以課堂教學評價視角談“橢圓離心率”概念的引入*

顧曉峰 (江蘇省錫山高級中學 214074)

1 問題提出

離心率是刻畫橢圓形狀的重要量,在引入此概念前,學生頭腦中對不同的橢圓形狀已有直觀認識,但定性的感知要上升為定量的描述,這既是他們直觀想象水平與數學抽象素養的生長點[1],也是“橢圓的簡單幾何性質”中的教學難點.那么,離心率到底應該如何引入?對于大量的相關教學設計該如何借鑒?為了回答這一問題,筆者從課堂教學評價視角出發,基于實際課堂案例,從教師教學行為和學生學習行為兩個維度對教學過程進行評價.一方面,利用觀察量表對相應指標進行賦分,量化教學結果;另一方面,充分關注教師能動性、學生態度變化等質性因素,既“有章可循”,又不“受制于形”.最后,基于評價分析,筆者形成自己的教學設計并進一步實踐與反思.

2 “橢圓的離心率”教學中存在的問題

筆者以本主題的學校常態課、公開課、視頻課(評優課、示范課)以及期刊論文中相關教學實錄(設計)為素材,收集了18節課例.利用文[2]提供的數學深度教學課堂評價表(表1)進行課堂觀察與過程性評價.需要指出的是,以下討論不再呈現具體賦分,而是基于賦分結果與課后訪談,聚焦于“橢圓離心率如何引入”的教學處理中存在的主要(共性)問題.

表1 數學深度教學課堂評價表

人教A版教材中關于橢圓離心率的引入如圖1所示.

圖1

2.1 直接引進a,c進行刻畫,忽視概念的探究性

2.2 不能立足于學生視角,忽視定義的合理性

2.3 過分強調離心率的背景意義,忽視認知的階段性

基于以上評價分析,離心率概念的引入教學應起于學生的最近發展區,從直觀到微觀,從具體到抽象,通過有效的問題串啟發學生的認知,逐步探尋量化橢圓扁圓程度的可能性與合適性.同時,教學需考慮到信息技術使用的必要性,突出師生間的多元互動,使學生較為深刻地理解離心率這一概念本質.筆者結合分析并重構教學,以下展示具體過程.

3 教學重構的實錄

師:我們只需輸入方程就可以生成圖象了,大家要不隨便說個方程來試試!

師:現在有兩個橢圓圖象,從形狀上看,它們有沒有什么差異?

生(眾):一個扁些,一個圓些,紅色橢圓更圓.

設計意圖通過GGB作圖激發學生直觀想象,自然地發現橢圓間扁圓程度的區別,培養學生發現問題的探究意識.

師:那你們能不能說一個比紅色橢圓還要圓的橢圓?

師:果然更圓了!生2你是怎么想到這個方程的?

生2:因為要讓橢圓變圓,(在長軸不變的情況下)就要讓短軸長變大,也就是b要變大.

師:大家都點頭同意生2!那是不是只能通過變化b來改變扁圓程度?

生(眾):不是!

師:那你(生3)還有什么別的辦法?

生3:也可以讓a變小,這樣長軸越短,橢圓就顯得越圓!

師:很好!那是不是a與b只能變化一個?

生(眾):兩個可以同時變.

師:那a與b同時變,橢圓的扁圓程度就一定會發生變化嗎?

生4:不一定!a與b等比例同時變化時橢圓形狀應該不變!

生5:λ在變,橢圓的a2,b2在(等比例)變化,不過橢圓形狀沒有改變,只是放大或縮小了!

師:很好,那根據實驗,如果我們用一個量來刻畫橢圓的圓扁程度,你們會想到什么?

生(眾):也可以!

設計意圖立足學生視角,通過遞進式的問答讓學生從直觀性上逐步分析引起橢圓形狀變化的基本量,培養學生利用控制變量法研究問題的思維策略.在探究活動中,學生能夠主動學習,獲得經驗,充分體會概念建立過程中對合理性的追求,提升他們分析問題的能力.

師:為什么它在變大時會趨于1?

生(眾):因為b

師:很好!還記得在橢圓的第一節課里,我們已經知道只要給一根繩子,就可以畫出橢圓.請大家就利用桌上不同長度的繩子,類比剛剛的研究思路,小組合作探究,能否發現橢圓的扁圓程度還與什么量有關?

設計意圖學生經歷由直觀想象到數學抽象的第一階段,初步獲得了研究問題的方法,于是在第二階段放手讓學生實踐,進一步培養學生解決問題的能力.通過第二階段的探究活動,學生能從不同角度審視數學概念,加深對概念內涵的理解.

生3:我們發現一根繩子的兩端如果越靠近,畫出來的橢圓越圓,如果越遠離,橢圓越扁.說明a一定的情況下,改變c也可以改變扁圓程度.

師:很好,也就是兩個焦點越靠近中心(c越小),橢圓越圓;兩個焦點越遠離中心(c越大),橢圓越扁.

生6:我們發現在繩子兩端距離確定的情況下,繩子越長,橢圓越圓;繩子越短,橢圓越扁.也就是c確定時,a越大、橢圓越圓,a越小、橢圓越扁.(教師用GGB進行演示驗證)

師:兩組同學都用了控制變量法,那有研究同時變化的嗎?

生7:我們與前兩組同學得到了一樣的結果,而且猜想a與c等比例同時變化時,橢圓的形狀不變.但用繩子做不出效果,應該可以用GGB做出來!不過我們小組進行了代數推理.

師:怎么推理的?

生7:因為b2=a2-c2,所以a,c按相同比例變化時,b也按該比例變化,按照剛剛的探究,此時橢圓的扁圓程度是不變的.

師:大家的表情說明都很認可生7的分析!這意味著我們還可以用什么量來刻畫呀?

師:那就有了類似的問題,它怎么變可以使橢圓更圓,怎么變可以使橢圓更扁呢?

設計意圖一方面,教學中需尊重學生的思維習慣,不拘泥知識的呈現順序,讓學生自主分析、歸納和總結實驗結果;另一方面,教師需合理掌控課堂進程,使學生觀點能匯合到概念主旨,形成認知刺激甚至沖突,進一步認識到橢圓扁圓程度的刻畫既不唯一又相互統一.

生(眾):偏離中心的程度.

師:那你們覺得用什么量刻畫更好?

4 教學反思

最后,關于概念課的教學設計筆者還有一點思考:在課堂教學評價中,信息技術是否使用越多越好?課堂是不是越活躍越好?筆者認為,如果技術的使用不能有助于學生把握概念的本質,課堂表面的熱鬧也沒有真正喚起學生的認知沖突,那么這樣的設計是理應改進的.如筆者在離心率概念引入的設計上原本是想全面基于信息技術平臺,突出過程可視化,激發學生興趣,但這在一定程度上弱化了學生理性思維的生成,于是在設計上作出調整,著力讓信息技術的使用在關鍵處彰顯價值.在實際教學中,筆者既引導學生思考,也放手讓學生探究,整個過程學生的反應先緩后快,先冷后熱再歸于平靜,課堂雖沒有持續的熱鬧但卻能明顯感受到學生思維的碰撞.這些“恰如其分”也是有助于構建良好課堂生態的.