MATLAB在管理運籌學教學中的研究與實踐

岳芳 吳振華 周清華 肖吉軍

摘要 管理運籌學是研究對人力、物力等資源進行合理籌劃和運用，尋找管理及決策最優化的綜合性學科，在經濟、管理、社會等領域得到了廣泛的應用。然而，該課程知識概念和方法相對較多且抽象，導致學生難學。文章首先分析了管理運籌學的特點，總結了教學過程中存在的不足，探討了引入MATLAB的必要性。然后通過一些實例，介紹了該軟件在線性規劃、指派問題、圖論中的應用，充分體現了MATLAB在求解運籌學問題上的優勢，達到激發學生學習興趣、增強學生實踐能力、培養學生創新思維的目的。

關鍵詞 管理運籌學；MATLAB；教學

中圖分類號：G424文獻標識碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2023.15.039

隨著市場競爭的加劇，企業所面臨的經營環境具有很大的不可預測性，管理問題也越發復雜。這就需要企業轉變傳統的經驗式決策模式，利用科學的方法，幫助其進行決策。而針對特定的管理場景，管理者可以利用模型分析所面臨的決策問題，并尋找模型的最優解。而運籌學為管理者決策提供了方法論的支持。目前管理運籌學在人力資源規劃與調度、財務規劃、市場營銷組合規劃、生產運營管理、供應鏈管理、投資組合管理、系統調度、定價策略、服務系統規劃與調度、風險管理等方面都得到了廣泛的應用[1]。

管理運籌學是依照給定條件和目標，從眾多方案中選擇最佳決策方案的應用科學。該課程逐漸成為高校工業工程、信息管理與信息系統、數字經濟、物流管理、人力資源等專業的基礎課程之一。

1基于MATLAB管理運籌學教學的必要性

管理運籌學包含線性規劃、對偶規劃、運輸問題、整數規劃、目標規劃、圖與網絡分析、決策論、對策論、排隊論等內容。管理運籌學解決問題的一般過程是：①提出問題；②建立模型；③進行求解；④解的檢驗；⑤解的實施。在這些過程中，“提出問題”是關鍵，即將現實世界中的實際問題抽象成數學模型，然后再選擇對應的方法進行求解。

該課程需要學生學習和掌握的方法非常多。一些方法，例如單純形法、表上作業法和割平面法等原理比較復雜，求解過程比較煩瑣，有時需要迭代多次。而在運籌學授課過程中，傳統教學方式比較注重算法原理的講解，同時一些問題的求解過程比較復雜、運算量大，因此降低了學生學習的積極性，導致其實踐能力較弱[2]。

針對管理運籌學的教學重點，教師結合目前學生在學習中存在的問題，在課堂教學中引入相關軟件。在教學過程中，盡可能利用軟件去完成管理運籌學中大量且煩瑣的計算工作。這樣既能緩解學生對復雜計算的畏難情緒，又能集中精力攻克“數學建模”的難關和進行決策優化分析[3]。不但可以提高運籌學的上課效率，使課堂生動、活潑，而且也有助于提高學生的動手能力和創新能力。

目前能夠求解運籌學問題的軟件有很多，例如MATLAB、Excel、Lindo、Lingo、Python等，這些軟件特點各有不同。由于管理運籌學中很多方法涉及矩陣運算，例如求逆運算、轉置運算等。MATLAB的很多運算都是直接針對矩陣的。各種矩陣操作，在MATLAB中只需要一個簡單的命令就可以完成，在此選擇MATLAB軟件求解運籌學問題。

2 MATLAB軟件介紹

MATLAB是一種適合多學科、跨平臺的大型實用科學計算軟件[4]。MATLAB語言的特點：①使用簡潔直觀。它可以進行矩陣運算和實現算法等。在MATLAB中矩陣運算變得非常簡單。②功能強大。其庫函數十分豐富。MATLAB針對許多專門的領域，將一些重要的問題通過軟件制作成工具箱。

MATLAB軟件功能強大、應用廣泛，已成為21世紀最為重要的科學計算語言。近些年，國內的很多高校也將MATLAB列為本科生的必修課程。運籌學教學中的許多問題可以應用MATLAB的內置函數通過簡單的編程進行求解。

3應用實例

利用MATLAB軟件求解運籌學問題的步驟如下：首先，根據教學目標有針對性地設計相關實例[5]；其次，建立相應的運籌學模型；然后，利用MATLAB軟件編寫相關程序；最后，利用軟件求解模型并分析結果。

3.1 MATLAB在線性規劃中的應用

該標準型與線性規劃問題定義的標準形式不同。式（1）中，目標函數求極小。x為n維的決策變量。約束條件分為不等式約束和等式約束兩種類型，不等式約束有m1個，等式約束有m2個。不等式約束形式為“≤”。對應的，b為m1維列向量；beq為m2維列向量；A為m1×n維矩陣；Aeq為m2×n維矩陣。c、x、lb和ub均為n維列向量。

因此，需要將實際應用中不同類型的非標準型化為MATLAB要求的標準型，操作方法如下：①如果遇到對目標函數求極大的問題，需要在函數前面加一個負號，轉化為對目標函數求極小的問題。②如果出現“≥”形式的不等式約束，則需要在兩邊乘以（-1），使其轉化為“≤”形式。③將不等式約束和等式約束均轉化為矩陣形式。

實例：某工廠在計劃期內要安排生產I、II兩種產品，已知生產單位產品所需的設備臺時及A、B兩種原材料的損耗，如表1所示。單位產品Ⅰ和產品Ⅱ的利潤分別為2元和3元，問應如何安排計劃使該工廠獲利最多[6]？

以上模型的求解結果是屬于唯一最優解的情況。若求解結果是無窮多最優解，MATLAB則只能給出其中一組最優解，無法給出其他最優解。若求解結果是無界解，MATLAB給出的結果是x=[]，fval=[]。若求解結果是無可行解，MATLAB則給出的結果是“No feasible solution found”。

3.2 MATLAB在指派問題中的應用

在現實生活中，有各種類型的指派問題。例如，有一些工作需要分配給一些員工來完成；一些班級需要安排在一些教室上課等。這些問題都需要滿足一定的指派要求，并使指派方案的總體效果最好[7]。

實例：某汽車公司擬將四種新產品安排到四個工廠進行生產，四個工廠生產單位產品的成本如表2所示。求最優生產配置方案。

需要注意的是，該指派問題屬于特殊的0-1整數規劃問題。MATLAB工具箱中沒有提供相應的函數，因此需要提前準備好整數規劃的函數intprog，再進行調用。該函數的調用格式為[x，fval]=intprog（c，A，b，Aeq，beq，lb，ub，M， TolXInteger）。其中，輸入參數M為有整數約束條件限制的變量的序號；輸入參數TolXInteger為判定整數的誤差限，其他參數的含義與線性規劃命令linprog中的參數基本一致。

運行上述程序后，得到該指派問題的最優解，x=（1，0，0，0，0，0，0，1，0，0，1，0，0，1，0，0）T，fval=513。即最優方案是工廠1生產產品1，工廠2生產產品4，工廠3生產產品3，工廠4生產產品2。此時生產總成本為513元。但實際上這個問題有兩組最優解，另一組最優解是工廠1生產產品1，工廠2生產產品3，工廠3生產產品4，工廠4生產產品2。需要注意的是，MATLAB計算得到的是其中一組最優解。

3.3 MATLAB在圖論中的應用

運籌學在實際中應用非常廣泛，除了以上所提到幾個方面的問題外，還有圖論中的最小樹問題、最短路問題和最大流問題等，這些問題也都可以利用MATLAB進行求解。

在各種各樣的圖中，有一類簡單又十分重要的圖，就是樹。樹在電路網絡分析、管理決策、計算機算法等許多領域都有著廣泛的應用。

實例：某辦公大樓連接情況圖1所示（p124），試求最佳的網絡布線方案。

MATLAB工具箱中沒有求解最小樹的命令，因此需要提前準備好函數kruskal再進行調用。函數kruskal設計的原理是基于避圈法。kruskal函數的調用格式：[T，v，c]= kruskal（b），其中，輸入參數b為所有邊及其權數組成的矩陣。輸出參數T為最小樹的邊，v為最小樹的鄰接矩陣，c為最小樹的總權數。

4結論

通過以上實例說明，利用MATLAB可以方便地求解生產計劃等各種管理運籌學問題。MATLAB的優點在于，第一，語法規則簡單，便于學生理解和使用。第二，MATLAB提供了很多計算函數，提高了學生計算的效率和準確性。第三，該軟件靈活度高，對于一些有特殊要求的模型，可以靠自己編寫程序實現。但需要注意的是，第一，如果原問題有最優解，利用MATLAB只能給出其中一組最優解。第二，MATLAB直接給出結果，無法展示求解的具體步驟。

本文把MATLAB軟件引入管理運籌學的教學，通過有針對性地設計相關實例，引導學生動手編寫相關程序，使學生可以直觀地看到算法的實現過程，從而提高學生的學習興趣，培養學生的創新能力，為將來科研素養的培養打下基礎。

*通訊作者：肖吉軍

基金項目：廣西高等教育本科教學改革工程項目“融入課程思政的工業工程專業課程教學改革與實踐”（2021JGB188）；廣西高等教育本科教學改革工程項目“工程教育專業認證背景下機械類專業基礎課程混合式教學的考核方式改革與實踐”（2023JGA208）；廣西“四新”研究與實踐項目“新文科視閾下地方高校新型工業工程專業建設研究與實踐”。

參考文獻

[1]肖勇波.運籌學：原理、工具及應用[M].北京：機械工業出版社，2021.

[2]張明，王文文.Matlab在經管類運籌學教學中的探索與實踐[J].大學教育，2012，1（7）：81-82，89.

[3]吳睿，陳鵬.“管理運籌學”課程教學改革思路探索[J].遼寧工業大學學報（社會科學版），2009，11（6）：137-139.

[4]李明.詳解MATLAB在優化計算中的應用[M].北京：電子工業出版社，2017.

[5]王怡.經管類專業運籌學實驗課程優化改革探討[J].科教導刊（中旬刊），2015（32）：49-50.

[6]運籌學教材編寫組.運籌學（第四版）[M].北京：清華大學出版社， 2015.

[7]李軍.管理運籌學[M].北京：中國輕工業出版社，2016.