基于“微項目”教學理念的中學數學探究活動設計*

貴陽市第四十一中學 (550007) 李龍梅

1 問題提出

項目學習理論(PBL)是一種基于建構主義理論、發現學習理論、實用主義理論而發展的一種學習理論,近年來項目學習理論由于其于發展學生核心素養的教學理念契合,而逐漸演變成當前教育研究中的熱點[1].然而項目學習由于時間跨度大、評價難度大、教學參與度低,無法較好的融入到常態教學之中,因此項目學習理論雖然研究熱度高,但距離真正為發展我國學生核心素養做出貢獻還較遠[2].基于上述問題,“微項目”教學理念應運而生,“微項目”教學理念是在吸收項目學習理論中優勢的基礎上,結合我國常態教學的基本情況而開發出來的教學理念,通過“微項目”理念可以讓學生經歷知識探究的過程,實現將“冰冷的數學”轉化為“火熱的思考”,發展學生的數學核心素養[3].

復數乘法的幾何意義是復數作為數學研究工具的重要手段, 特別是在處理幾何旋轉問題時有著無可比擬的優勢.在《普通高中數學課程標準(2017 年版)》中,復數的三角表示作為選學內容呈現,不做為學業考試的要求[4].因此在教學實踐中許多教師由于往往有所忽略,使得學生對復數的認識局限于解無實數根方程以及復數簡單的四則運算,不能同向量那樣作為研究工具加以運用. 此外,復數乘法的幾何意義中蘊含了許多寶貴的思想方法,是發展數學學科核心素養的重要來源. 基于此,本研究運用“微項目”教學理念,對復數乘法的幾何意義進行開發,設計數學探究活動,旨在通過數學探究活動, 讓學生經歷復數乘法的幾何意義的發現過程,培養學生的類比思想、轉化與化歸思想,體會“復數”作為數學工具的妙用,提高學生的學習興趣.

2 “微項目”教學理念概述

“微項目”教學是指以學科核心概念為中心, 以微型項目為載體,引導學生的情境問題中開展一系列探究活動的教學.“微項目”教學主要涵蓋四大元素: 內容、情境、活動和結果.[5]

內容是指依據課程標準、教科書,對教學內容的學科核心概念加以提煉,抓住教學內容的本質以及探究數學知識過程所運用的思想方法. 情境是基于對學科核心概念的把握,從現實世界中挑選能體現學科核心概念的真實情境. 活動以學科核心概念為統領,對學科核心概念的抽象程度分別設計不同的不同目標的數學活動,讓學生逐步接近數學知識的本質,形成對數學知識的本質理解. 結果是指基于“微項目”學習獲得的知識的應用,以及整個學習過程過程中形成的數學小論文、數學研究報告、數學日記等.

3 復數乘法的幾何意義數學探究活動設計

3.1 復數乘法的幾何意義的內容分析

復數乘法作為數學工具主要解決的是幾何平面中的旋轉問題,如點關于點的旋轉、直線繞點旋轉等,而這些問題雖然向量也可以解決,但運算過程較為繁瑣,也因此凸顯了復數乘法的幾何意義作為數學工具的重要性,因此整個探究活動的核心概念應以旋轉為統領. 復數乘法的幾何意義的知識發生基礎是實數乘法的幾何意義,其中需要從符號和數量兩個角度來考慮,如1×1,1×(-1),1×2,通過對比發現乘法在坐標軸上點的變化可以歸納出乘法的幾何意義: 符號代表了點的對稱變換(正不變,負對稱變換),數量代表了點的伸縮變換. 如果從點運動的角度看,可以認為負號在乘法中的幾何意義就是點繞原點O旋轉180°. 在實數乘法的幾何意義上,復平面中結合i 的定義分析i 作為乘法的幾何意義.

i2= -1, 為使等式右邊具備幾何含義, 將等式拓展為1×i×i=1×(-1),從等式的右邊看,其幾何意義就是點(1,0)繞原點O旋轉了180°,而等式左邊進行了兩次i 的乘法運用,如果把i 看作一次旋轉,容易推出乘以一次i 就是旋轉了90°. 那么這個旋轉是方向是什么呢? 觀察1×i = i,將式子拓展為復數形式: (1+0i)i = 0+1i,可以得出復平面點(1,0)經過i 變換后得到(0,1),也就是說,一個復數乘以i 的幾何意義為該復數在復平面對應的點繞原點O逆時針旋轉了90 度. 這一過程可以讓學生進行猜想.

那么如何證明這個結論呢? 可以從復數三角形式來進行證明:

z1=r1(cosα+ i sinα),z2=r2(cosβ+ i sinβ),z1、z2在復平面對應的點P、Q, 則分別為模長為r1、r2, 與實軸正半軸的夾角為α、β. 容易驗證,z1z2=r1r2(cos(α+β)+i sin(α+β),也就是說,z1乘以z2的幾何意義可以理解為:z1在z2的作用下進行了長度為r2的伸縮變換和角度為β的逆時針旋轉變換. 若z2= i, 則r2= 1,β= 90°,即不做伸縮變換,僅做逆時針90°的旋轉變換. 這一過程可以讓學生結合所屬知識加以證明.

在得到了復數乘法的幾何意義后,如何用于實踐呢? 并從中體會復數工具處理旋轉問題的優勢呢? 可以從現實情境中的圖像處理問題來開發.

例1: 圖像處理軟件可以對圖片進行任意角度的旋轉和縮放,請根據你所學的知識,解釋圖片處理操作背后的數學原理.

(1)將圖片逆時針旋轉60°;

(2)將圖片放大兩倍并逆時針旋轉90°

解析: 根據復數乘法的幾何意義,上述問題的本質都是圖片所有的點對應在復平面上的復數同時乘以復數z,其中(1)z=cos 60°+i sin 60°,(2)中z=2(cos 90°+i sin 90°)

設計意圖: 通過圖像處理軟件的常見操作,讓學生運用探究出的數學知識去解釋現實現象,發展學生的應用意識.

基于例1 的鋪墊,可以提出更為抽象的問題,發展學生運用復數解決幾何問題的能力.

例2: 已知點P(3,4),求點P繞原點O旋轉60°所得的點Q的坐標.(分別用向量法和復數法)

通過此問題的探究可以讓學生體會復數解決旋轉問題的優越性.

然而在實際問題中,點的旋轉大多數情況是不以原點O為旋轉中心的,那么此時該如何處理呢? 通過例3 探究,發展學生的轉化與化歸思想.

例3: 已知點P(3,4),求點P繞點M(2,1)旋轉120°所得的點Q的坐標.

解析: 可以通過構建以M(2,1) 為原點的新的坐標系,將原來坐標系的點遷移到新坐標系中,再運用例1 的方法即可解決.

3.2 情境創設

數學探究活動的情境創設需要符合數學學科的特點,因此在創設情境時, 可以用現實中的真實情境作為情境素材,也可以用數學知識的比較作為情境創設[6].如教材中的數學探究活動“用向量法研究三角形”的性質,通過運用向量法證明勾股定理,說明向量法在證明幾何問題時的優勢,從而引發運用向量法證明三角形性質的探究. 復數乘法的幾何意義是對復平面內點的旋轉變換,因此可以通過梳理向量法能解決的幾何問題,發現向量法解決旋轉問題的短板,從而引出探究復數乘法的幾何意義的必要性. 基于上述分析,情境創設如下:

我們通過學習向量,運用代數方法解決了平面幾何問題中的點、線的平移問題、線段長度問題、直線的夾角問題、直線的平行和垂直判定,并且還運用向量法的運算性質證明了三角函數的正弦定理和余弦定理,體會了向量這一數學工具的威力. 然而我們一直在回避一個基本的問題,那就是旋轉.旋轉作為圖形變換的基本方式之一,是平面幾何問題的重要研究領域. 如問題:

已知點P(3,4),求點P繞原點O旋轉60°所得的點Q的坐標.

分析: 設Q(x,y), 則由于旋轉模長不變, 根據題意有且x2+y2= 25. 顯然方程存在兩個解,這是由于cos 60°= cos(-60°),但事實上題目僅有唯一解. 從運算量上看,設計一元二次方程的求解,運算量較大.

可以看到,運用向量法解決點的旋轉問題不僅計算難度較大,而且得到的結果也不唯一,這也是為什么我們一直回避旋轉問題的原因. 那么究竟有什么數學工具可以幫助我們比較簡單的處理旋轉問題呢? 那就是我們學習的復數,復數的作用不僅僅是解方程, 我們在學習了復數的三角表示后,發現復數和角有著緊密的聯系,這節課我們將通過探究復數乘法的幾何意義,掌握解決旋轉問題的核心工具.

3.3 數學活動設計

根據布魯納的發現學習理論,結合數學學科特點,數學活動設計的總體價值取向是讓學生經歷知識發現的過程,讓學生經歷“發現問題—提出猜想—證明猜想—實踐應用”,發展學生的數學核心素養和理性精神[7]. 因此整個“微項目”的數學活動以“旋轉”為核心,注重學生運用類比思想和轉化與化歸思想分析問題和解決問題的能力. 具體活動見表1.

表1 復數乘法的幾何意義“微項目”活動表

3.4 活動要求與結果評價

數學探究活動的過程中應以自主探究和小組合作相結合的方式進行[8],具體為學生個人前期應嘗試獨立思考,整理出自己思考的結果和存在的疑問,之后小組內部進行交流探究,形成對問題的統一認識,最后再小組之間進行交流展示,分享自己小組的研究成果.

在探究活動結束后,可以讓學生圍繞整個探究活動寫一篇數學日記,內容涵蓋問題的發現、猜想的過程、驗證證明的過程、具體應用以及整個探究過程中對數學的感悟.

4 結語

研究基于“微項目”教學理念,以復數乘法的幾何意義作為探究對象,通過內容分析確定“旋轉”為核心,“類比思想”和“轉化與化歸思想”為指導思想,從內容、情境、活動、結果四個環節進行探究課的設計. 研究的意義在于通過“微項目”教學理念的設計, 將原本復雜的知識加以組織使其結構化,學生在學習的過程中不僅深入了解復數乘法的幾何意義的本質,而且在探究的過程中發展學生的核心素養和理性精神.