命題“科學”,作業方可“有效”
——從評講一道周末作業想到的

江蘇省泰興市西城教育集團西城校區 (225400) 張榮

1 試題呈現

筆者學校各年級備課組每個周照例都會安排一位數學老師,命題一份雙休日數學作業,供學生周末完成,周一交過來批改、評講. 這次的初二作業上出現了一道數學題,批改后發現學生完成得并不好,筆者在這里將題目與大家分享一下:

如圖1, ∠MON= 90°, 長方形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當B在邊ON上運動時,A隨之在OM上運動,長方形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,運動過程中,點D到點O的最大距離是____.

圖1

2 試題修改

因為這道題學生反饋的情況并不好,所以我在評講之前又重新修改了題目,讓學生完成. 題目修改如下:

如圖2,∠MON= 90°,長方形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上, 當B在邊ON上運動時,A隨之在OM上運動,長方形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,若點E是線段AB的中點,連接OE、DE,

圖2

(1)線段OE的長為____;

(2)線段DE的長為____;

(3)運動過程中,點D到點O的最大距離是____.

3 解法分析

修改之后,學生的當堂解答情況還是不錯的,修改后的問題(1) 學生只要直接運用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”, 找到OE與AB之間的關系, 就能快速算出; 對于問題(2)學生也能自然而然地運用題目中所給數據AB= 2,BC= 1, 利用勾股定理求出在前面兩個問題的鋪墊下,學生對于第三問求運動過程中,“點D到點O的最大距離”這個問題就顯然有了方向. 在線段OE和線段DE的長都是一定的情況下,“點D到點O的距離最大”的情形,顯然是在點O、D、E三點共線的時候,此時最大距離就是

4 命題探究

4.1 命題如畫龍,點睛方有效

筆者就這兩道題進行了一番思考,原題為什么學生束手無策, 無法順利解決呢? 修改后學生立即就能迅速解決呢?其中的差異其實就是點E 的是否出現. 點E不出現,則線段OE與線段DE都不出現. 而點O與點D兩點之間的聯系較弱,學生無法直接猜想出點O與點D之間存在什么樣的關系,思路受阻,缺失了解決問題的方向感;點E出現后,恰如畫龍點睛,學生根據學習過程中“進一步建立幾何直觀”[1],如圖3、圖4、圖5,學生的思維立即得到放飛.

圖3

圖4

圖5

如圖3,“直角三角形斜邊上的中線”這個基本模型就立即被學生緊緊抓住,并下意識反應過來,求得點O到點E的長度是定值. 同時,點D與點E之間的聯系也被學生迅速挖掘出來,如圖4,DE是直角三角形ADE的斜邊,當這個直角三角形的兩條直角邊的長度都已經知道時,迅速利用勾股定理中“勾股弦三知二”模型,求出第三邊. 對于第三問,如圖5,學生通過對已知圖形的觀察和猜想,不難得出當點O、點E、點D三點共線時點O到點D的距離最大. 學生問題解決問題時,感覺非常流暢,甚至解決問題的過程中無需教師必要的點撥. 出現這樣兩種截然不同的狀況,深層次的原因在于原命題沒有立足學生的“最近發展區”,沒有考慮到學生已有的解題經驗. 本題需要學生掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”和“勾股定理”兩個最基本的知識點,同時需要學生具備利用“三角形兩邊之和大于第三邊”的結論來求兩條定長折線段的最值問題的基本經驗. 無論以上三種知識點或基本經驗,都避不開點E,但點E在原題中又是未知的,最終點E是否能夠發現就成為本題是否能夠解答的核心按鈕.

4.2 命題如播種,生長方有效

剛才談到命題人要充分考慮到學生的學情,知道學生的最近發展區, 了解學生所掌握的解題基本知識和基本經驗,其實命題人還要考慮到教師是否能夠通過評講,幫助學生發現一種新的解題經驗, 探索出一種共性的解決問題的策略,生成一種重要的解法,收獲一個特殊結論.

就前面所談的問題,教師通過對問題的解答的呈現,能夠讓學生經歷一些必要的解題過程.

第一是要學生明白自己要做什么. 在原題中,學生“能從已知數據中得到什么? ”[2]因為缺少點E,所以學生雖然知道自己要求點O到點D的最大距離,但其它具體要做什么就無法得知,缺少對最終目標思考后的分解小目標,束手無策是正常的. 教師評講要進行引導,也是只能告知或者隱晦地換一種方式提醒學生,關注直角三角形斜邊上的中點的特殊性,從而誘導學生發現點E. 那么既然學生本來就需要這個點E,教師在命題時,不妨就大大方方的將點E給出,讓學生的思維能夠順暢通達,知道明白自己需要做什么.

第二是要學生知道自己要怎么做. 學生要知道怎么做,這應該是他平時聽課時,通過對所學知識、技能還有基本經驗的一個整合,從而獲得的一種抽象的解題策略. 這種策略并不是書本上敘述的,而是學生在學習過程中自行探究出來的一種方法層面上的主觀經驗. 例如,發現直角三角形斜邊上有中點,就立即想到用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”來求線段OE的長;發現直角三角形兩條直角邊長已知,就立即想到用“勾股定理”來求第三邊;要求兩點之間的最長距離,就立即往“三角形兩邊之和大于第三邊”上聯想. 這些主觀經驗的收獲,才是學生課堂上所獲得的最重要的部分. 而教師命題時,更應該關注到這一點,用恰當的方式誘導學生,主動去運用所學的知識、技能和基本經驗來解題,這應當是命題時要關注的重點.

第三是能讓學生主動做一做. 與學生在遇到原題時的無計可施相比,在改編題中,學生一開始就通過自己已有的解題經驗,去嘗試求出線段OE和線段DE的長度. 在求這兩條線段之前,學生并不知道這兩條線段對于解答點O到點D的最大距離是否有幫助. 這種探索的方式正是學生利用自己現有的思維力量,對已有的解題策略的一種大膽嘗試. 學生自主通過對題目條件的試探性挖掘,主動去尋找解決問題的突破口. 事實上,學生花時間在這種尋覓的過程上,恰恰是學生思維得到生長的沃土,是一種新的解題策略開始生發的實在體現,是真真切切的. 而一旦學生將問題中的線段OE和線段DE都求出時,此時學生再次思考的問題,思維就不像是原來直接“求點O到點D的距離”那樣空洞、蒼白,沒有任何支撐點. 其中增添了線段OE和線段DE的長度條件,學生開始進一步的進行猜想、探索的思維,得到了客觀的有力支撐,從而為順利解決問題,形成解題策略作出鋪墊. 這時學生收獲的解題策略并不是外部直接提供的,而是在學生自主探索中自動習得的,這就是生長的力量. 因此筆者認為,在命題時,命題人是否充分考慮學生的主觀能動性也是非常重要的一個環節.

第四是讓學生解答后有收獲. 學生在解決原題時,由于沒有點E 的輔助,學生往往會直接連接點O與點D. 此時點O是不變的,點D是運動的,學生的直覺更趨向于去尋求點D的運動軌跡來解題. 不過點D的運動軌跡并不是一種簡單的直線或圓弧,而是如圖6 所示,是一種比較復雜的弧線.學生通過原有的經驗,在圖中選取不同的點A 進行畫圖,卻發現自己進行了若干嘗試后沒有發現一種顯性的規律或者發現的是一個錯誤地規律時, 他的嘗試和探索遭遇到失敗,其探索的積極性遭到了挫傷后又無任何收獲,心理上是十分沮喪的. 學生這種不好的情感體驗,從教師的角度來講,需要教師在教學工作中及時捕捉到,并采取適當的措施才能進行安撫,這無形中給教師的教育教學工作增添的麻煩,同時效果還不佳. 從學生的角度來講,當學生思維生長的空間遭到壓縮,他在這個問題中的收獲也會大打折扣,甚至會導致揠苗助長,最終在這樣的問題上顆粒無收. 但是在改編題中,學生根據自己所學,從開始嘗試到最終得到一種“粗糙”的解題策略,其實在這個過程中,學生經歷了從實踐到形成理論的一種質的飛躍,這就是學生數學素養的形成過程. 筆者認為這個過程雖然看似很“微小”,但是它產生的結果卻是很“微妙”. 學生在他的學生過程中的思維成長正是靠這些不起眼的“微小”變化,積少成多,最終量變引發質變,思維產生了質地飛躍.

圖6

另外,學生在收獲解題策略的同時,也收獲了一份成功的喜悅. 這對學生的情感、態度、價值觀的影響也是不容忽視的. 并且這份收獲還有其延續性,例如下列變式問題:

變式1: 如圖7,∠MON= 90°,等邊三角形ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當B在邊ON上運動時,A隨之在OM上運動,其中AB= 2,運動過程中點C到點O的最大距離是___.

圖7

變式2: 如圖8,∠MON= 90°,正方形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當B在邊ON上運動時,A隨之在OM上運動,其中AB=2,運動過程中點C到點O的最大距離是____.

圖8

在變式1 和變式2 中,此時求點C到點O的最大距離,雖然此時沒有點E的輔助,但是學生因為有了之前的解題經驗,對于此類問題的解決也就沒有了困難. 同時也將這個問題中,學生獲得的成果進一步拓展鞏固,學生收獲滿滿.

此時教師可以再一次對線段AB上其它點的運動軌跡給與演示,可以發現線段AB上其它點的運動軌跡都是曲線.如圖9、圖10、圖11 所示,在這些點中,只有AB的中點運動軌跡是十分特殊的圓弧軌跡,從而讓學生在更深層次上對這個問題有了實質的理解,并得到質量上的升華.

圖9

圖10

圖11

最后,筆者要說的是,命題的工作是教育教學工作中不可忽略的一個重要環節,它既能鍛煉學生的數學思維,檢驗學生的學習效果,也可以改進教師的教學方式,可以說它的功能是多方面的. 如何科學的命題,依然需要教師在今后的工作中不斷探索,為學生獲得有質量的學習不斷努力.