問題導學式數學課堂的實施*
——以“二項式系數的性質”為例

廣東省深圳市羅湖高級中學 (518000) 朱叢云

發現問題、提出問題,感悟數學與現實之間的關聯是核心素養導向下的課堂教學的重要特征;學會用已有的知識解決實際問題,在各種情境下運用數學知識,不僅讓學生學會知識,更幫助學生學會思考、解決問題. 以“楊輝三角與二項式性質”為例,談談問題導學下的情境式數學課堂教學設計.

“楊輝三角”是我國古代數學重要的研究成果之一,它與二項式系數性質緊密結合,研究楊輝三角,可以進一步加深學生對二項式系數的認識,在高中數學教學中,“楊輝三角”很好地提供了創造情境的題材.

《普通高中數學課程標準(2017 年版2020 年修訂版)》提出,情境創設和問題設計要有利于發展數學學科核心素養基于數學學科核心素養的教學活動應該把握數學的本質,創設合適的教學情境、提出合適的數學問題,引發學生思考與交流,形成和發展數學學科核心素養. 教學情境和數學問題是多樣的、多層次的. 教學情境包括: 現實情境、數學情境、科學情境,每種情境可以分為熟悉的、關聯的、綜合的. 數學學科核心素養在學生與情境、問題的有互動中得到提升. 在教學活動中,應結合教學任務及其蘊含的數學學科素養設計合適的情境和問題, 引導學生用數學的眼光生進一步理解現象、發現問題,使用恰當的數學語言描述問題,用數學的思想、方法解決問題. 在問題解決的過程中,理解數學內容的本質,促進學生數學學科核心素養的形成和發展.

從知識的上下位關系看,學生已經熟悉了二項展開式及其通項,并且對二項展開式進行細致分析,了解了二項式系數的相關概念. 本節課就在此基礎上將二項式系數性質和“楊輝三角”結合起來,建立相關知識的聯系.

在本節課的教學組織過程中, 利用小組自學、對學、群學、上臺展示、評價超越的方式,建構數學情境,設計自主學習單將教學內容前置,以問題的形式建構數學知識,感受數學文化,拓展教學情境,借助表現性教學的理念,引導學生用數學的語言表達解決數學問題的過程,從而實現新課改提出的在情境中拓展,在表達中提升.

以下為新教材普通高中教科書數學選擇性必修第一冊第五章計數原理“4.2 二項式系數的性質”的教學案例及其思考.

1 教學案例

問題1: 觀察楊輝三角上下行的關系,你能根據楊輝三角的上一行寫出下一行嗎?

追問: 觀察楊輝三角的每個數和組合數之間的聯系,你能將楊輝三角的每一個數用組合數的形式寫出來嗎? 楊輝三角里的數字是肩上的兩個數的和,寫成組合數的形式怎么表示呢?

設計意圖: 列出楊輝三角的部分行后,借助上下行的規律, 讓學生觀察到楊輝三角里的數字是肩上的兩個數的和,通過遞推的思想可以寫出楊輝三角的任一行.

問題2: 觀察楊輝三角的任意一行, 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數有什么關系呢? 考慮每一行的增減性,從左向右,二項式系數是怎么變化的呢? 每一行的二項式系數何時取得最大值? 你能用函數的思想統一描述這些性質嗎?

設計意圖: 每一行從左到右的二項式系數就是一個離散的函數,離散的函數左右兩邊是對稱的,在中間取得最大值.從函數角度研究問題時,可以畫出它的圖象,利用結合直觀,數形結合地進行思考,這對發現規律,形成證明思路等都有好處.

問題3: 楊輝三角的第一行的系數之和等于21第二行的系數之和等于22, 第三行的系數之和等于23, ……第n行的系數之和等于多少? 你能證明你的猜想嗎? 證明:C0n+C1n+C2n+···+Cnn=2n.

問題4: 以第6 行為例, 偶數項的二項式系數的和與奇數項的二項式系數的和有什么關系呢? 以第n行為例,二項展開式中, 偶數項的二項式系數的與奇數項的二項式系數的和有什么關系呢? 證明:C0n+C2n+C4n+···=C1n+C3n+C5n+···

設計意圖: 在二項式定理(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-b2+···+Cknan-kbk+···+Cnnbn中,令a=-1,b=1,則得到每一行的系數之和為0,即可得出二項式展開式中,奇數項的和與偶數項的和相等. 是問題3 的遞進式表達.

問題5: 閱讀課本,觀察楊輝三角,你還能找出哪些規律?

設計意圖: 開放性的問題,可以激發學生進一步研究楊輝三角的興趣.

通過對楊輝三角隱藏內容和關聯知識的探索,學生發現了發現菲波納契數列,三角形數、正方形數,發現分形三角形,高階等差數列等.

學生進一步加深了對二項式系數相關性質的運用. 本節課的教學設計,引導學生從問題出發,歸納數學思想,從熟悉的情境中設計出合適的問題,幫助學生建構數學. 如何進一步升華知識,拓展內容,讓學生在關聯的情境和綜合的情境中應用楊輝三角解決問題呢? 為此,我進一步拓展了教學設計. 由于這兩個問題是有挑戰性和趣味性的,在實際教學過程中,學生的好奇心被激發出來,更加積極主動.

在關聯的情境中解決數學問題(與二項式定理關聯的路徑問題).

問題6: 如圖是城市的部分街道圖. 縱橫各有五條路,如果從A處走到B處(只能由北到南,由西向東),

(1)請在各交叉點標上到達那里的方法數.

(2)如果從A處走到B處(只能由北到南,由西向東)有多少種不同的走法?

生1: 到達各交叉點標上的路徑數可以標注出來,可以一條條地數出來,但是比較難數清楚.

師: 是的,但是我們可以先看幾個交點,數幾條看看. 向右數第一個點是1,第二個點也是1,第三個點也是1,但是右下方的第一個點就會有兩條路徑,是上面方法數和右邊的方法數的.

可以轉化為求橫線和縱線的排列問題.

生2: 我們把到達那里的方法數標注出來,這些數字的排列與楊輝三角中的數字排列非常的相似. 但我也說不清楚是怎么樣的相似.

師: 那我們不妨把這個正方形繞著中心點順時針轉動90°,看看有什么規律?

生2: 哦,我發現了,轉動后每行數字的排列就是楊輝三角中各行數字的排列.

師: 大家應該初步感受到了楊輝三角的魅力了,可為什么數字的排陣就是楊輝三角呢? 我們發現在算路徑數的時候用的方法是遞推,這個遞推和楊輝三角中的遞推有什么相似之處呢?

生3: 這個遞推的方法和楊輝三角中的規律“某個數字等于它肩上的兩個數字之和”是一樣的.

師: 對了, 這就能解釋縱橫線路圖的數字為什么是楊輝三角的每一排的數字了. 那么從A處走到B處的走法就是70 了.

在綜合的情境中解決數學問題(彈子游戲). 設計合適的教學情境、提出合適的數學問題是有挑戰性的,也為教師的實踐創新提供了平臺. 從數學與生活的角度,提出優秀的數學問題,可以幫助學生更好地提升數學素養. 如圖,在一塊傾斜的木板上,釘上一些正六角形小木塊,在它們中間留下一些通道,從上部的漏斗直通到下部的長方形框子. 把小彈子倒在漏斗里,它首先會通過中間的一個通道落到第二層六角板上面(有幾個通道就算第幾層),以后,再落到六角板的左邊或右邊的兩個豎直通道里去.

問題7: 如果有C0n+C1n+C2n+···+Cnn=2n小彈子落入第n層從左到右數第r個通道的可能性是多少? 如果設置獎金,兩邊的獎金高還是中間的獎金高?

師: 這個問題和縱橫線路圖問題有什么相同之處?

生: 彈子每次遇到六角板的端點都有兩選擇,而在每個端點的路徑數就等于它肩上的兩個端點處的數字之和.

設計意圖: 彈子通過2n個通道,分布也就是楊輝三角的情形,分析方法也是通過“某個數字等于它肩上的兩個數字之和”. 與上一個縱橫線路圖比,問題的情境更加綜合,建構數學的想法卻是一樣的. 從現實情境中抽象出數學知識,最終理解生活中與數學關聯的問題. 這種用數學的思維和眼光發現問題解決問題的訓練,可以很好地激發學生的興趣,提升數學學科素養.

2 教學反思

挖掘教學內容的縱深,在情境中拓展,在問題中引申,才能幫助學生提升數學的素養. 現實生活為學生的數學學習提供了大量的生活情境,從數學知識出發,建立模型,并優化解決策略,幫助學生利用已有數學知識在情境中解決問題.

2.1 基于情境,問題導學,引領學生思考

新一輪數學課程改革之后,數學的教學需要提升學生的四基四能,即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力. 傳統雙基主要指數學學習的結論性知識,新的雙基主要指數學學習的過程性體驗和感悟,這其中最重要的就是數學學科思維. 因此,數學教學不僅應教給學生數學知識,更應教會學生數學思考. 創設情境,幫助學生感悟教學內容. 課堂教學中需要有問題意識,突出問題導向,通過問題驅動學生的學習.

2.1 重視情境,考教銜接,引導學生把握數學本質

通過對2022 年新高考1 卷數學分析,22 道試題中20 道題數學情境、1 道題生活情境、1 道題科學情境,而新高考2卷中19 道題數學情境、2 道生活情境、1 道科學情境,高考數學題目呈現出“無情境不成題”的試題特點,在平時的教學中我們應當通過數學情境引導學生把握數學內容的本質.

2.3 創設情境,發展解決問題能力,培養創新意識

數學探究作為貫穿高中數學教學的重要要求,應當滲透到教學活動當中, 教學活動除了平時的通過練習鞏固提升,還應適當通過問題化情境式教學引領學生創新意識的發展.情境來源于課堂知識的問題化,來源于對生活的理解和觀察.教師在這部分的教學中應當主動思考,依托教學內容,創設情境,讓數學課堂呈現出從知識出發,拓展到情境再回歸總結數學內容本質的挖掘深入的過程.