建立函數模型教學中的一個誤區分析*

劉 嘉 (北京市朝陽外國語學校 100012)

數學建模素養是新一輪課程改革中提出的六大學科核心素養之一,在2017年版高中數學課程標準中,詳細闡述了數學建模的內容,并提出了具體的課時要求和教學要求．在此背景下,越來越多的教師開始在課堂上開展數學建模教學．但筆者在參加一些教研活動時,發現部分教師對建立函數模型的教學認識有一些誤區;在指導一些學生參加數學建模競賽時,發現部分學生在建立函數模型時也存在相同的誤區．

1 案例1:彈簧振子位移和時間關系的建模

某次教研活動,一位教師上了研究課“三角函數模型的應用”．

1.1 課堂實錄片段

師:某彈簧振子在完成一次全振動的過程中,時間t(單位:s)與位移y(單位:mm)之間的對應數據如表1．試根據這些數據確定這個振子的位移關于時間的函數解析式．

表1 彈簧振子位移與時間對應數據表

師:請同學們描繪出這些數據的散點圖,看看像什么函數的圖象?

生甲:我們組繪制的散點圖如圖1,觀察散點好像分布在一個三角函數圖象上,于是我們組用y=Asin(ωt+φ)進行擬合,得到這個振子的位移關于時間的函數解析式是y=20.25sin(10.51x-1.58)+0.12(圖2)．

圖1 振子的位移關于時間散點圖 圖2 三角函數模型擬合 圖3 二次函數模型擬合

生乙:我們組觀察散點好像分布在一個二次函數的圖象上,所以選擇用二次函數y=ax2+bx+c進行擬合,得到的解析式是y=-451.39x2+270.83x-26.33(圖3)．

師:同學們討論一下,哪個模型更好呢?

生乙:我們覺得甲組同學的模型更好,因為他們的散點基本都分布在函數圖象上,而我們組的散點跟函數圖象并不完全重合．

生丙:我們組進一步繪制了兩種函數模型的殘差圖(圖4、圖5)．可以發現,用三角函數模型擬合時,殘差幾乎分布在x軸上,而用二次函數模型擬合時,殘差分布在x軸兩側一個寬度約為12的帶狀區域內．通過對比,我們認為選用三角函數模型來描述這個振子的位移關于時間的函數關系更好．

圖4 三角函數模型殘差圖 圖5 二次函數模型殘差圖

師:同學們的討論非常精彩,我們可以通過繪制殘差散點圖或計算殘差平方和來更精確地檢驗哪種模型更好．一般地,如果殘差平方和越小或者殘差散點圖分布的帶狀區域越窄,我們可以認為這個模型越準確．

1.2 點評

對于在“振子的位移關于時間的函數解析式”建模過程中,為什么選擇三角函數模型,教材上是這么說的:“振子的振動具有循環往復的特點,由振子振動的物理學原理可知,其位移y隨時間t的變化規律可以用函數y=Asin(ωt+φ)來刻畫．”教材的處理思路是首先通過物理原理,確定需要用三角函數模型來刻畫振子位移隨時間變化的規律,然后再通過表1中的數據,來確定模型中A,ω,φ等參數．筆者認為教材的處理方式更合理．

2 案例2:燃氣旋鈕角度和燃氣用量關系的建模

2.1 課堂實錄片段

這是2021年部級精品課“數學建模:建立函數模型解決實際問題”中的一個片段,該網課可在國家基礎教育精品課網站觀看．教師首先介紹實際背景,作為日常必需品之一的天然氣是清潔能源,很多家庭的一日三餐都要使用天然氣,但是我國天然氣大部分依靠進口,時常出現供應緊張的局面,節約用氣刻不容緩．緊接著提出要研究的問題:“如何使用燃氣灶最省氣?”之后教師引導學生分析影響燃氣灶用氣量的因素有哪些,分析選定燃氣旋鈕旋轉的角度為自變量,燒開一壺水所需的燃氣量為因變量,通過研究二者的關系來探究如何操作能夠使燒開一壺水所需的燃氣量最少．

明確研究問題后,教師引導學生開始收集數據,得到表2．

表2 燃氣旋鈕處于不同位置時燒開一壺水所用燃氣量

之后,將表2中數據整理為散點圖(圖6),教師引導學生觀察,散點近似分布在一個二次函數的圖象上,因此可以考慮使用二次函數y=ax2+bx+c進行擬合．選取三對數據(18,0.130),(36,0.122),(90,0.172)代入,解得y=1.903 3×10-5x2-1.472 2×10-3x+1.503×10-1．

圖6 燃氣旋鈕角度與燃氣用量散點圖

2.2 點評

本課是一節水平非常高的建模教學課,教師引導學生經歷了選題、確定變量、搜集數據、整理數據、建立模型、模型評價、模型應用等建立數學模型解決實際問題的全過程,所研究的問題“節約燃氣”有較強的社會意義,并且也貼近學生生活．但是在建立模型的過程中,根據散點近似分布在一條拋物線上而選擇用二次函數進行擬合略有不妥．如果僅僅從這5個散點的分布來選擇模型,那么用4次多項式函數進行擬合,能夠使得這5個散點都精確地分布在這個函數的圖象上．筆者還是建議采用類似于教材的處理方式,通過對燃氣旋鈕角度和燃氣用量內在機理的分析來確定選用何種函數模型,之后再根據搜集到的5組數據確定模型中的參數．

3 建立函數模型教學中的誤區分析

4 建立函數模型教學中的改進策略

4.1 通過分析變量間內在聯系,確定模型

4.2 直接給出變量間內在聯系,確定模型

如果兩個變量間的內在聯系難以借助學生已有知識進行分析,那么教師在教學中,可以選擇直接給出模型,由學生根據收集到的數據來確定模型中的參數．比如“案例1”中提及的人教A版教材對彈簧振子的位移和時間關系的處理,就是直接給出模型y=Asin(ωt+φ),然后由學生根據相應數據確定A,ω,φ等參數的值．教材中還有許多類似的例子,又比如必修一第四章第五節例3中,研究人口增長模型,亦是直接給出了馬爾薩斯提出的模型y=y0ert,然后給出我國1950—1959年的人口數據,請學生確定模型中參數y0,r等．

4.3 定性分析變量間內在聯系,確定模型

如果兩個變量間不存在明確的內在聯系,或者雖有內在聯系,但是難以分析,此時只能退而求其次,定性分析二者間關系,結合收集到的數據進行擬合建模．教材上亦有一些例子,比如人教A版必修一數學建?；顒又?探究“茶水溫度隨時間的變化模型”,通過觀察散點的分布規律,發現散點呈下降趨勢(圖7),那么這些散點近似分布在直線上還是拋物線上或者是其他什么曲線上呢?教材中通過定性分析,指出“茶水溫度降至室溫就不能再降”這一事實,最終選擇用y=kax+25這一函數模型進行擬合．又比如人教A版必修一第五章三角函數模型的應用中探究“港口水深隨時間的變化模型”,通過觀察散點分布規律(圖8),結合“港口水深隨時間周期性變化”的特點,選擇用y=Asin(ωt+φ)+h這一函數模型進行擬合．

圖7 茶水溫度隨時間變化散點圖 圖8 港口水深隨時間變化散點圖

5 結論

建立函數模型解決實際問題一定要抓住事物的本質,盡可能地分析各變量間的內在聯系,根據它們的內部機理去選擇合理的模型．如果內部機理不明,那么可以通過收集的數據繪制散點圖,觀察散點分布規律結合對變量間相互影響的定性分析來選擇函數模型．盡量避免單純依據散點近似分布在何種曲線上就選擇何種模型,亦不能絕對地認為殘差平方和越小,模型就越好．高中數學建模教學中,教師需要引導學生根據問題的實際背景、建模的目的等綜合因素,來選擇合理的模型,通過具體案例讓學生體會數學建模的一般過程,積累數學建模經驗,提升數學建模、數據分析、數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等學科 素養．