模型化視角下的中考試題研究
——一類直線旋轉問題的解決策略

龔 輝 (江蘇省太倉市高新區中學 215413)

圖形變換問題是初中數學學習的重點和難點,也是中考試卷上的高頻考點,不僅在平面幾何背景下呈現,在函數背景下也經常出現．在對眾多的相關題型進行研究時我們發現,很多題目以不同問題背景、方式呈現,但其核心方法大多相似,這就要求我們用數學建模的思想,對同類問題的性質和本質理解透徹,抓住問題的關鍵特征,探究圖形變換的基本題型,做到以不變應萬變．

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出,數學核心素養之一為“會用數學的語言表達現實世界”,具體表現為模型觀念和應用意識[1]．模型觀念就是用數學符號、公式、程序、圖形等工具、手段對實際問題或某一類相似問題的本質屬性進行抽象而簡潔的刻畫,來解釋某些客觀現象,或找出化解實際問題的最優策略[2]．

然而,目前有些課堂教學忽視了學生數學建模思想的培養,知識的講解零敲碎打、例題的講解就題論題,制約了學生數學歸納能力和應用能力的提升．

本文從直線繞一點旋轉這一較小的切口入手,以建模的思想探究、提煉、挖掘這一類問題的核心方法,形成這一類問題的模型化解決策略,也為研究其他圖形變換問題提供一種思路．

1 云海百川歸——問題源起于基本模型

模型問題如圖1,在平面直角坐標系內,已知點A(0,2),B(1,4),作直線AB并將該直線繞點A順時針旋轉45°得直線AC,求直線AC的函數表達式．

圖1

分析 本題的關鍵是特殊角45°,它是等腰直角三角形底角的度數,因此可以通過作高構造以∠BAC為一個底角的等腰直角三角形．

在這個思路下,存在兩種構圖方式:一是過點B作直線AC的垂線,二是過點B作直線AB的垂線．這兩種構圖方法的優劣可通過下面兩種解題方法的對比進行評判．

當直角坐標系中出現了直角三角形,很容易就聯想到構造“一線三直角”的“K”字形基本模型,將坐標系內點的坐標與橫向、縱向的線段關聯起來,從而可以求出直線AC上除點A外的另一個點的坐標,則直線AC的函數表達式可求．

解法1如圖2,過點B作BH⊥AC于點H,過點H作y軸的平行線,分別過點A,B作AE⊥EH于點E,BF⊥EH于點F．

圖2

解法2如圖3,過點B作BH⊥AB于點B,作BE⊥y軸于點E,作HF⊥BE于點F．

圖3

反思 本題在構造等腰直角三角形和“K”字形基本模型的框架下,如何作高構造等腰直角三角形出現了兩種不同的方法．根據上述兩種解法的對比,我們可以直觀地感受到,以已知點(如本題中的點B)作為垂足的構造方法,可以更快地將已知坐標與線段產生關聯,從而簡化計算過程．

模型變式1在平面直角坐標系內,已知點A(0,2),B(1,4),作直線AB并將該直線繞點A順時針旋轉60°得直線AC,求直線AC的函數表達式．

分析 變式1將45°改為60°,基本思路不變,即構造直角三角形和“K”字形基本模型,方法如下:

圖4

圖5

2 撥得云開又見明——指向基本模型的問題解決

數學建模通過具體問題抽離出數學模型的思維過程,其根本就是要抓住數學問題的本質,在變化中尋找不變的規律,將較為困難的問題指向基本模型的解決,從而提高學生的思維品質和解決問題的能力[3]．在問題解決的過程中,經常會碰到兩個難點:一是學生模型意識的建立,二是在多變的背景中抽象出數學模型,并運用模型解決問題．

2.1 多向思維,以通法理解模型

例1(2022年蘇州市中考試題)如圖6,點A的坐標為(0,2),點B是x軸正半軸上的一點,將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60°得到線段AC．若點C的坐標為(m,3),則m的值為( ).

圖6

圖7

分析 本題中的AC是AB繞點A逆時針旋轉60°得到的,屬于直線繞定點旋轉的基本模型．由于兩個端點C和B均不是已知點(兩個點僅已知縱坐標),因此根據基本模型的構圖方法,本題有4種作高的方法:過點B作AB邊上的高、過點B作AC邊上的高;過點C作AB邊上的高、過點C作AC邊上的高．

下面以過點C作AC邊上的高為例,說明基本模型在解決這一類問題時的強大功能．

過點C作CD⊥AC,交AB的延長線于點D,過點C作CE⊥y軸于點E,過點D作DH⊥EC于點H,交x軸于點F．

其他幾種作高的方法可以類比上面的解法處理．

說明本題與模型的區別在于旋轉直線上的點B或點C均不是已知點,因此不論如何作高構圖,相關運算均含參,對學生的符號意識有一定的要求,并且在構造“K”字形后需要一定的推理才能得到方程．

2.2 揭示本質,以化歸聯想模型

有些數學問題并不是按模型的背景呈現,并且經常與函數圖象結合,增加了題目的綜合性和迷惑性．因此,我們在分析問題時,要保留最關鍵、最本質的要素,從背景圖形中分離出基本模型,然后結合基本模型的處理方法,就可以較好地突破難點．

圖8

分析 本題并沒有以直線旋轉的背景呈現,但是通過分析發現,解決本題的關鍵是求出OA繞點O旋轉一個定角后所得直線OB的表達式,這正好是基本模型．但是題目并沒有明確旋轉的方向,因此本題有兩種情況需要討論．

先處理OA繞點O順時針旋轉的情況．根據上述基本模型所歸納的方法,本題應以已知點A為垂足作高并構造“K”字形.具體分析過程如下:

如圖9,過點A作AC⊥OA,交直線OB于點C,AE⊥y軸于點E,過點C作FH⊥x軸,分別交AE、x軸于點F,H．

圖9

2.3 拓展思路,以構造形成模型

在幾何背景下也可能會涉及上述模型,在處理這類問題時,可以運用構造的方法,建立平面直角坐標系,轉化為模型問題,從而解決問題．

例3如圖10,在△ABC中,CO⊥AB于點O,OA=8,OB=12,且tan∠ACB=2,求OC的長．

圖10

分析 本題為直線CB繞點C順時針旋轉一個定角得直線CA,其本質為直線旋轉的基本模型,可考慮作高構造“K”字形來解決．因為點A,B均為已知點,因此以點A或點B為垂足構造垂線的方法均可行．本題以點B為垂足,略解過程如下:

分別以AB,OC所在直線為坐標軸建立如 圖11所示的平面直角坐標系．以點B為垂足作BD⊥BC,交CA的延長線于點D,過點B作BE⊥x軸,分別過點C,D作CE⊥BE于點E、DF⊥BE于點F,交y軸于點G．

圖11

易得△BCE∽△DBF,且相似比為1∶2．由CE=12可得BF=24,設OC=x,則BE=x,得DF=2x,故DG=2x-12．又由△CAO∽△CDG,可得即解得

x=16(x=-6舍去)．即OC的長為16．

以點A為垂足作AD⊥AC的解法與上述方法相仿．

總之,對數學問題核心方法的掌握,以及數學問題通性通法的研究是非常重要的．模型化思想能幫助我們更好地理解并有效地解決一類思維本質相近的數學問題,具有較強的普適性．如果我們在平時的教學中,能夠適當地注意數學問題模型化方法的講授,那么對于提高學生綜合運用數學知識去分析問題、解決問題的能力必將大有裨益,對教師自身專業素養的提升也有重要作用．