含臨界指數的多重奇異擬線性橢圓系統正解的存在性

杜 剛

(喀什大學 數學與統計學院, 新疆 喀什 844007)

本文研究下述含臨界指數的多重奇異擬線性橢圓系統

正解的存在性,其中N≥3,Ω是RN中一有光滑邊界的有界區域,λ,η,δ>0,

Δpu=-div(|▽u|p-2▽u),

α>1,β>1,α+β>p,α+β=p*.

近年來,含臨界指數的奇異擬線性橢圓系統一直受到人們的關注[1-6].其中:文獻[1-3]利用變分方法和分析技巧,研究了含多個奇異點和臨界指標的半線性橢圓系統的正解的存在性;文獻[4]利用Nehari流形得到系統

多解的存在性;文獻[5-6]利用變分方法和集中緊原理,得到含臨界指數的p-Laplacen奇異擬線性橢圓系統解的存在性.對于含臨界指數的多重奇異p-Laplacen系統解的存在性的研究目前結果很少,本文將討論含有Hardy奇異項和強弱耦合項的p-Laplacen系統正解的存在性.

解決問題(1)的主要困難在2個方面:一是含有Hardy奇異項和Sobolev臨界指數;二是強耦合項|u|α-2|v|βu、|u|α|v|β-2v與弱耦合項|u|p*-2u、|v|p*-2v相互作用,從而使得系統變得更為復雜且泛函不滿足(PS)c條件.本文主要是通過應用Lions集中緊原理和山路引理,解決了上述問題,得到了在一定條件下此類擬線性橢圓系統正解的存在性.

1 預備知識及主要引理

‖(u,v)‖pW=‖u‖p+‖v‖p.

由Young不等式,可定義最佳常數

Aμi=

Aμi在RN的達到函數是

Vξiμi,ε=ε

其中

φ(x)=1, |x|≤R;φ(x)=0, |x|>R.

由文獻[7]有如下估計

(Aμi)

Aη,λ,σ(μi)=

(2)

(3)

A

(4)

則泛函J滿足(PS)c條件.

證明設{(un,vn)}?W,滿足J(un,vn)→c

(un,v在W中,

(un,v在Lp(Ω,|x-ξi|-p)×

Lp(Ω,|x-ξi|-p)中,

(un,v在Lp*(Ω)×Lp*(Ω)中,

|?un|p+|?vn|?u|p+

|?v|

λp|un|α|vn|β+η|un|p*+δ|vn|

δ|v|

由Sobolev不等式,有

Aη,λ,σ(μ

Aη,λ,σ(μ

(5)

δ|vn|p*)φj(x)dx],

其中

δ|vn|p*)φj(x)dx)=

δ|v|p*)φ

所以

再由Sobolev不等式

可得

或

φi(x)=1,x∈B(ξi,ε),

φi(x)=0,x∈B(ξi,2ε)c

δ|vn|p*)φi(x)dx)=

δ|v|p*)φ

所以

(6)

由(5)和(6)式可得

Aη,λ,σ(μ

所以

或

另一方面

δ|vn|p*)dx=

δ|v|

A

(un,vn)→(u,v).

為進一步研究Hardy-Sobolev常數Aη,λ,σ(μi),在引理1.1條件H1滿足下,設

f

fη,λ,σ(τ

其中τmin>0是fη,λ,σ(τ)的極小值點.

引理 1.2設條件H1滿足,則:

(i)Aη,λ,σ(μi)=fη,λ,σ(τmin);

證明類似于文獻[10].

引理 1.3設條件H1滿足,則對?t≥0,有

證明定義函數

g(t)=J(tuε,μk,t(τminuε,μk)),

易見

在t充分靠近0時,g(t)>0,因而存在tε>0,使得

g′(tε)=0,

δτ

注意

所以

g(t

即?t≥0,有

2 定理的證明

定理 2.1假設條件H1成立,則楕圓系統(1)至少有一個正解.

證明設

Τ={h∈C([0,1],W)|h(0)=0,J(h(1))<0},

由Young不等式和Hardy-Sobolev不等式,有

J(u,v)≥c‖(u,v)‖pW-c′‖(u,v)‖p*W.

由上式可得,存在充分小的常數ρ>0,有

另外,當

t→+∞,J(tu,tv)→-∞,

因而存在t0>0,使得

‖(t0u,t0v)‖>ρ,

且

J(t0u,t0v)<0.

由山路引理[11]可得,存在{(un,vn)}?W,有

J(un,vn)→c,J′(un,vn)→0.

由引理1.3可得

由引理1.1知{(un,vn)}存在子列,仍記為{(un,vn)},在W上(un,vn)強收斂于(u,v),且

J(u,v)=c,J′(u,v)=0,

即問題有解.

設

u-=min{u,0},v-=min{v,0},

同理可得

〈J′(u,v),(u-,v-)〉=0,

從而u≥0,v≥0,再根據極大值原理可得(u,v)是問題(1)的正解.