對一道競賽題及其逆命題的探究

許愛瑛 (陜西省咸陽中學 712000)

2020年馬其頓數學奧林匹克競賽中有一道不等式證明題:

文[1]用三角換元法給出了證明,但證明過程比較復雜.如果注意到不等式①兩邊的結構,聯想到均值不等式,則可獲得一種十分簡單的證明．

將問題1推廣,得到下列結論:

證明 由已知條件及均值不等式,得

9(m+n+k)=mxy+nyz+kzx≥

解得xk+mym+nzn+k≤32(m+n+k),所以

(m+2n+k)x+(m+n+2k)y+(2m+n+k)z

如果將推廣1及其證明中的3換為正實數p,那么類似地可以證明:

推廣2正實數x,y,z,p及正整數m,n,k滿足mxy+nyz+kzx=p2(m+n+k),求證:(m+2n+k)x+(m+n+2k)y+(2m+n+k)z≥

如果考慮將問題1的已知條件和所證不等式互換位置,那么可以得到如下逆命題:

將問題2推廣,得到下列結論:

類似地,可以證明:

上面對競賽題及其逆命題的推廣,只是將已知條件和要證明的不等式中變量的系數進行了拓展,但不等式等號成立的條件仍然是x=y=z,對于其他取等號的條件,不等式會怎樣變化呢?留給有興趣的讀者去思考吧．