非對稱單巨原子腔陣列波導QED系統中的單光子散射

余夢婷, 賈文志

(西南交通大學 物理科學與技術學院, 四川 成都 610031)

波導QED系統是研究單光子水平上光與物質相互作用的重要平臺,在最近十多年來備受關注.這類系統是將一個或多個原子耦合到一維波導中,使原子與受限一維的連續光子模式相互作用,從而實現原子與光子之間的強耦合或遠距離原子間的長程相互作用[1].經過多年研究,波導QED的應用已經得到多方面探討,包括單光子開關和原子鏡[2-3]、關聯光子散射[4-5]、自組原子晶格[6-7]、波導誘導的長程糾纏[8-9]以及量子門[10-11]等.實驗上,波導QED系統可以通過將超導人工原子耦合到微波傳輸線[12-13]、將量子點耦合到光子晶體波導[14]或將天然原子耦合到光纖[15]來實現.如果將波導設計為帶寬有限且具有非線性色散關系的結構,如由緊束縛模型描述的腔陣列,由于非線性色散和帶邊效應的影響,散射譜將表現出與線性波導不同的現象[10,16-17].

隨著微加工技術的發展,一些人工量子系統(如transmon量子比特[18])可以通過多個連接點與一維波導中的玻色模式耦合,其耦合點間距與波長相當,這類系統稱為巨原子[19].由于光子在巨原子耦合點間傳播的時間不可忽略,且由于巨原子幾個耦合點間干涉效應的影響,導致巨原子與波導耦合將產生與小原子不同的現象,包括頻率依賴的衰減率[20]、蘭姆位移[21-22]和非馬爾科夫動力學[23]等.

巨原子在線性波導中的單光子散射問題已經得到許多研究[22,24-25].最近,巨原子耦合到有限帶寬波導系統中的光與物質相互作用引起了廣泛關注[26-29].當單個巨原子與一維腔陣列波導耦合時,由于巨原子結構的影響,其散射譜表現出與小原子不同的行為[26].但是之前的研究限于巨原子和波導所有連接點耦合強度都相等的情形.基于以上背景,本文研究了單個巨原子通過2個耦合點非對稱耦合到一維腔陣列波導時系統的單光子散射特性,根據推導出的散射系數,討論了不同參數條件下反射譜的線型特征.本文的結果表明,由于巨原子超越偶極近似的特點,除了耦合點間距外,耦合強度的分布也會對系統的單光子輸運特性產生顯著影響.

1 系統模型和哈密頓量

圖1 單巨原子非對稱耦合到腔陣列波導 QED系統的示意圖

H=Hc+Ha+HI,

(1)

其中,腔陣列的哈密頓量

(2)

原子的哈密頓量

Ha=ωa|e〉〈e|,

(3)

相互作用的哈密頓量

(4)

式中,c?j和cj分別是格點j處光子模式的產生和消滅算符,σ+=|e〉〈g|和σ-=|g〉〈e|分別是原子的升算符和降算符,ωc是波導的中心頻率,ωa是原子的躍遷頻率.原子耦合點m與波導間耦合強度為gm(m=1,2).事實上,這個公式是作了旋波近似后的結果,即已經假設了條件ωc?ωa和ωc,ωa?J,gm.

在單激發子空間中,系統本征態可以寫為

(5)

其中,φj和fa分別表示第j個腔和原子的激發振幅.由緊束縛模型描述的腔陣列波導具有本征能量

ωk=ωc-2Jcos(k),

其中,k∈[-π,π].將上述公式代入薛定諤方程

H|ψ〉=E|ψ〉,

可以得到方程組:

(ωk-ωc)φ0+J(φ-1+φ1)-g1fa=0,

(6)

(ωk-ωc)φN+J(φN-1+φN+1)-g2fa=0,

(7)

(ωk-ωa)fa-(g1φ0+g2φN)=0.

(8)

假設光子從波導左端入射,光子激發振幅可以假設為

φ

(9)

將連續性條件φj-=φj+和上述光子激發振幅(9)代入方程組(6)～(8),可以得到反射振幅和透射振幅分別為:

r=

(10)

t=

(11)

其中,δk=ωk-ωa為入射光子與原子間的頻率失諧.根據(10)和(11)式可以得到系統的反射率和透射率分別為R=|r|2和T=|t|2,且由于光子數守恒,二者滿足條件R+T=1.

2 非對稱耦合的散射譜特性

圖2給出了當原子頻率位于帶心時,耦合的不對稱度對反射譜的影響.圖2(a)～(c)耦合點間距取偶數N=2和N=4,圖2(d)～(f)耦合點間距取奇數N=1和N=3;圖2(a)、(d)取耦合強度為g1=0.5J和g2=0.05J,圖2(b)、(e)取耦合強度為g1=0.5J和g2=0.25J,圖2(c)、(f)取耦合強度為g1=g2=0.5J;各圖均取ωc=ωa=20J.

首先,對于耦合點間距N為偶數(N=2和N=4)的情形,無論2個耦合點的耦合強度相同與否,反射譜均為對稱線型,除去原子波導脫耦的情形,反射極大R=1總是出現在帶心處,表明原子并未因為與波導耦合而出現頻率移動,如圖2(a)～(c)所示.同時,對于頻率接近帶邊δk=±2J的光子,由于非線性色散關系引起的帶邊效應,也會出現全反射現象,如圖2(a)～(c)所示.當N=2時,隨著非對稱度減小,反射譜線寬逐漸減小,并在完全對稱(即g1=g2)時徹底消失,在共振點δk=0處出現零反射現象,如圖2(a)～(c)實線所示.這表明耦合點之間的相位延遲為π時,波導與原子之間的有效耦合隨著不對稱度的減少而減少,直至對稱情形兩者完全脫耦,光子出現完全透射現象;而當N=4時,則有相反規律,隨著非對稱度減小,反射譜線寬逐漸增大,在共振點δk=0處始終有R=1,如圖2(a)～(c)虛線所示.

對于耦合點間距N為奇數(N=1和N=3)的情形,反射譜呈現出非對稱線型.如圖2(d)～(f)所示,當原子非對稱耦合到波導時,原子對應的反射峰值位置并未出現在帶心,其偏移量取決于原子與波導耦合產生的蘭姆移動.從圖2(d)～(f)還可以看出隨著原子耦合的非對稱度減小,原子的蘭姆位移不斷增加,譜線的不對稱程度也不斷增大.此外,對于N為奇數情形,耦合的對稱與否會產生光子不同的帶邊行為:對于不對稱耦合情形,在上下帶邊δk=±2J處均會出現全反射R=1;當巨原子對稱耦合時,在上帶邊δk=2J處出現零反射現象,而在下帶邊出現全反射現象,如圖2(d)～(f)所示.

此外,當巨原子耦合的非對稱度較大時,反射譜線型隨著耦合點間距增大變化不明顯,呈現出和小原子散射譜類似的特征,如圖2(a)和2(d)所示;而當非對稱度較小或對稱耦合時,隨著耦合點間距增大,反射譜呈現出與小原子截然不同的線型,如圖2(b)、(e)、(c)和(f)所示.

為進一步理解巨原子耦合的非對稱度和巨原子結構對散射譜的影響,圖3以偶數耦合點間距為例,作出了不同非對稱度下耦合點間距對反射譜的影響.圖3(a)耦合強度取為g1=0.5J和g2=0.05J,圖3(b)取為g1=0.5J和g2=0.25J.當巨原子耦合的非對稱度較大時,N=2和N=10兩種耦合點間距對應的散射譜在共振點δk=0附近幾乎完全重合,線型和小原子類似,如圖3(a)所示.但對于較大的耦合點間距N=10,在較大失諧區域,由于相位累積效應,反射譜偏離小原子的線型,如圖3(a)虛線所示.而當非對稱度較小時,如果耦合點間距較大,巨原子2個耦合點間干涉效應和光子在耦合點間傳播的時間延遲效應的影響變得明顯,導致反射譜呈現出與耦合點間距較小時完全不同的線型,除了在共振點附近出現全反射現象,在失諧較大時也會出現多個反射率極大值點和極小值點,如圖3(b)虛線所示.

3 結論

本文研究了一個巨原子通過2個連接點非對稱耦合到腔陣列波導時系統的單光子散射問題.當巨原子與波導耦合的非對稱度較大時,散射譜隨著耦合點間距增大變化不明顯,原子表現得更像小原子;而當非對稱度較小甚至對稱耦合時,巨原子結構對散射譜的影響變得明顯,必須考慮光子在耦合點之間傳播的干涉效應和時延非馬爾科夫效應;如果耦合足夠強,散射譜還會受到非線性色散的影響.以上因素使巨原子的散射譜呈現出與小原子不同的線型.這些結果對于單光子器件和量子通信等方面有潛在應用價值.