“情境—問題—思維”視角下的數學教學
——以“科學記數法”為例

胡連成 (江蘇省豐縣梁寨鎮梁寨初級中學 221700)

1 基本情況

1.1 授課對象

施教對象為蘇北農村初中七年級學生,學生數學基礎一般,具備一定的探究思考、交流合作的能力．

1.2 教材分析

本節課是蘇科版教科書七年級上冊“2.7有理數的乘方”第2課時內容,這是學生已經學習過有理數加、減、乘、除、乘方的內容之后,安排的一節與現實生活中大數處理相關的教學內容．一方面讓學生感受現實生活中客觀存在著各種大數,另一方面揭示人們對大數讀寫時存在諸多困難,啟發學生思考簡便的表示方法．由于教科書中關于本課內容僅限于用科學記數法表示大于10的數,沒有體現用科學記數法表示絕對值大于10的負數內容;而在七年級下冊“8.3 同底數冪的除法”第3課時(內容為用科學記數法表示小于1的數)“練一練”環節出現了用科學記數法表示絕對值小于1的負數的習題．為體現科學記數法表示數的便利性、統一性和知識結構、方法體系的完整性,本課對教學內容進行了重組設計,共分為三個教學環節:(1)用科學記數法表示大于10的數;(2)用科學記數法表示絕對值大于10的負數;(3)思考小于1的數如何簡便表示．其目的在于通過系列問題思考,讓學生能從中體會相關的數學思想和思考問題的一般策略,發展理性思維．

教學目標 (1)體會科學記數法的簡便性和必要性,能用科學記數法表示絕對值大于10的數,感受數學與生活的密切聯系;(2)能將一個科學記數法表示的數還原,在互逆的數字轉化中建立基于自我理解的知識結構和方法體系,積累數學活動經驗,體會轉化與化歸的數學思想．

教學重點 會用科學記數法表示絕對值較大的數．

教學難點 歸納基于自我理解的科學記數法中冪的指數與原數的內部關聯．

教學策略 一方面通過現實世界中的數據引入,讓學生體會到大數存在的普遍性和用簡便方法表示的必要性;另一方面在從特殊到一般的問題思考中,讓學生經歷觀察猜想、探索驗證、合作交流的過程,從中發展用數學的思維思考問題的意識．

2 教學過程

2.1 創設情境,引發思考

問題1(比一比)請比較下列兩組數的大小:

(1) 1.01,1,0.99;(2) 1.01365,1365,0.99365．

師:請說出第二組各數表示的含義,你認為它們的結果差別大嗎?

生1:這三個數分別表示365個1.01相乘,365個1相乘,365個0.99相乘．因為1.01,1和0.99相差不大,我想這三個數的值也應該相差不大．

師:實際上,1.01365≈37.78,1365=1,0.99365≈0.026,其差距是巨大的,對于問題我們既要大膽猜想,更須小心驗證．數據比較告訴我們一個道理:積跬步以至千里,積懈怠以至深淵．每天進步一點點,一年后你進步驚人;每天原地踏步走,一年后你還在原地;每天退步一點點,一年后你退步很多．希望我們每節課都能有所收獲,每天都能前進一步,堅持下去,你會發現一個嶄新的自我．

問題2(讀一讀)世界上最大的海洋是太平洋,面積約是181 344 000 km2,世界上國土面積最大的國家是俄羅斯,面積約是17 098 200 km2．

讓學生讀出這段文字,出現了對數字“閱讀困難”甚至“讀不準確”等情況．

師:生活中我們經常遇到一些比較大的數,像這樣的數據,書寫和閱讀都有一定困難,有沒有比較簡便的方法呢?

教學分析考慮學生基礎一般,所以本節課設置了兩個情境．首先從猜測三個數的大小差異入手,一方面復習乘方的概念,另一方面通過對猜測結果的驗證,達成對學生進行方法指導和思想教育的目的,激勵學生學習的熱情和毅力．隨后,通過學生在讀出較大數據時出現的問題,直觀感知較大數存在著書寫和閱讀的困難,從而引發思考“是否有簡便的方法可以表示較大的數”,發展學生的問題意識,引領后續探究．

2.2 關聯舊知,特殊化探索

問題3(想一想)我們遇到新問題時,常常退一步,從特殊情況開始探索．請思考下列數是否可以寫出較簡便的形式:1 000,10 000,100 000 000,10 000 000 000．

師:同一個數有了兩種不同的表示方法,你能發現冪指數的確定規律嗎?

生3:冪指數等于原數字的整數位數減1,也可表述為冪指數與原數字中0的個數相同．

師:你能說出其中的道理嗎?

生4:因為這些數都可以轉化為10與10相乘的形式,所以可以寫成底數為10的冪的形式,冪的指數就是10的個數,故可以解釋上面的兩種結論．

生5:是否所有的較大的數都可以寫成類似的簡便表示形式?

教學分析通過特殊化思考過程,在思考此類數字轉化為10n的過程中,引導學生主動分析其中蘊含的數字規律,感受用冪的形式表示數的便利性,并通過自己的語言表達和說理的思維外顯過程,發展學生的歸納意識和有序表達的能力,為下一步用科學記數法表示一般大數積累活動經驗和知識儲備．

2.3 形成新知,一般化歸納

問題4(試一試)請把下列各數也寫成底數為10的冪的形式:30 000,32 000,302 000 000．

在我國的部分地區，開展的民俗旅游，都出現了同質化現象，而造成這一現象的主要原因，則是開發者過度重視經濟利益，而紛紛效仿別的地區的開發模式，并且將本地區原有的民俗文化活動摒棄，造成了本地區民俗文化的失真，而原本引進過來的民俗文化，又因與當地歷史背景不符，從而產生了徒有其形的旅游項目，讓慕名而來的旅者大失所望，影響了業界的口碑。

生6:30 000=3×10 000=3×104,32 000=32×1 000=32×103,302 000 000=302× 1000 000=302×106．

生7:我認為應該這樣寫,32 000=3.2× 10 000=3.2×104,302 000 000=3.02×100 000 000=3.02×108．這樣把較大的數統一轉化為整數位數只有一位的形式較好,否則如1 234 567 890寫成123 456 789×101的形式,還是起不到簡便讀寫的目的．

師:同學們分析得很好,為了方便表示較大的數,一般地,我們可以把大于10的數寫成a×10n的形式,其中1≤a<10,n是正整數,這種記數方法稱為科學記數法．請同學們思考,冪的指數n值的確定有什么規律?

生8:“冪指數與原數字中0的個數相同”的規律在這里就不符合,較大的數都可以寫出a×10…的形式,后面有幾個0就代表有幾個10相乘,冪的指數就等于幾,但原數中0的個數與指數間不存在這種數量關聯,而“冪的指數等于原數的整數位數減1”的結論仍然成立．

問題5(練一練)請把下列各數寫成科學記數法的形式．(1)中國最長的河流是長江,長度約是6 397 km;世界最長的河流是尼羅河,長度約是6 670 km．(2)中國最大的湖是青海湖,面積約為4 625 km2;世界最大的湖是里海,面積約為386 400 km2．

教學分析借助對問題4的思考,實現從特殊到一般的思維發展過程,通過把數字寫“a×10…”的形式,把新問題轉化為已解決的問題．再通過進一步追問,讓學生思考科學記數法中冪指數的確定規律,并解釋其合理性,完成知識的意義建構．“問題5”是學以致用環節,在鞏固知識的同時,進一步感知科學記數法的優點,體會數學源于生活而服務于生活、從問題中來到問題中去的旨歸．

2.4 逆向思考,關聯知識

問題6(逆向思考)下列用科學記數法表示的數,原來各是怎樣的數?(1) 2×102;(2) 9.5×105;(3) 2.01×106;(4) 5.201 3×103．

生9:2×102=2×100=200,…．

師:我們前面發現的冪指數與原數位數的關系是否仍然成立?你是否還有新的發現?

生10:前面我們發現的結論仍然成立,我還發現科學記數法表示的數和原數在互相轉化時,小數點移動的位數和指數的值是相同的．

師:你能解釋其中的原因嗎?

生11:因為它們在轉化過程中都需要轉化為“a×10…”的形式,較大數寫成科學記數法時小數點向左移動,反之向右移動,因為小數點移動的位數等于“10…”中“0”的個數,所以小數點移動的位數和冪指數的值是相同的．

師:這兩種方法源自對同一問題的不同觀察視角,結論都是正確的．我們平時學習就要善于從不同的角度發現和總結規律,并思考它們背后的數學道理．

教學分析通過從科學記數法表示的數還原為原數的過程,實現對問題的逆向思考,在正逆雙向運用中進一步總結冪指數與原數的內部關聯,并鼓勵學生在理解的基礎上用自己的語言表達出來,進一步發展學生的歸納意識和有序的理性表達．

2.5 方法運用,拓展提升

問題7(拓展運用)(1)你能用科學記數法表示下列各數嗎?世界上最深的海溝是馬里亞納海溝,海拔約為-11 034 m;中國海拔最低的地方是吐魯番盆地,海拔約為-154.3 m．(2)-5.2×105=．

生12:可以類比前面的方法,-11 034= -1.103 4×10 000=-1.103 4×104,….

師:前面我們總結的冪指數確定的規律是否還成立?科學記數法應如何表述更合理?

生13:相關規律仍然成立,科學記數法應 這樣表述,一般地,可以把絕對值大于10的數寫成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n是正整數．

教學分析考慮到學生思維方法的類比運用和知識體系的完整建構,教學中進行了知識重組拓展,引領學生類比前面的方法策略探索用科學記數法表示絕對值較大的負數的問題．并結合拓展內容思考如何合理表述科學記數法的概念,完成知識體系的意義建構．

2.6 鞏固練習,解決問題

略.

2.7 反思建構,遷移運用

師:請回顧本節課你學習了哪些知識?我們是如何探索這些新知的?

生略．

師:你還遇到過哪些讀寫不便的數?你有什么想法嗎?

生14:一些絕對值較小的數也同樣存在難以讀寫的問題,如“新冠病毒的直徑平均約為100納米,即0.000 000 1 m”,我想,是否也可以用科學記數法的方式進行簡便表示?

師:在現實生活中我們也會遇到絕對值較小的數,它們是否也能用科學記數法的形式進行簡便表示?請同學們類比今天思考問題的策略方法課后探索．

教學分析通過對探索過程的回顧與反思,使學生在鞏固知識的同時,體會解決問題的一般策略(圖1),并結合生活中遇到的絕對值較小的數,思考如何簡便表示.雖然學生解決此問題尚有困難,但這種問題意識養成和對解決問題的一般策略的思考,是教學中應關注的重點．

圖1

3 教學反思

3.1 基于學情,關注思維的教學定位

有效數學課堂教學需要準確的教學定位,明確一節課教什么、為什么教、怎么教、教到什么程度等問題．這就需要基于學情分析,關注思維發展的教學定位.首先,要了解學生“已學習了什么”“平時是如何學習的”等知識基礎與學習心理,并從整體系統觀的角度解讀教材內容,明確相關知識的學術形態和教育形態,做到“知己知彼”．其次,數學教學不僅要關注知識方法掌握,更要思考在問題解決中對數學思想的領悟,重視通過知識的學習體會數學地思考問題的策略．評價一節課的標準之一就是能否引發學生的思維共鳴,注重在經歷“數學地思考問題”的過程中發展質疑問難的批判性思維,養成講道理、有條理的思維品質,從而發展理性思維．最后,要思考怎么教、教到什么程度的問題,通過何種方式可以實現知識的學術形態向教育形態的順利轉化,并從中發展學生的理性思維．基于“情境—問題—思維”視角的數學教學提供了一種實踐途徑,正如本節課,教學從真實情境入手,在激發學生學習興趣的同時發展問題意識,通過問題鏈教學引領學生深度探索．借助特殊化思考和一般化歸納,在方法的運用、遷移、拓展中,從對問題的思考升華到數學思想的領悟、從孤立到聯系、從簡單到深刻,達成問題引領下的思維發展,實現基于學情、關注思維的“低起點、高立意”的數學教學．

3.2 面向問題生成的情境設計

《義務教育數學課程標準(2022年版)》提出了能引發學生思考的三條教學建議,其一就是要“強化情境設計與問題提出”,即注重創設真實情境,在情境中引導學生主動提出能引發思考的數學問題,通過數學地觀察、思考和表達的過程,體會數學是認識、理解、闡述現實世界的工具．情境設計合適與否,取決于情境所形成的問題能否激發學生的學習內部動機、指向數學本質、引領思維發展．要實現這一目的,情境設計需要遵循如下要求:(1)情境設計的前提是了解學生學情,明確學習最近發展區,進行準確的教學定位;(2)情境設計的目的是通過提供中等難度的真實情境,學生用已有的知識方法無法順利解讀情境中的信息時,產生思維困境和認知沖突,從而生成數學問題,在激發學習興趣的同時實現思維的定向;(3)情境的設計還要體現思想性和趣味性的融合,在注重情境思維內涵的同時兼顧“真、趣、美、簡”[1]的特點,力求實現問題與思維相融、形式與內涵統一．

3.3 指向思維發展的問題鏈教學

指向思維發展的問題鏈教學首先要讓學生的思維聚焦到核心問題上.核心問題是一節課的“課眼”,它指向情境問題的數學本質,整合課堂教學的重難點和關鍵點,并由此生成整節課(單元)的教學探索活動,具有統領性、生成性、建構性的特點．教學中通過情境的謀勢,引發學生認知沖突,形成需要解決的問題,教師順勢而為,從中抽取出核心數學問題,引領后續探究．如本課中通過展現生活中的較大數據,學生發現存在讀寫困難時,自然就形成了“能否尋找一種較為簡便的表示較大數的方法”的核心問題．其次,指向思維發展的問題鏈教學要在基于核心問題的前提下,通過遞進、變式、類比、引申、逆變等方式,形成具有邏輯關聯和開放度、生長性的問題鏈,實現問題的深度探究．問題鏈是以核心問題為定位,以數學思維為指導,指向數學知識的內部關聯,體現一定數學思想方法的序列問題串．問題鏈可分為以下四種類型:數學一般化思維指導下的問題歸納鏈、數學類比思維指導下的問題類比鏈、數學演繹思維指導下的問題演繹鏈和數學逆向思維引領下的問題逆向鏈．具體教學中,常常是多種類型的問題鏈相互融合,共同引領問題探索．如本節課的問題鏈教學,既有從特殊到一般的問題歸納鏈,也有從“較大正數”到“絕對值較大的負數”再到“較小數”的方法類比鏈．最后,指向思維發展的問題鏈教學要注重學生的積極思考和主動建構,在經歷“思維定向、思維內化和思維外顯”[2]的過程中,重視對探究過程的審視與回顧,在反思中形成思維的自覺(圖2),實現由具體數學知識方法的學習轉向一般性思維策略的學習,經歷“數學地思維”,達成“通過數學學會思維”的目的[3]．

圖2