素養(yǎng)導向下2023年新高考Ⅰ卷試題特點及教學啟示

王思儉 (江蘇省蘇州中學 215007)

《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)》提出了核心素養(yǎng)的總體框架和基本內涵,高考評價體系確立了高考學科素養(yǎng)的考查目標,標志著高考正在實現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導向的歷史性轉變[1]．

1 素養(yǎng)導向與能力立意命題的甄別

能力立意命題側重知識、智力、能力和技能的考查,追求知識覆蓋面,試題結構完整,考查目標明確,重視解題的熟練度．而素養(yǎng)導向命題不但強調知識和智力,更強調知識的遷移和后繼的學習．試題的特點是不追求知識覆蓋面,重要知識重點考,不追求試題結構完整,而追求試題的探索性和開放性,重視學生的臨場思考發(fā)揮,目的在于更清晰、更精準、更科學地考查學生的“智力水平、思維深度、思維習慣和科學態(tài)度”[1]．

從能力立意到素養(yǎng)導向的轉變,重在“反套路、反機械刷題”,更突出地表現(xiàn)為:從關注知識到關注人;從解決常規(guī)性問題的技能到創(chuàng)造性的探索能力;從學科的知識化到真實的情境化;從結構良好到條件開放;從單一因素到復合因素;從局部到整體．

素養(yǎng)導向的高考命題引導中學教學尊重學生學習的主體地位,激發(fā)學生學習的主觀能動性,讓學生養(yǎng)成良好的學習習慣,從而更好地“為國家培養(yǎng)全面而有個性的社會主義建設人才”[1]．

2 試題特點

2.1 關注數(shù)學閱讀理解能力的考查

高考數(shù)學試卷對數(shù)學閱讀理解能力的考查是全方位的．文字語言、符號語言、圖形語言、表格語言的相互轉換是解決數(shù)學問題的前提．

第10題通過數(shù)學符號語言和表格語言建立了幾個聲壓級的對數(shù)不等式,第21(3)題利用概率和數(shù)學期望的符號語言對離散型隨機變量的數(shù)學期望進行考查．對數(shù)學符號語言的理解和轉譯能力決定著學生是否能夠順利抽象出數(shù)學問題,建立數(shù)學模型并能快速求解．第21題數(shù)學語言、符號語言的數(shù)學抽象性給學生理解題意帶來一定的麻煩,它既是對學生符號語言閱讀理解能力的考查,也是對邏輯思維水平的檢測．

2.2 加大數(shù)學核心素養(yǎng)的考查力度

2023年新高考Ⅰ卷加大對直觀想象素養(yǎng)的考查力度,重視對數(shù)學邏輯思維和直覺思維能力的考查．尤其體現(xiàn)在對立體幾何章節(jié)主干知識的考查上:第14題側重臺體體積計算(連續(xù)四年考查棱臺體積);第12題涉及正方體內能否放置球、正四面體、圓柱等幾何體的問題,考查問題探究能力;第18題在正四棱柱中考查直線平行和空間向量計算二面角,測試學生的邏輯推理和數(shù)學表述能力,其中第(1)題有多種證法,但有些學生因數(shù)學表述能力欠缺,錯誤地將平面幾何性質類比到空間了,即由四條邊相等推得四邊形為菱形,痛失4分．

今年立體幾何的命題打破了思維的慣性,特別是第12題,要求學生能夠從各類題型、解題套路中脫離出來,打開思路,發(fā)揮聯(lián)想,創(chuàng)造性地解決問題．這種命題方式的變化增強了試題靈活性,增強了對直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)的考查,對防止題型固化、引導立體幾何教學起到了良好作用．

2.3 重視數(shù)學基本思想方法的考查

2023年新高考Ⅰ卷從數(shù)學學科整體意義和思想價值的高度、寬度與深度立意,著力檢測和考查學生對知識本質的理解和對數(shù)學思想方法的應用．突出了對解析幾何部分的考查,共有4道試題考查解析幾何主干知識:第5題考查學生對橢圓幾何性質的理解,突出對定義法和方程思想的考查;第6題考查學生對直線與圓相切的幾何性質的理解,突出對其中蘊含的數(shù)形結合、等價轉化等數(shù)學思想方法的寬度立意的考查;第16題考查學生對雙曲線的定義和離心率等幾何概念的理解,突出對化歸與轉化、方程思想、整體思想、定義法、待定系數(shù)法等思想方法的高度立意的考查;第22題考查學生對拋物線的定義、直線與圓錐曲線的位置關系的理解與應用,突出對定義法、待定系數(shù)法、導數(shù)法、放縮法、化歸與轉化、函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類討論等數(shù)學思想方法的深度立意的考查．將考查的重點放在對圓錐曲線定義、性質的理解和探究解析幾何的基本思想方法上,這也反映出高考評價重視思想方法,重視應用與創(chuàng)新,淡化“秒殺”、二級結論、機械刷題的導向．

總之,素養(yǎng)導向下高考命題遵循教育部“反套路、反機械刷題”的命題思想．試題分步設問,逐步推進,測試由淺入深,很好地達到了測試目的,使理性思維深度、知識掌握的牢固程度、運算求解的熟練度、書寫表達的清晰度不同的學生都能得到充分展示,較好地測試了學生進一步學習的潛能和后繼學習能力,具有較好的區(qū)分度．試題呈現(xiàn)簡潔明了,不偏不怪,注重對通性通法的考查,對學生的自主學習和深度探究都具有較好的導向作用,較好體現(xiàn)了“高考引導高中教學而不是高考適應高中教學”[1]．

3 教學啟示

教材是眾多數(shù)學家、教育學和心理學專家、數(shù)學教育專家和一線教育名家集體智慧的結晶,無論是教材的文本還是例題、習題,都立足于學生的認知規(guī)律和數(shù)學核心素養(yǎng),符合教育規(guī)律．高考命題唯一的依據(jù)就是新課標和新教材,因此我們要利用好教材,挖掘教材的潛在育人功能．

3.1 教學生學會數(shù)學理解

高中數(shù)學教學中,著重在思辨交流中教會學生怎樣學會數(shù)學理解．理解概念、熟練技能和準確表達是數(shù)學學習的“三要素”,囫圇吞棗、貪多求快的做法會給后繼學習埋下隱患,做好這些的訣竅就是遵循學習規(guī)律,學會交流與思考．概念是數(shù)學的精髓所在,必須深刻理解、牢固掌握,因此概念學習要“慢慢來”．仔細閱讀教科書,用心揣摩每一句話,搞懂每道例題,在探究、質疑、反思中逐漸領悟數(shù)學概念及其蘊含的數(shù)學思想和方法,并能用簡潔的數(shù)學語言概括出來,從而實現(xiàn)認識的升華．

案例1以“概率的相互獨立性”為例(2021年新高考全國Ⅰ卷第8題):有6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則( )．

A．甲與丙相互獨立

B．甲與丁相互獨立

C．乙與丙相互獨立

D．丙與丁相互獨立

本題難度不大,但得分率較低,平均分1.65分．學生對判斷題的求解策略匱乏,對相互獨立事件的定義理解不深刻,不能靈活利用列表法列舉出所有事件和發(fā)生事件．

為此教師提出:蘇教版高中數(shù)學必修二第247頁指出“對于n個相互獨立事件A1,A2,…,An,則這n個事件同時發(fā)生的概率為P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)”,如果兩兩獨立,這公式成立嗎?引導學生大討論．

學生認為相互獨立,一定有兩兩獨立．反過來也應該成立．至此教師設置如下問題:

(1)集合Ω={1,2,3,4},集合A={1,2},B={1,3},C={1,4},請判斷:A,B,C是否相互獨立?概率乘法公式是否成立?(人教版教材必修二第249頁第2題改編)

(2)集合Ω={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={1,3,4},C={1,2,4},請驗證:P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立?

(4)類比兩個事件相互獨立的定義,現(xiàn)有兩種方法定義三個事件相互獨立:

方式1 對任意的三個事件A,B,C,如果P(ABC)=P(A)P(B)P(C) ①成立,則稱事件A,B,C相互獨立．

方式2 如果事件A,B,C兩兩獨立,則三 個事件A,B,C相互獨立,即有P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C) ②．

你們認為這兩種定義方式可以嗎?

事實上,已經(jīng)舉出②式成立但①式不成立的例子;同樣地,也可以舉出①式成立但②式不成立的例子．這兩種定義的方式都不合理．實際上,將方式1和方式2相結合,可以得到三個事件相互獨立的定義:對任意三個事件A,B,C,如果①式和②式同時成立,則稱事件A,B,C相互獨立．

(6)對于n(n>3)個事件的獨立性定義及性質,可以由3個事件的獨立性直接推廣得到蘇教版第278頁的結論嗎?

3.2 教學生學會數(shù)學思考

在高中數(shù)學教學中,往往存在著大量“機械刷題”的現(xiàn)象,有的要求學生死記硬背幾十條“二級結論”,認為這樣能夠迅速“秒殺”高考題,提高學生的解題能力．其實不然,盲目刷題、背“數(shù)學結論”,時間越久,效果越差,甚至適得其反．因此,在高三復習教學中,要為學生增加“悟”的機會和時間,通過適當留白、適當停頓,讓學生多一些感悟、多一些醒悟、多一些頓悟．只有這樣才能提升學生的數(shù)學思考力和數(shù)學思維能力．我們可以引導學生嘗試對真題進行深入探究——一題多變,讓學生真正領悟數(shù)學的韻味．

案例2以“集合”為例(2022年新高考Ⅱ卷第1題):已知集合A={-1,1,2,4},B={x| |x-1|≤1},則A∩B=( )．

A．{-1,2} B．{1,2}

C．{1,4} D．{-1,4}

師生對這道簡單的高考題共同進行不斷的改編,得到12道不同類型的高考熱點題型．

策略1更換集合中元素特征的表述方式,使得兩邊都含有未知量的絕對值不等式,利用平方或者分類討論化簡集合．如已知集合A={x∈Z|x2-2x-3≤0},B={x||x-1|<2x-3},則A∩B=( )．

A．(2,3] B．{0,1,2}

C．{2,3} D．{3}

策略2更換兩個集合中的元素特征表示方式,旨在訓練學生的審題意識．

策略3集合中的元素改為無理不等式或對數(shù)(指數(shù))不等式的解,同時題型改為多選題,旨在復習集合的運算(交、并、補集)．例如:(多選)已知集合M={x|x2-5x+4<0},N={x| |log2x-1|<1},則( )．

A．M∩N=M

B．M∪N=(1,4)

C．M∪(RN)=R

D．M∩(RN)=?

策略4在兩個集合的不等式中設置參數(shù)(即含有參數(shù)的不等式解集),變更為熱點題型——多選題,同時在選項中設置子集、補集、交集、并集等．例如:(多選)已知集合

N={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0},則( )．

A．若M為單元素集合,則N=[2,4]

B．若N為單元素集合,則M=[-2,2]

C．若M?N,則a的取值范圍為[1,3]∪{-1}

D．若M∩N=?,則a的取值范圍為(0,1)

通過這一系列的改編,引導學生關注真題演變,關注教材文本,關注命題思路．

高考數(shù)學試題對學生的閱讀能力、作圖能力和運算求解能力提出了較高的要求,這些能力提升的空間應該花在課堂上．在課堂上,學生不光是聽講,還要動腦思考、動手實踐、動嘴交流;教師要給學生提供充分的時間進行閱讀、作圖、計算,要讓審題和思考形成一種規(guī)范,要讓作圖成為學生的習慣,要讓數(shù)學運算能夠進行到底,要讓聯(lián)想能夠插上翅膀自由飛翔,進而逐步激活學生的思維,提高解決問題的能力．例如對于真題的求解,可以鼓勵學生從多角度去思考、去聯(lián)想,就能得到不同的求解策略．

案例3一題多解——以基本不等式為例(2022年新高考Ⅱ卷第12題):若x,y滿足x2+y2-xy=1,則( )．

A．x+y≤1

B．x+y≥-2

C．x2+y2≤2

D．x2+y2≥1

在教學中,教師引導學生利用恒等變形、變量代換、基本不等式及其變形形式等各種方法和技能求得答案．

策略2消元法和方程思想:令x+y=t,得3x2-3tx+t2-1=0,利用判別式即可．

以上從四個不同角度求解此題,這些都是通性通法,不能僅僅停留在完成的層面上,而應該鼓勵學生主動去思考:還有沒有其他的解法?已知條件和未知目標還能進行哪些變形?認知不同,就可能有不同的解題策略．

方法1 分離變量法:

方法2 反求法(解不等式法):

策略6代數(shù)換元:令x=u+v,y=u-v,轉化為橢圓u2+3v2=1問題．

策略7函數(shù)與方程思想:從x2+y2-xy=1中解出y,并求出x的取值范圍,將x+y和x2+y2都表示為x的函數(shù),再用導數(shù)法求解．

策略8“1”的代換——齊次化:

通過再一次的深度思考,又給出四種策略,其中策略5有4種不同解法,這些解法覆蓋了高中數(shù)學的三角函數(shù)、解析幾何、導數(shù)、基本不等式和解不等式等基礎知識,涵蓋了求函數(shù)值域的常用策略和數(shù)學思想方法．因此,我們在高考備考復習中不僅要正確對待教材,也要認真演練高考真題,從高考真題中感悟出數(shù)學的本質,體悟思維上存在的問題,領悟思考數(shù)學問題的方式．

3.3 教學生學會數(shù)學表達

教學生解題是高中數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié),教師的板書示范作用是唯一有效的途徑．對于參加高考的學生而言,解題是高考數(shù)學的唯一形式,得分是高考的重要目標,因此教師要教會學生如何表述自己的想法、如何將想法進行規(guī)范書寫,這是解題教學過程中刻不容緩的任務．

由于高考閱卷依據(jù)評卷細則,根據(jù)考生答卷紙上的白紙黑字進行評判賦分,因此秉承了公平公正、公開透明、規(guī)則面前人人平等的原則．我們常常說高考閱卷是“踩點得分”,準確地講就是根據(jù)邏輯段給分．邏輯段是由條件、結論以及可以由條件推出結論的依據(jù)(如定義、公式、定理、公理、基本事實等)構成,若干邏輯段組成的邏輯鏈構成完整的解題過程．因此,數(shù)學表達(書寫)必須強調邏輯嚴謹,要步步有據(jù)、環(huán)環(huán)相扣、銜接自然、書寫規(guī)范．

鑒于此,我們在解題教學時,務必要讓學生想得明明白白,務必要讓學生寫得清清楚楚,詳略得當,只有這樣才能真正做到“會而對,對而全”．

案例4以“導數(shù)”為例(2022年9月清華大學中學生學術能力測試題第21題):已知函數(shù)f(x)=ex-ex,g(x)=2ax-a-1,其中a∈R,e=2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)求f(x)的最小值;

(2)設函數(shù)h(x)=f′(x)-g(x)(f′(x)為f(x)的導函數(shù)),如果函數(shù)h(x)在(0,1)內有兩個不同的零點,求實數(shù)a的取值范圍．

·教學片段

生1:令f′(x)=ex-e=0,得f(x)有極小值為f(1)=0．

生2:不規(guī)范,應該列表討論．

師:正確!解題過程要規(guī)范,盡管f(x)是“單谷”(或“單峰”)函數(shù),也要列表討論,或者指出各單調區(qū)間及其單調性,最后才能給出結論．

生3:因為導函數(shù)為h′(x)=ex-2a．令h′(x)=0,得x=ln(2a).列表討論,當x=ln(2a)時,h(x)有極小值,也是最小值,h(ln 2a)=3a-2aln(2a)-e+1．

師:請你再審題,在哪個區(qū)間有2個零點?

生6:題目要求f(x)在(0,1)上有兩個零點,所以還需要分極值點在區(qū)間左側、右側和中間三種情況．經(jīng)討論可知ln(2a)≤0,ln(2a)≥1都不合適,只要考慮當00且h(1)>0即可,解之得e-2

師:很好!你們聯(lián)想二次函數(shù)在指定開區(qū)間內有兩個不同零點情況,這屬于方法遷移．

生7:這僅是充分條件,是否為必要條件呢?還要證明當e-2

師:對于不等式h(ln 2a)<0確實無法求解,但可以證明它在(e-2,1)內恒成立,于是就得出結果．從你們的交流過程中可以看出——在求解含有參數(shù)的函數(shù)綜合問題(如函數(shù)零點、方程的解、不等式恒成立等)時,首先要審清題意,真正弄清楚已知條件和要求的結論．其次要尋求解題路徑,什么方法可以完成求解任務,實現(xiàn)目標?最后要進行解題回顧,你的結果是題目的最終結論嗎?過程嚴謹嗎?還有其他解法嗎?哪種方法較好?問題能否推廣?等等．