從“零向量的方向”談對數學規定的認識

周 寧 (福建師范大學附屬福清德旺中學 350319)

1 問題的提出

日前,在觀摩一節“平面向量的概念”的授課時筆者注意到,授課教師在引出零向量的概念后提出問題“零向量的方向是怎樣的”,學生的回答有“不確定”“任意的”,教師的解釋是“零向量的幾何表示是一個點,那么任意方向都可以作為零向量的方向”,并補充“這是規定”.而筆者注意到2019年人教A版選擇性必修一教材中并沒有提出這個規定,教師的補充合適嗎?筆者查閱2019年其他版本的教材后發現,其中關于零向量方向及與任意向量的平行、垂直的規定與否是有所不同的(表1),規定與否會不會對學生的認知產生影響呢?

表1 各版本教材關于零向量的規定情況

2010年福建高考文科數學第18題曾經就引起討論(當年福建大多數地區使用2007年人教A版教材,教材中既無規定零向量的方向是任意的,也無規定零向量與任意向量垂直):文[1]就以2007年人教版必修4教材關于零向量的若干敘述為依據認為“零向量與非零向量不能垂直”,文[2]以“零向量的方向是任意的”為依據及從概念的內涵及外延的角度認為“零向量與任意向量垂直”是毋庸置疑的.筆者贊成文[2]的觀點,但認為問題引起爭議的根源在于如何理解數學中的規定.那么“零向量的方向是任意的”“零向量與任意向量垂直”有無規定的必要?現分享筆者的思考,請各位同仁批評指正.

2 對數學規定的認識

為了認識數學中的規定,下面以2019年人教A版高中數學教材(以下簡稱教材)中的規定為例進行說明,見表2.

表2 2019年人教版教材相關規定

從表2中我們可以看出,教材中的規定有兩類:一是為了研究的方便與統一以及對數學單位的規定,如第2,3,12,13條,這種類型的規定是“人為規定”;二是對數學中零元及其關系、運算的規定,如第1,4,5,6,8,14條,這種類型的規定雖然是“我們規定”,但實際上是“數學規定”.零向量的有關規定顯然是數學規定.

(1)數學規定的內涵

數學規定不是定義.定義是揭示數學概念內涵的邏輯方法,而規定是對概念外延的特殊情形的釋義,是對定義的補充.從這個意義上看,表2中第7,9,10,11條應是定義,而不是規定.筆者認為教材編者將規定與定義不加區分,有所不妥.

(2)數學規定的特性

二是科學性.數學規定的內容必須與數學體系中原有的定義、定理和公理相容,必須符合數學的邏輯和運算體系,能夠實現數學體系的兼容與融洽.例如,我們規定“空集是任意集合的子集”,為什么不規定“空集不是任意集合的子集”?這是因為空集與任意集合的關系必然要滿足集合的關系與運算.由交集的定義可以得到性質“A∩B?A”,顯然當A∩B=?時,會得到“空集是任意集合的子集”.因此這里的“我們規定”實際上是“數學規定”,是由于數學體系結構的和諧性、完整性以及運算法則封閉性的需要,必然要這樣規定.

3 對問題的解惑

基于以上對數學規定的認識,筆者認為,對于“零向量的方向是任意的”“零向量與任意向量垂直”的規定并無必要.因為“零向量與任意向量平行”就已經蘊含上述兩個規定:能夠作出任意非零向量就說明零向量的方向是任意的;對于非零向量a,也可以作出非零向量b,使得b⊥a,而0∥b,故0⊥a,也就是零向量與任意向量垂直.有人從規定“零向量與任一向量的數量積為0”來說明零向量與任意向量垂直.這種說理不合適,因為教材中性質“a·b=0?a⊥b”中a,b都是非零向量.

有人對零向量與任意向量既平行又垂直難以接受.要明白,數學不是以人的意志來發展的,而是依靠它自身的邏輯體系.正如羅巴切夫斯基利用反常理的“過直線之外的一點至少有兩條直線和已知直線平行”建立了非歐幾何,只要符合數學規律,就是合理的.實際上,若將兩個非零向量的數量積運算的定義擴大為任意兩個向量,那么從0·a=|0|·|a|·cos〈0,a〉=0我們也可以發現0與a的夾角可以是任意的.

4 結語

“零向量是否與任意向量垂直”的爭議暴露出部分教師忽視對教材中規定的教學,沒有厘清“我們規定”實則有“人為規定”與“數學規定”之分,沒有解釋“數學規定”的本源,導致教與學都出現了偏差.數學是講理的.在教學中要呈現為什么要有這個規定、如果沒有這個規定會發生什么,讓學生了解數學規定的來龍去脈,明了數學規定的緣由,感知數學和諧的美,理解數學體系的自洽,提升對數學的認知.