PBL 視域下引導學生自主探究的教學策略研究
——以“專題:‘邊.邊.角’能判定三角形全等嗎?”為例

上海市靜安區實驗中學 (200070) 付慧玲

PBL(Problem-Based Learning)是以問題為導向的教學方法,即問題驅動教學法. 問題驅動教學法以問題為依據引導學生進入學習過程,或者在教學中讓學生提出問題,以及學習中遇到的疑惑,或是學習中的難點,從而引領學生的探究方向,激發學生的探究動力,學生主動獲取知識并自我建構.自主探究的教學模式是培養學生創新實踐能力的一種重要教學模式,有助于學生自主建構知識體系框架,有助于思維導圖的構成,有助于學生將知識內化,形成自身的認識.

《義務教育數學課程標準(2022 年版)》在課程理念中提出: 實施促進學生發展的教學活動,有效的教學活動是學生學和教師教的統一,學生是學習的主體,教師是學習的組織者、引導者與合作者. PBL 問題驅動教學法, 緊扣課程理念,關注學生的主體地位,設計自主探究活活動,想要最大程度的提高學生的參與度和自主性, 引導學生研究教學內容,本文以專題:“邊. 邊. 角”能判定三角形全等嗎? 為例,淺談PBL 視域下引導學生自主探究的教學策略.

1 挖掘教材內容,設計課堂活動,引導學生自主探究

“邊. 邊. 角”能判定三角形全等嗎? 是一節專題探究課,是上海教育出版社,九年義務教育七年級第二學期,第十四章章節末的一篇閱讀材料. 在第十四章,學生學習了三角形的基本元素和有關線段,三角形的分類以及全等三角形的相關知識等;學生掌握了全等三角形的幾種判定方法,且知曉了這幾種判定方法的由來依據. 但是第十四章教材學習的內容并沒有包含所有的判定方法,而閱讀教材是對本章學習內容的補充,從整個單元設計上來講,學習本節專題課能使得學生的知識儲備更加完善和系統,結合學生的學情和學校的教學設施(平板電腦),制定如下的教學目標.

1.1 制定適切的教學目標

1. 運用方法性類比,回顧已經學習過的全等三角形判定方法的由來依據. 通過畫圖操作,理解“邊. 邊. 角”不能作為全等三角形判定方法的道理;

2. 運用平板電腦,借助現代化技術. 通過利用GeoGebra軟件動態演示圓與射線的交點情況的過程, 自主探究“邊.邊. 角”在哪些特殊情況下能畫出形狀、大小唯一的三角形,在動態變化的過程中探索變量的變化規律,體會、關注臨界位置;

3. 培養數學建模和數學思維能力,體會感知數學思想.在“邊. 邊. 角”全等三角形判定方法的探索中,完善三角形全等的判定方法,體會轉化及有序分類的思想.

1.2 張弛有度,把握教學重難點

教學重點“邊. 邊. 角”在哪些特殊情況下能判定三角形全等的自主探究;

教學難點在動態變化過程中,探求變量變化的規律,并關注臨界位置及進行有序分類.

1.3 結合現代化數字手段,豐富課堂活動,預設與實踐相碰撞,全方位關注教學過程

1.3.1 復習引入之溫故知新

(1)合理設置練習,進行作業講評

操作1作圖

①畫ΔABC,使∠A=30°,AB=6cm,BC=3cm;

②畫ΔABC,使∠A=30°,AB=6cm,BC=5cm;

③畫ΔABC,使∠A=90°,AB=6cm,BC=10cm;

④畫ΔABC,使∠A=120°,AB=6cm,BC=8cm.

幾個練習中給定的條件均是“已知兩邊及其中一邊的對角”,而通過畫圖操作,有的畫出一個的三角形,有的畫出兩個三角形,而有的并沒有畫出三角形. 這里的練習設置,細心的學生會發現,給定的三角形的內角有銳角、直角和鈍角,這里也是為接下來的新課學習進行鋪墊.

因為,通過畫三角形的操作實驗已經知道,一個三角形的形狀和大小可以由這個三角形中的兩邊及其夾角或兩角及其夾邊或兩角及其中一角的對邊或三邊,這樣的三個元素唯一確定;這也就是,若兩個三角形滿足以上所說的條件,那么它們就是全等三角形. 研究判定兩個三角形全等的方法,就是從研究根據適當的三個條件畫三角形開始的. 所以根據之前的學習歷程,將“邊. 邊. 角”是否能判定兩個三角形全等的問題轉化為“邊. 邊. 角”是否能確定三角形的形狀和大小的問題來研究,這里就是利用了方法性類比將問題進行了轉化.

(2)環環相扣,過渡自然,提出問題1

問題1“邊. 邊. 角”能判定三角形全等嗎?

由課前練習畫出的三角形的情況不唯一,可以回答問題1,得出結論:“邊. 邊. 角”不具有普適性,因此不能作為判定三角形全等的方法.

通過這一教學活動,學生能夠說明“邊. 邊. 角”不能作為判定三角形全等的方法的依據,體會了將兩個三角形是否全等的問題轉化為能否確定三角形的形狀和大小的問題來研究.

1.3.2 設置教學活動,引導學生自主探究

順勢而為,乘勝追擊,提出問題2

問題2是否在某些特殊情況下,“邊. 邊. 角”能判定兩個三角形全等呢?

通過類比之前學習的歷程,問題2 被轉化為: 是否在某些特殊情況下,“邊. 邊. 角”能唯一確定一個三角形的形狀和大小呢? 很自然的引導學生進入下一步的畫圖自主操作

操作2已知兩邊及其中一邊的對角,畫ΔABC.

(1)分析問題已知,培養解決一般性問題的思維能力

問題2 被轉化為畫圖操作進行解決,這里不同于課前練習是給定具體的數據進行操作,而是一個很一般性的問題.

問題3那么如何體現問題的一般性呢?

這里可以用字母表示三角形的邊長、相關線段的長度以及三角形內角的度數.

根據之前學習畫三角形的經驗,

問題4確定一個三角形的形狀和大小關鍵在于?

確定這個三角形三個頂點的相對位置. 而已知一邊可以確定三角形兩個頂點的相對位置,

問題5而第三個頂點的確定關鍵在于?

關鍵在剩余兩個條件是什么. 這里由學生根據問題的層層深入, 自主設計畫圖操作: 畫ΔABC, 使AB=c,∠A=α,BC=r,其中c的長度如圖所示.

(2)有條不紊,自主探究,用GeoGebra 軟件動態體驗,構建有序分類的思維習慣

畫圖操作中給定了AB長度的參考,在剩余的兩個條件中考慮先畫∠A=α.

問題6α的度數具體是多少未知,但是α是三角形的一個內角的嗎? 三角形的內角一般可以是什么角? (銳角、直角、鈍角)

根據所學知識知道它可以是銳角、直角和鈍角.

問題7那么就需要對α進行分類討論,按什么順序討論呢?

可以按從小到大的順序進行討論,因此先討論α為銳角時,即0＜α＜90°.

接下來畫角的對邊BC=r,可是問題仍然存在,r的長度是多少并不知曉. 在已經畫出的圖上,確定長度的線段是AB=c,

問題8還可以找到一條確定長度的線段嗎?

可以: 點B到射線AM的垂線段的長度是確定的,即點B到射線AM的距離h,因為經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

問題9那么請大膽猜測,r的長度與h、c的長度有關嗎? 有什么關系呢?

而具體有什么關系,能不能畫出三角形,需要探索嘗試才能知道,這里借助現代科技手段,利用平板電腦,學生自己動手操作,自主探索,借助GeoGebra 軟件的動態演示以點B為圓心,r為半徑的圓與射線AM的交點情況,直觀感受,如下圖1 所示. 然后將探索得到的情況一一畫在操作單的表格中,并填寫出對應的r與h或c的數量關系.

圖1 角是銳角

通過平板的演示, 學生能輕松說出圓弧與射線交點的五種情況,并能在操作單上將五種情況畫出;但是從r與h或c的數量關系大小看圖畫的較為凌亂, 從有無交點上看也沒有章法, 這里亟需培養的思維能力是: 進行有序分類.

其實在課題的開始對三角形的內角進行分類的時候,已經滲透了從小到大有序分類的思想,r的參考對象稍顯復雜,是一個綜合性的問題,那么要使得討論不重復、不遺漏,有序分類就至關重要;而分類的依據,在GeoGebra 軟件的動態演示中是影響交點個數的臨界位置, 對應的是r與h或c的數量關系,從小到大分別是0＜r＜h、r=h、h＜r＜c、r=c、r＞c;這里對r與h或c的數量關系的確定中蘊含著數學建模的核心素養.

(3)模仿類比,自主探索,層層深入,培養觸類旁通的思維能力

已經討論了α為銳角的情況,那么α為直角、鈍角的情況,完全可以運用過程性類比α為銳角的情況進行操作. 而在教學中,學生的課堂反饋非常自然,對剩余兩種情況進行了有序分類,明了有序分類的意義,成功的將所學新知識遷移到解決新問題中,α為直角、鈍角的兩種情況分別如下圖2、3 所示.

圖2 角是直角

圖3 角是鈍角

通過設計豐富合理的教學活動,學生經歷了這樣的一個學習過程,見圖4.

圖4 學習過程

(4)借助表格,培養化繁為簡的思維能力

將討論的幾種情況以表格的形式呈現,將比較復雜繁瑣的問題直觀呈現出來,簡潔明了,有助于學生進行知識梳理,降低理解記憶的難度,增加持續學習數學的興趣,見表1.

表1 關系表

2 于反思中前進

本次研究不僅關注教師的教學方式,而且關注學生的學習方式和獲得知識的途徑,同時還側重初中階段的“問題解決”和數學建模.

有助于教師做好學生學習路上的“引路人”. 在問題驅動教學法中,教師擔任的角色是問題的提出者、課程的設計者以及結果的評估者. 教師運用一系列的問題,引導學生的思維層層遞進;設計教學活動,加深學生對知識的理解;關注自主探究,滲透學習數學知識的方法,學會解決一類問題的思考方式. 有利于培養質疑問難,自我反思,勇于創新的科學精神. 問題驅動教學法讓學生圍繞問題尋求解決方案,能夠激發學生學習的主動性,提高其在教學過程中的參與程度,提升學習的求知欲,活躍其思維.

學生經歷了從特殊到一般的學習過程,培養了學生解決一般性問題、有序分類、觸類旁通、化繁為簡的思維能力. 其中有序分類的思想為學生后續的學習搭建了成長的臺階;在課堂活動中學生將舊知識學習的經驗遷移到新問題情景中,培養了學生主動探究的學習能力. 而自主探究的學習方式,具有培養學生學會思維、形成思維方法的重要功能,對學生逐步形成良好的創新意識具有重要作用,對學生的未來發展具有不可替代的教育價值.