基于理性精神的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究
——以“利用空間向量求夾角”為例

華子謙 (江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) 215411)

1 問題的提出

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中,尤其是在講授公式、定理的規(guī)律課中,教師往往注重學(xué)生對(duì)公式的應(yīng)用,為此自己板書定理的推導(dǎo)過程,再訓(xùn)練學(xué)生熟練解題,而常常忽視了學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的培育．理性精神能夠給學(xué)生探尋真知的動(dòng)力、認(rèn)識(shí)世界的信念,培養(yǎng)他們求真務(wù)實(shí)的態(tài)度[1]．

因此,高中數(shù)學(xué)的課堂需要改變教師在課堂中一講到底的局面,充分讓學(xué)生去探究,領(lǐng)悟新知識(shí)并內(nèi)化于心．每節(jié)課至少要選取一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或知識(shí)板塊,在精心預(yù)設(shè)的基礎(chǔ)上,交給學(xué)生自主學(xué)習(xí),通過合作探究、交流展示、大膽質(zhì)疑等方式生成新的知識(shí),追尋事物的本質(zhì)、規(guī)律及內(nèi)部聯(lián)系．

2 理性精神視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)思考

對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)理性精神的培育,本文結(jié)合“利用空間向量研究夾角問題”課例,從以下三個(gè)方面進(jìn)行思考與設(shè)計(jì)．

2.1 選點(diǎn)預(yù)設(shè),追尋理性精神的晨曦

利用空間向量研究線線角、線面角、面面角的內(nèi)容及其教育價(jià)值是什么?在歷年的全國(guó)卷中,空間角的求法與計(jì)算是?？純?nèi)容,空間向量的作用是通過建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)研究立體幾何問題,它是一種有效的工具．事實(shí)上,運(yùn)用綜合幾何方法完全可以解決相關(guān)問題,并且有些問題也不能借助空間向量來(lái)求解,如2020年全國(guó)二卷理科數(shù)學(xué)解答題第20題,所以教學(xué)目標(biāo)不能僅僅體現(xiàn)在知識(shí)點(diǎn)上,還要體現(xiàn)在思維發(fā)展和科學(xué)探究精神與方法的培養(yǎng)上,教師應(yīng)把怎樣研究問題放在核心地位．從教學(xué)過程中我們可以看出,重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)知識(shí)的方法,這才是本節(jié)課真正的教學(xué)意義．

基于以上認(rèn)識(shí),在本課教學(xué)設(shè)計(jì)中,只將探究線線角作為示例,板演異面直線之間的夾角,梳理探究過程中需要注意的點(diǎn),如角的位置及范圍、直線的夾角與向量夾角之間的關(guān)系、結(jié)論的統(tǒng)一,讓學(xué)生在課堂中感受并領(lǐng)悟其探究的過程,使線面角及面面角的探索有理可依、有據(jù)可循,并鼓勵(lì)學(xué)生嘗試完成線面角及面面角的探索．

2.2 溫故知新,追逐理性精神的曙光

利用空間向量研究線線角、線面角、面面角的內(nèi)容與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系是什么?我們知道,空間向量的運(yùn)用是在“平面向量及其應(yīng)用”和“立體幾何初步”的基礎(chǔ)之上進(jìn)行教學(xué)的,向量的坐標(biāo)化使解決平面幾何的距離(長(zhǎng)度)和角度問題更為有效．類比平面向量解決平面幾何度量角的問題的方法,使用空間向量可以更方便地研究立體幾何長(zhǎng)度和角度等度量問題.基于這樣的認(rèn)識(shí),空間向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)就清晰了,向量方法的發(fā)現(xiàn)根源就明了了．

因此,本節(jié)課先復(fù)習(xí)引入,深化知識(shí),幫助學(xué)生找到源頭,讓學(xué)生感受到既然利用平面向量數(shù)量積找到向量夾角就可以解決平面幾何度量角度的問題,那么立體幾何有關(guān)度量角度的問題也可以利用空間向量進(jìn)行解決,這正是弗賴登塔爾所指出的“數(shù)學(xué)化”再認(rèn)識(shí)．

2.3 類比探究,沐浴理性精神的春光

幫助學(xué)生學(xué)習(xí)空間向量的教學(xué)策略可采取四步走的方法:一是啟發(fā),通過復(fù)習(xí)發(fā)現(xiàn)可以利用向量來(lái)研究平行與垂直關(guān)系,由此提出問題;二是示范,以空間向量求線線角問題為例,展示問題探究的方法與過程;三是運(yùn)用,讓學(xué)生自己解決問題;四是升華,進(jìn)行課后思考,用這個(gè)方法能發(fā)現(xiàn)更多的問題嗎?現(xiàn)實(shí)生活中有空間向量的應(yīng)用嗎?

3 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

3.1 復(fù)習(xí)回顧向量有關(guān)知識(shí)(預(yù)備知識(shí))

師:在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前我們一起來(lái)回顧一下我們已經(jīng)學(xué)過的向量夾角有關(guān)的公式．

生:學(xué)過的有關(guān)向量夾角的公式包括兩向量數(shù)量積的定義、兩向量夾角公式和夾角公式的坐標(biāo)表示．

3.2 新課講授

師:接下來(lái)我們提出一個(gè)設(shè)想,能否利用方向向量與法向量來(lái)研究空間向量的夾角問題呢?我們來(lái)做一番探究．

設(shè)計(jì)意圖用思維導(dǎo)圖方式,加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,為接下來(lái)利用方向向量與法向量來(lái)研究空間向量夾角問題做鋪墊．

·小試牛刀:線線角

定義:過空間任意一點(diǎn)O分別作異面直線a與b的平行線a′與b′,那么直線a′與b′所成的銳角或直角,叫作異面直線a與b所成的角(圖1)．

圖1

問題1當(dāng)a與b的夾角不大于90°時(shí)(圖2),異面直線a,b所成的角θ與a和b的夾角的關(guān)系是什么?

圖2

生:θ=〈a,b〉時(shí),得cos〈a,b〉=cosθ．

師:當(dāng)兩個(gè)向量的夾角不是銳角的時(shí)候,我們又能得到什么結(jié)論呢?

問題2a與b的夾角大于90°時(shí)(圖3),異面直線a,b所成的角θ與a和b的夾角的關(guān)系又是什么?

圖3

生:θ與〈a,b〉互補(bǔ)時(shí),即θ=π-〈a,b〉,得 cosθ=cos(π-〈a,b〉)=-cos〈a,b〉．

師:那這里有正有負(fù),我們能否將結(jié)果統(tǒng)一起來(lái)?

設(shè)計(jì)意圖通過教師展示線線角推導(dǎo)過程,讓學(xué)生感受理性之美,提高其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Γ谔骄窟^程中,教師要首先強(qiáng)調(diào)直線所成角θ的范圍;其次直線上方向向量的選擇會(huì)影響向量夾角〈a,b〉與直線夾角θ之間的關(guān)系;最后根據(jù)直線夾角的范圍確定cosθ與cos〈a,b〉的聯(lián)系．

師:請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛剛線線角的推導(dǎo)過程,完成線面角與面面角的推導(dǎo)．

·趁熱打鐵:線面角、面面角

圖4 圖5

師:那么法向量一定朝上嗎?如果法向量反向,那這個(gè)時(shí)候又會(huì)對(duì)結(jié)論有什么影響呢?

師:那么我們能總結(jié)一下線面角與線線角之間的異同點(diǎn)嗎?

生:線線角與線面角的推理過程類似,都是作出法向量與方向向量,尋找法向量與方向向量之間的夾角,都有兩種情況,并且線線角與線面角最后都要加上絕對(duì)值．不同的地方在于線線角是用余弦來(lái)表示,而線面角是用正弦來(lái)表示．

生眾(總結(jié)):據(jù)圖分析可得

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生展示線面角推導(dǎo)過程,在數(shù)學(xué)實(shí)踐中探索,進(jìn)一步提高他們的直觀想象與邏輯推理能力,接受理性精神的熏陶,加強(qiáng)理性精神的培養(yǎng)．在探究過程中,教師要首先預(yù)設(shè)出學(xué)生可能存在的問題:(1)直線與平面所成角的范圍不清晰;(2)受線線角cosθ影響形成思維慣性導(dǎo)致sinθ不敢用;(3)結(jié)論無(wú)絕對(duì)值．

知識(shí)點(diǎn)3 二面角(范圍θ∈[0,π])

師:那我們繼續(xù)沿用課堂開始所提到的想法及類比思想來(lái)研究如何用空間向量求二面角．

生:首先將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量,由圖6得θ與〈n1,n2〉相等,由此得θ=〈n1,n2〉,故cos〈n1,n2〉=cosθ．

圖6 圖7

師:還有沒有其他情況?你能繼續(xù)完成推導(dǎo)嗎?

師:那這個(gè)時(shí)候面面角還能像線線角和線面角一樣加上絕對(duì)值嗎?

生:不可以,因?yàn)楝F(xiàn)在夾角范圍變成了0°到180°,余弦值有正有負(fù),所以不可以加絕對(duì)值．

師:那我們一起來(lái)觀察一下圖象特點(diǎn),如何判斷什么時(shí)候取正數(shù)呢?

師生(共同歸納):當(dāng)法向量的方向一進(jìn)一出時(shí),二面角等于法向量夾角;同進(jìn)同出時(shí),二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角．

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生完成面面角的推導(dǎo),教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較線線角、線面角、面面角之間的異同點(diǎn),不斷發(fā)現(xiàn)規(guī)律,嘗試總結(jié)規(guī)律．這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的歸納總結(jié)能力,同時(shí)滋養(yǎng)了其求真務(wù)實(shí)、追求真理的理性精神．

4 教學(xué)反思

4.1 豐富教學(xué)手段,培育學(xué)生理性精神

立體幾何需要學(xué)生具備空間想象能力,因此在課堂中有必要引入像幾何畫板等數(shù)學(xué)教學(xué)工具,使學(xué)生在該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中有更形象化、全面化的理解,以便提升他們的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)習(xí)效率．使其在形成新的學(xué)習(xí)方式中慢慢養(yǎng)成學(xué)習(xí)習(xí)慣,培育創(chuàng)新為主的探索精神．

4.2 鼓勵(lì)質(zhì)疑,提升理性批判精神

在課堂教學(xué)中,教師要給學(xué)生提供機(jī)會(huì)來(lái)展示自己,鼓勵(lì)他們提出自己的困惑,營(yíng)造寬松的教學(xué)氛圍,豐富他們的學(xué)習(xí)方式,這樣一方面能夠幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)興趣并更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí),另一方面能夠讓學(xué)生形成批判性的理性精神．

4.3 重視思維過程,用類比推導(dǎo)使學(xué)生形成理性精神

數(shù)學(xué)公式都是由數(shù)學(xué)家以直覺為基礎(chǔ),并在此基礎(chǔ)之上大膽猜想并推理證明而來(lái),因此教師在教學(xué)過程中可以先提出解題的中心思想,讓學(xué)生親身感受推理的過程,領(lǐng)會(huì)課堂中所需要的數(shù)學(xué)思想方法并“再創(chuàng)造”．在本節(jié)課中,教師只展示線線角的過程,讓學(xué)生觀察解題過程,類比推導(dǎo)線面角及面面角的公式,讓他們有充分的空間進(jìn)行數(shù)學(xué)探究,從中發(fā)現(xiàn)問題,如夾角范圍問題、夾角何時(shí)用正弦何時(shí)用余弦、為什么要引入絕對(duì)值,等等,在獨(dú)立思考的過程中對(duì)問題進(jìn)行猜測(cè)和大膽的假設(shè),最后檢驗(yàn)所得的結(jié)果,以形成基本的數(shù)學(xué)認(rèn)知,樹立嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度,形成理性精神,為日后的數(shù)學(xué)探究奠定良好的基礎(chǔ)．

學(xué)生的理性精神需要在這樣一個(gè)追求真理的氛圍中慢慢滲透．通過不唯書、不唯師、只唯實(shí)的大膽探究,去感知、領(lǐng)悟新知,養(yǎng)成獨(dú)立思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣,逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及理性精神．