有限型R-模.若M的任意有限型子模是有限表現(xiàn)型的,則稱M是w-凝聚模;若R的任意有限型理想是有限表現(xiàn)型的,則稱R是w-凝聚環(huán).

本文的主要目的是研究一類相對于w-算子的n-凝聚環(huán),即w-n-凝聚環(huán),作為n-凝聚環(huán)與w-凝聚環(huán)的推廣.為了給出w-n-凝聚環(huán)的同調(diào)刻畫,我們也將引入并研究w-(n,d)-內(nèi)射模與w-(n,d)-平坦模.

2 w-n-表現(xiàn)模與w-n-凝聚環(huán)

給出w-n-表現(xiàn)模與w-n-凝聚環(huán)的定義,討論其基本性質(zhì).為此,首先回顧相對于遺傳撓理論τ的n-表現(xiàn)模(即τ-n-表現(xiàn)模)的概念.

文獻[10]引入了τ-n-表現(xiàn)模的概念,其中τ是R-模范疇上的一個遺傳撓理論.若有R-模正合列0→K→Fn-1→…→F1→F0→P→0,其中,每個Fi是有限生成自由模(投射模),K是τ-有限生成模,則稱P是τ-n-表現(xiàn)模.因為w=({GV-撓模},{GV-無撓模})也是遺傳的撓理論,于是本節(jié)在τ-n-表現(xiàn)模的基礎(chǔ)上定義了w-n-表現(xiàn)模.

定義 1設(shè)n≥1,P是R-模.若有R-模正合列0→K→Fn-1→…→F1→F0→P→0,其中,每個Fi是有限生成自由模(投射模),K是有限型模,則稱P是w-n-表現(xiàn)模.約定w-0-表現(xiàn)模是有限型模.

由定義知,當(dāng)n≥1時,每個w-n-表現(xiàn)模是n-1-表現(xiàn)模,每個n-表現(xiàn)模是w-n-表現(xiàn)模,故n-表現(xiàn)模與w-n-表現(xiàn)模的性質(zhì)是類似的,以下命題也說明了這一事實.

命題 1設(shè)n≥1,P是R-模,則以下各條等價:

1)P是w-n-表現(xiàn)模;

2)P是n-1-表現(xiàn)模,且存在R-模正合列0→K→Fn-1→…→F1→F0→P→0,其中,每個Fi是有限生成自由模,K是有限型模;

3) 存在R-模正合列0→N→F→P→0,其中,F是有限生成自由模,N是w-n-1-表現(xiàn)模.

證明1)?2) 由定義即得.

2)?3) 設(shè)N=Ker(F0→P),于是有R-模正合列0→K→Fn-1→…→F1→N→0,其中,每個Fi是有限生成自由模,K是有限型模.由定義知,N是w-n-1-表現(xiàn)模.現(xiàn)設(shè)F=F0,故存在R-模正合列0→N→F→P→0,其中,F是有限生成自由模,N是w-n-1-表現(xiàn)模.

3)?2) 因為N是w-n-1-表現(xiàn)模,于是有R-模正合列0→K→Fn-1→…→F1→N→0,其中,每個Fi是有限生成自由模,K是有限型模.現(xiàn)設(shè)F0=F,故存在R-模正合列0→K→Fn-1→…→F1→F0→P→0.

由文獻[2],若每個n-表現(xiàn)R-模是n+1-表現(xiàn)模,則稱R是n-凝聚環(huán).在此基礎(chǔ)上,將n-凝聚環(huán)定義中的n+1-表現(xiàn)模替換為w-n+1-表現(xiàn)模,從而定義了w-n-凝聚環(huán).

定義 2若每個n-表現(xiàn)R-模是w-n+1-表現(xiàn)的,則稱R是w-n-凝聚環(huán).

顯然,n-凝聚環(huán)是w-n-凝聚環(huán).特別地,w-0-凝聚環(huán)(w-1-凝聚環(huán))與w-Noether環(huán)(w-凝聚環(huán))等價.

命題 2以下兩條成立:

1)R是w-0-凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是w-Noether環(huán);

2)R是w-1-凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是w-凝聚環(huán).

證明1) 設(shè)R是w-0-凝聚環(huán),I是R的任意理想,于是有正合列0→I→R→R/I→0.因為R/I是有限生成的,故R/I是w-1-表現(xiàn)模,由命題1,I是有限型理想,因此R是w-Noether環(huán).

設(shè)R是w-Noether環(huán),M是有限生成R-模,于是有R-模正合列0→N→F→M→0,其中F是有限生成自由模.由文獻[9]的推論6.8.3(1),F是w-Noether模,故N是有限型模.由命題1,M是w-1-表現(xiàn)模,因此R是w-0-凝聚環(huán).

2) 設(shè)R是w-1-凝聚環(huán),I是R的任意有限生成理想,于是有正合列0→I→R→R/I→0.因為R/I是有限表現(xiàn)的,故R/I是w-2-表現(xiàn)模.由命題1,I是w-1-表現(xiàn)理想,再由文獻[11]的推論2.11,R是w-凝聚環(huán).

設(shè)R是w-凝聚環(huán),M是有限表現(xiàn)R-模,于是有R-模正合列0→N→F→M→0,其中F是有限生成自由模,N是有限生成模.由文獻[12]的定理3.3,取τ=w,有N是w-1-表現(xiàn)模,再由命題1,M是w-2-表現(xiàn)模,因此R是w-1-凝聚環(huán).

每個n-凝聚環(huán)是n+1-凝聚環(huán),對于w-n-凝聚環(huán)也有類似的結(jié)論.

命題 3每個w-n-凝聚環(huán)是w-n+1-凝聚環(huán).

證明設(shè)R是w-n-凝聚環(huán),P是n+1-表現(xiàn)R-模,對P有R-模正合列0→K→F→P→0,其中F是有限生成自由模,K是n-表現(xiàn)模.因為R是w-n-凝聚環(huán),故K是w-n+1-表現(xiàn)模.由命題1,P是w-n+2-表現(xiàn)模,因此R是w-n+1-凝聚環(huán).

3 w-(n,d)-內(nèi)射模與w-(n,d)-平坦模

給出w-(n,d)-內(nèi)射模與w-(n,d)-平坦模的定義,討論其性質(zhì)以及相互之間的聯(lián)系,并給出w-n-凝聚環(huán)的刻畫.作為推論,同時也得到w-凝聚環(huán)的新的刻畫.

由定義,每個(n,d)-內(nèi)射模((n,d)-平坦模)是w-(n,d)-內(nèi)射模(w-(n,d)-平坦模).當(dāng)n≥1時,每個w-(n-1,d)-內(nèi)射模(w-(n-1,d)-平坦模)是(n,d)-內(nèi)射模((n,d)-平坦模).特別地,w-(0,0)-內(nèi)射模(w-(0,0)-平坦模)是FP-內(nèi)射模(平坦模).對于給定的d,當(dāng)m≥n時,每個w-(n,d)-內(nèi)射模(w-(n,d)-平坦模)是w-(m,d)-內(nèi)射模(w-(m,d)-平坦模).

以下是w-(n,d)-內(nèi)射模與w-(n,d)-平坦模的一些性質(zhì).

定理 1設(shè)M是R-模,n≥d+1,則以下各條等價:

1)M是w-(n,d)-內(nèi)射模;

3) 若0→K→Fn→…→F1→F0→P→0是正合列,其中,每個Fi是有限生成自由模,K是有限型模,Ki=Ker(Fi→Fi-1),則每個Kd到M的同態(tài)能擴張到Fd.

在相同條件下,w-(n,d)-平坦模也有類似的結(jié)論.

定理 2設(shè)M是R-模,n≥d+1,則以下各條等價:

1)M是w-(n,d)-平坦模;

3) 若0→K→Fn→…→F1→F0→P→0是正合列,其中,每個Fi是有限生成自由模,K是有限型模,Ki=Ker(Fi→Fi-1),則有同態(tài)g:Kd?RM→Fd?RM是單同態(tài).

(n,d)-內(nèi)射模((n,d)-平坦模)對直積(直和)封閉.特別地,當(dāng)n≥d+1(n>d+1)時,(n,d)-內(nèi)射模((n,d)-平坦模)對直和(直積)封閉.對于w-(n,d)-內(nèi)射模(w-(n,d)-平坦模)也有類似的結(jié)論.

命題 4設(shè){Mi|i∈Γ}是一簇R-模,Γ是指標(biāo)集,則以下各條成立:

1) 當(dāng)n≥d+1時,⊕ΓMi是w-(n,d)-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)每個Mi是w-(n,d)-內(nèi)射模;

2) ∏ΓMi是w-(n,d)-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)每個Mi是w-(n,d)-內(nèi)射模;

3) 當(dāng)n>d+1時,∏ΓMi是w-(n,d)-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)每個Mi是w-(n,d)-平坦模;

4) ⊕ΓMi是w-(n,d)-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)每個Mi是w-(n,d)-平坦模.

證明1)對任意的w-n+1-表現(xiàn)R-模P,有R-模正合列0→K→Fn→…→F1→F0→P→0,其中每個Fi是有限生成自由模,K是有限型模,Ki=Ker(Fi→Fi-1),從而有以下正合列的交換圖.

HomR(Fd, ΓMi)→HomR(Kd, ΓMi)→Ext1R(Kd-1, ΓMi)→0h↓g↓f↓ ΓHomR(Fd,Mi)→ ΓHomR(Kd,Mi)→ ΓExt1R(Kd-1,Mi)→0

因為Kd是有限生成,由文獻[9]的定理2.6.10(4),g和h是同構(gòu),故f是同構(gòu),因此⊕ΓMi是w-(n,d)-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)每個Mi是w-(n,d)-內(nèi)射模.

3) 對任意的w-n+1-表現(xiàn)R-模P,有R-模正合列0→K→Fn→…→F1→F0→P→0,其中每個Fi是有限生成自由模,K是有限型模,Ki=Ker(Fi→Fi-1),從而有以下正合列的交換圖.

0→TorR1(Kd-1,∏ΓMi)→Kd R∏ΓMi→Fd R∏ΓMif↓g↓h↓0→∏ΓTorR1(Kd-1,Mi)→∏Γ(Kd RMi)→∏Γ(Fd RMi)

因為Kd是有限表現(xiàn)模,由文獻[13]的定理2.1.5,g和h是同構(gòu),故f是同構(gòu),因此∏ΓMi是w-(n,d)-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)每個Mi是w-(n,d)-平坦模.

命題 5M是w-(n,d)-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M+是w-(n,d)-內(nèi)射模.

當(dāng)n≥d+1時,(n,d)-內(nèi)射模的純子模是(n,d)-內(nèi)射模;(n,d)-平坦模的純子模是(n,d)-平坦模.對于w-(n,d)-內(nèi)射模與w-(n,d)-平坦模的純子模也有類似的結(jié)論.

命題 61) 當(dāng)n≥d+1時,w-(n,d)-內(nèi)射模的純子模是w-(n,d)-內(nèi)射模.

2)w-(n,d)-平坦模的純子模是w-(n,d)-平坦模.

證明1) 證明過程與文獻[5]的命題2.4(1)類似.

2) 設(shè)N是w-(n,d)-平坦模M的純子模,則有分裂的正合列

0→(M/N)+→M+→N+→0.

由命題4與命題5,N是w-(n,d)-平坦模.

命題 7設(shè)k≥d.若R是m-凝聚環(huán),則每個w-(n,d)-內(nèi)射模是w-(m,k)-內(nèi)射模,每個w-(n,d)-平坦模是w-(m,k)-平坦模.

證明證明過程與文獻[5]的引理2.8類似.

命題 8設(shè)0→A→B→C→0是R-模正合列.若A是w-(n,d)-內(nèi)射模,B是w-(n+1,d)-內(nèi)射模,則C是w-(n+1,d)-內(nèi)射模.

證明設(shè)P是w-n+2-表現(xiàn)R-模,故有R-模正合列0→N→F→P→0,其中F是有限生成自由模,N是w-n+1-表現(xiàn)模.因此,正合列

0=Extd+1R(N,A)→Extd+2R(P,A)→

Extd+2R(F,A)=0,

0=Extd+1R(P,B)→Extd+1R(P,C)→

Extd+2R(P,A)=0,

故有

Extd+1R(P,C)=0.

因此,C是w-(n+1,d)-內(nèi)射模.

命題 9設(shè)R為n-凝聚環(huán),0→A→B→C→0是R-模正合列.若B與C是w-(n,d)-平坦模,則A是w-(n,d)-平坦模.

證明由命題5,B+與C+是w-(n,d)-內(nèi)射模,故對任意的w-n+1-表現(xiàn)R-模P,有

Extd+1R(P,B+)=0.

由命題7有

Extd+2R(P,C+)=0,

故

Extd+1R(P,A+)=0.

因此,A是w-(n,d)-平坦模.

當(dāng)n>d+1時,有(n,d)-內(nèi)射模對正向極限封閉以及文獻[5]的命題2.3的推廣成立.對于w-(n,d)-內(nèi)射模與w-(n,d)-平坦模也有類似的結(jié)論.

命題 10設(shè)n>d+1,則以下各條成立:

1)w-(n,d)-內(nèi)射模對正向極限封閉;

2)M是w-(n,d)-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)M+是w-(n,d)-平坦模;

3)M是w-(n,d)-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)M++是w-(n,d)-內(nèi)射模;

4)M是w-(n,d)-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M++是w-(n,d)-平坦模.

證明1) 設(shè){Mi}i∈Γ是w-(n,d)-內(nèi)射R-模的正向系,P是w-n+1-表現(xiàn)R-模,故有R-模正合列0→K→Fn→…→F1→F0→P→0,其中每個Fi是有限生成自由模,K是有限型模,設(shè)Ki=Ker(Fi→Fi-1),從而有以下正合列的交換圖.

lim→HomR(Fd,Mi)→lim→HomR(Kd,Mi)→lim→Ext1R(Kd-1,Mi)→0f1↓g1↓h1↓HomR(Fd,lim→Mi)→HomR(Kd,lim→Mi)→Ext1R(Kd-1,lim→Mi)→0

因為Kd是有限表現(xiàn)模,由文獻[13]的定理2.1.5,f1與g1是同構(gòu),故h1是同構(gòu).因此,w-(n,d)-內(nèi)射模對正向極限封閉.

2) 由文獻[14]的引理3.60,設(shè)S是環(huán),A是R-模,B是R-S雙模,C是S-模,若A是有限表現(xiàn)模,C是內(nèi)射模,則有

A?RHomS(B,C)?HomS(HomR(A,B),C),

剩余的證明過程與1)類似.

3)和4) 證明過程與文獻[5]的命題3.1類似.

下面刻畫w-n-凝聚環(huán).在此之前,首先給出w-n+1-表現(xiàn)模的刻畫.

定理 3設(shè)P是n-表現(xiàn)R-模,M是R-模,則以下各條等價:

1)P是w-n+1-表現(xiàn)R-模;

2) 對任意的GV-無撓R-模的正向系{Mi}i∈Γ,有

3) 對任意的GV-無撓模M,有

TorRn(P,M+)?ExtnR(P,M)+;

4) 對任意的GV-無撓內(nèi)射R-模E,有

TorRn(P,E+)=0.

證明1)?2) 對n進行歸納假設(shè).當(dāng)n=0時,由文獻[12]的命題2.5(3),結(jié)果成立.現(xiàn)假設(shè)n=k時結(jié)果成立.當(dāng)n=k+1時,設(shè)P是w-k+2-表現(xiàn)模,故有R-模正合列0→A→F→P→0,其中F是有限生成自由模,A是w-k+1-表現(xiàn)模,從而有以下正合列的交換圖.

lim→ExtkR(F,Mi)→lim→ExtkR(A,Mi)→lim→Extk+1R(P,Mi)→0f1↓f2↓f3↓ExtkR(F,lim→Mi)→ExtkR(A,lim→Mi)→Extk+1R(P,lim→Mi)→0

由假設(shè)可得f1與f2是同構(gòu),故f3是同構(gòu).

2)?1) 對n進行歸納假設(shè).當(dāng)n=0時,由文獻[12]的命題2.5(3),結(jié)果成立.現(xiàn)假設(shè)n=k時結(jié)果成立.當(dāng)n=k+1時,設(shè)P是k+1-表現(xiàn)R-模,故有R-模正合列0→A→F→P→0,其中F是有限生成自由模,A是k-表現(xiàn)模,對任意GV-無撓R-模的正向系{Mi}i∈Γ,當(dāng)k>0時,有以下正合列的交換圖.

0→lim→ExtkR(A,Mi)→lim→Extk+1R(P,Mi)→0f2↓f3↓0→ExtkR(A,lim→Mi)→Extk+1R(P,lim→Mi)→0

因為f3是同構(gòu),故f2是同構(gòu).由假設(shè),A是w-k+1-表現(xiàn)模,故P是w-k+2-表現(xiàn)模,因此R是w-k+1-凝聚環(huán).若k=0,有以下正合列的交換圖.

lim→HomR(P,Mi)→lim→HomR(F,Mi)→lim→HomR(A,Mi)→lim→Ext1R(P,Mi)→0f0↓f1↓f2↓f3↓HomR(P,lim→Mi)→HomR(F,lim→Mi)→HomR(A,lim→Mi)→Ext1R(P,lim→Mi)→0

由文獻[13]的定理2.1.5,f0與f1是同構(gòu),由歸納假設(shè),f3是同構(gòu),故f2是同構(gòu).由文獻[12]的命題2.5,A是w-1-表現(xiàn)模,因此P是w-2-表現(xiàn)模.

1)?3) 特別地,當(dāng)n=0時,由文獻[12]的引理3.1,結(jié)果成立.當(dāng)n=1,對任意的w-2-表現(xiàn)R-模P,有R-模正合列0→A→F→P→0,其中F是有限生成自由模,A是w-1-表現(xiàn)模,從而有以下正合列的交換圖.

0→TorR1(P,M+)→A RM+→F RM+f↓g↓h↓0→Ext1R(P,M)+→HomR(A,M)+→HomR(F,M)+

由文獻[12]的引理3.1,g與h是同構(gòu),故f是同構(gòu).當(dāng)n>1時,對任意的w-n+1-表現(xiàn)R-模P,有R-模正合列

0→K→Fn-2→…→F1→F0→P→0,

其中,每個Fi是有限生成自由模,K是w-2-表現(xiàn)模,因此由

即得.

3)?4) 顯然.

4)?1) 因為P是n-表現(xiàn)R-模,故有R-模正合列

0→K→Fn-2→…→F1→F0→P→0,

利用定理3,緊接著給出w-n-凝聚環(huán)的刻畫.

定理 4設(shè)n≥1,M是R-模,則以下各條等價:

1)R是w-n-凝聚環(huán);

2) 對任意的n-表現(xiàn)R-模P以及任意的GV-無撓R-模的正向系{Mi}i∈Γ,有

3) 對任意的n-表現(xiàn)R-模P以及任意的GV-無撓模M,有

TorRn(P,M+)?ExtnR(P,M)+;

5) 若M是w-(n,n-1)-內(nèi)射模,則M是(n,n-1)-內(nèi)射模;

6) 任意的GV-無撓(n,n-1)-內(nèi)射R-模的正向極限是(n,n-1)-內(nèi)射模;

7) 任意的GV-無撓內(nèi)射R-模的正向極限是(n,n-1)-內(nèi)射模;

8) GV-無撓模M是(n,n-1)-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)M+是(n,n-1)-平坦模;

9) 若N是GV-無撓(n,n-1)-內(nèi)射模M的純子模,則M/N是(n,n-1)-內(nèi)射模.

證明1)?2)?3)?4) 由定理3即得.

1)?5),6)?7),3)?8) 顯然.

因此,M是w-(n,n-1)-內(nèi)射模.由5),M是(n,n-1)-內(nèi)射模.

7)?1) 對任意的n-表現(xiàn)R-模P,有R-模正合列

Fn→Fn-1→…→F1→F0→P→0,

lim→HomR(Kn-2,Ei)→lim→HomR(Fn-1,Ei)→lim→HomR(Kn-1,Ei)→0f↓g↓h↓HomR(Kn-2,lim→Ei)→HomR(Fn-1,lim→Ei)→HomR(Kn-1,lim→Ei)→0

由文獻[13]的定理2.1.5,f與g是同構(gòu),故h是同構(gòu).現(xiàn)設(shè){Mi}i∈Γ是GV-無撓R-模的正向系,從而有以下正合列的交換圖.

0→lim→HomR(Kn-1,Mi)→lim→HomR(Kn-1,E(Mi))→lim→HomR(Kn-1,E(Mi)/Mi)f1↓f2↓f3↓0→HomR(Kn-1,lim→Mi)→HomR(Kn-1,lim→E(Mi))→HomR(Kn-1,lim→E(Mi)/Mi)

由文獻[15],f1、f2與f3是單同態(tài).由文獻[9]的命題6.1.10(4),E(Mi)是GV-無撓模,因此f2與f1是同構(gòu).由文獻[12]的命題2.5(3),Kn-1是w-1-表現(xiàn)模,故P是w-n+1-表現(xiàn)模,因此R是w-n-凝聚環(huán).

8)?9) 因為N是純子模,故有分裂的R-模正合列0→(M/N)+→M+→N+→0.因為M是GV-無撓(n,n-1)-內(nèi)射模,由9),M+是(n,n-1)-平坦模,故(M/N)+是(n,n-1)-平坦模.由文獻[3]的推論2.8,M/N是(n,n-1)-內(nèi)射模.

特別地,當(dāng)n=1時,既能得到文獻[17]對w-凝聚環(huán)的刻畫,又能得到w-凝聚環(huán)的新的刻畫.

推論 1設(shè)M是R-模,則以下各條等價:

1)R是w-凝聚環(huán);

2) 對任意的有限表現(xiàn)R-模P以及任意的GV-無撓R-模的正向系{Mi}i∈Γ,有

3) 對任意的有限表現(xiàn)R-模P以及任意的GV-無撓模M,有

5) 若M是w-(1,0)-內(nèi)射模,則M是FP-內(nèi)射模;

6) 任意的GV-無撓FP-內(nèi)射模的正向極限是FP-內(nèi)射模;

7) 任意的GV-無撓內(nèi)射模的正向極限是FP-內(nèi)射模;

8) GV-無撓模M是FP-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)M+是平坦模;

9) 若N是GV-無撓FP-內(nèi)射模M的純子模,則M/N是FP-內(nèi)射模.

4 w-(n,d)-環(huán)與弱w-(n,d)-環(huán)

給出w-(n,d)-環(huán)與弱w-(n,d)-環(huán)的定義,討論其與w-(n,d)-內(nèi)射模、w-(n,d)-平坦模以及經(jīng)典環(huán)類的聯(lián)系,最后給出w-(n,d)-環(huán)與w-n-凝聚環(huán)的聯(lián)系.

文獻[2]引入了(n,d)-環(huán)的概念.若每個n-表現(xiàn)R-模的投射維數(shù)最多為d,則稱R是(n,d)-環(huán).文獻[5]引入了弱(n,d)-環(huán)的概念.若每個n-表現(xiàn)R-模的平坦維數(shù)最多為d,則稱R是弱(n,d)-環(huán).本節(jié)在此基礎(chǔ)上給出了w-(n,d)-環(huán)與弱w-(n,d)-環(huán)的定義.

定義 4若每個w-n+1-表現(xiàn)R-模的投射維數(shù)最多為d,則稱R是w-(n,d)-環(huán);若每個w-n+1-表現(xiàn)R-模的平坦維數(shù)最多為d,則稱R是弱w-(n,d)-環(huán).

由定義,每個(n,d)-環(huán)(弱(n,d)-環(huán))是w-(n,d)-環(huán)(弱w-(n,d)-環(huán));每個w-(n,d)-環(huán)(弱w-(n,d)-環(huán))是(n+1,d)-環(huán)(弱(n+1,d)-環(huán)).顯然,當(dāng)n≤n1,d≤d1時,每個w-(n,d)-環(huán)(弱w-(n,d)-環(huán))是w-(n1,d1)-環(huán)(弱w-(n1,d1)-環(huán)).

特別地,若R是w-n-凝聚環(huán),則(n,d)-環(huán)(弱(n,d)-環(huán))與w-(n,d)-環(huán)(弱w-(n,d)-環(huán))等價;若R是DW環(huán),則w-正合列就是正合列,故w-(n,d)-環(huán)(弱w-(n,d)-環(huán))與(n+1,d)-環(huán)(弱(n+1,d)-環(huán))等價.

w-(n,d)-環(huán)(弱w-(n,d)-環(huán))與w-(n,d)-內(nèi)射模(w-(n,d)-平坦模)有密切的聯(lián)系,以下命題也說明了這一事實.

命題 11以下各條成立:

1)R是w-(n,d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個R-模是w-(n,d)-內(nèi)射模.

2)R是弱w-(n,d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個R-模是w-(n,d)-平坦模.

3) 若R是w-(n,d)-環(huán),則R是也是弱w-(n,d)-環(huán).當(dāng)n≥d+1時,反之成立.特別地,若R是n-凝聚環(huán),則R是w-(n,d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是弱w-(n,d)-環(huán).

4)R是w-(n,d+1)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個w-(n,d)-內(nèi)射R-模的商模是w-(n,d)-內(nèi)射模.

5)R是弱w-(n,d+1)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個w-(n,d)-平坦R-模的子模是w-(n,d)-平坦模.

證明1)和2)由定義即得.

3) 必要性由命題5與1)可得.下證充分性,當(dāng)n≥d+1時,對任意的w-n+1-表現(xiàn)R-模P,有R-模正合列

0→K→Fn→…→F1→F0→P→0,

4)和5) 證明過程與文獻[5]的命題2.6類似.

結(jié)合定義與命題11有以下2個推論.

推論 2以下各條成立:

1)R是w-(0,0)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是VN正則環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R是(1,0)-環(huán);

2)R是w-(0,1)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是半遺傳環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R是(1,1)-環(huán);

3)R是w-(0,1)-整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是Prüfer整環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R是(1,1)-整環(huán).

由推論2知,一般情況下,w-(n,d)-環(huán)未必是(n,d)-環(huán).

推論 3設(shè)R是w-Noether環(huán),則以下各條成立:

1)R是w-(0,0)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是半單環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R是(0,0)-環(huán);

2)R是w-(0,1)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是遺傳環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R是(0,1)-環(huán);

3)R是w-(0,d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)gl.dim(R)≤d,當(dāng)且僅當(dāng)R是(0,d)-環(huán);

4)R是w-(1,0)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是VN正則環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R是(1,0)-環(huán);

5)R是w-(1,1)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是半遺傳環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R是(1,1)-環(huán);

6)R是弱w-(1,d)-環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)

w.gl.dim(R)≤d,

當(dāng)且僅當(dāng)R是弱(1,d)-環(huán);

7)R是w-(0,1)-整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是Dedekind整環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R是(0,1)-整環(huán);

8)R是w-(1,1)-整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是Prüfer整環(huán),當(dāng)且僅當(dāng)R是(1,1)-整環(huán).

R是(n,0)-整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是域.由以下定理知,w-(n,0)-整環(huán)與域也是等價的.

定理 5R是w-(n,0)-整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是域.

證明設(shè)R是w-(n,0)-整環(huán),則R是(n+1,0)-整環(huán),由文獻[2]的定理1.4(6),R是域.反之,設(shè)R是域,由文獻[2]的定理1.4(6),R是(n+1,0)-整環(huán).由文獻[9]的定理6.3.12(6),R是DW整環(huán),故w-n+1-表現(xiàn)模與n+1-表現(xiàn)模等價,因此R是w-(n,0)-整環(huán).

w-(n,d)-環(huán)與w-n-凝聚環(huán)有密切的聯(lián)系.每個(n,d)-環(huán)是sup{n,d}-凝聚環(huán),對于w-(n,d)-環(huán)也有類似的結(jié)果.

定理 6每個w-(n,d)-環(huán)是w-sup{n+1,d}-凝聚環(huán).

證明設(shè)R是w-(n,d)-環(huán).當(dāng)n+1≥d時.對任意的n+1-表現(xiàn)R-模P,有R-模正合列Fn+1→Fn→…→F1→F0→P→0,其中每個Fi是有限生成自由模,設(shè)Ki=Ker(Fi→Fi-1),因為n+1-表現(xiàn)模是w-n+1-表現(xiàn)模,故有pdR(P)≤d,因此Kd-1是投射模.因為n+1≥d,故Kd-1是有限生成模,P可以被無限表現(xiàn),因此R是w-n+1-凝聚環(huán).當(dāng)n+1≤d時,對任意的d-表現(xiàn)R-模P,同理得到Kd-1是有限生成投射模,因此R是w-d-凝聚環(huán).