核心素養引領下的“初中數學教學之習題設計”

?山東省淄博市張店區第八中學 孫程程

羅增儒老師說過,誰也無法教會所有的題,重要的是通過有限道題的學習,領悟那種可以解決無限道題的數學素養.高昂的時間成本是教學活動難以逾越的障礙,一節課如果內容太多,任務太重,學生很忙,思考力就難以提升.因此,作為教學設計者和執行人的教師,要反復研讀教材,在尊重學生認知規律的前提下設計合理可行的習題,體現教學重難點,不讓學生做廉價的發現、無畏的探索.教師在習題設計中要恰當地設置障礙,讓學生的思維始終處于活躍狀態.鑒于此,筆者結合多年初中數學一線教學經驗,具體談談初中數學教學中“習題設計”的理念.

1 精心設計習題的變式

變式教學具有得天獨厚的優勢,它不是一味地灌輸知識,而是點燃思維的火焰.變式可以引領學生不斷面對新的問題,運用所學知識來解決問題,逐步讓知識向深處漫溯,形成知識結構的建構,從而促進思維能力的提高.善于變式體現了一個教師的專業功底.好的變式是一節好課的心臟,能讓一節課“活”起來,觸發學生的思考.各變式之間,要具備并列或遞進的關系,要具有層次性,由易到難,層層遞進,環環相扣,前一個問題是后一個問題的基礎與鋪墊,即思維逐層深入,逐步拓展,達到“會一題通一類”的效果.

下面以“勾股定理”中的習題為例進行變式設計.

例在Rt△ABC中,∠C=90°,若a=3,b=4,求c的長.

變式1如圖1,一棵垂直于地面的樹被臺風吹倒,在離樹頂部5 m處折斷,樹頂距樹底部4 m,則樹高為m.

圖1

分析：已知直角三角形斜邊為5,一直角邊為4,則另一直角邊為3.學生在實際解決中,容易錯把3 m作為答案,忘記樹高還要再加折斷的5 m,正確答案應是8 m.

設計意圖：變式1在勾股定理的基礎上,用數學的思維來解決實際問題.變式1用勾股定理搭建思維的扶梯,用數學的眼光來看待現實生活中的實際問題,體會數學的價值與意義.

變式2一直角三角形的兩邊長分別為3和4,則此直角三角形的第三邊長為.

設計意圖：變式2從實際問題再回歸到數學問題,例題及變式1的解決,為變式2做了足夠的鋪墊,凸顯了分類討論思想,屬于暴露易錯點的變式.變式1到變式2的過渡,從形象到抽象,關注了知識的內涵和外延,增強了學生對數學思想方法的感悟以及對數學技能的掌握,積累數學活動經驗.

變式3如圖2,三個正方形的邊圍成一個直角三角形,兩個正方形的面積分別為225和144,則正方形A的面積是.

圖2

設計意圖：把勾股定理融入變式中,從數到形,數形結合,讓學生在最近發展區引發思考,促進思維的進階,深度參與解決問題.

變式4如圖3,在直線l上依次擺放著七個正方形,已知斜放置的三個正方形的面積分別是1,2,3,正放置的四個的正方形的面積依次是S1,S2,S3,S4,則S1+S2 +S3+S4=.

圖3

設計意圖：變式4屬于拓展型變式,熟練方能收獲巧思,通過變式,增加重復的價值,比投身題海戰術收效更大.認知結構上的同化與順應,促進新圖式構建與元認知能力的發展,充分挖掘思維潛能,發展思維的靈活性與深刻性.

變式5如圖4是一個三級臺階,它的每一級的長、寬和高分別為20 dm,3 dm,2 dm,A和B是這個臺階兩個相對的端點,A點有一只螞蟻,想到B點去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是多少?

圖4

設計意圖：臺階中的最值問題,讓學生感悟解決現實問題要關注數學知識背景,在建立模型的過程中學會用數學的思維思考現實世界,有效拓展,深刻理解模型的關鍵條件,強化數學建模意識,把復雜問題化歸為簡單熟悉的問題,將知識縱向遷移,提高解題能力.

變式是鞏固新知識的好方法,運用變式教學,層層遞進,逐步深挖,突破思維定式,激起學生好奇心.通過一系列的變式教學,始終圍繞“勾股定理”這個知識“點”,通過變式串成一條“線”,再拓展延伸成“面”.將所學知識融會貫通,在潤物無聲中培養學生的探知能力,實現從理解知識到掌握知識的飛躍,提升并發展學生數學核心素養.

2 善于設計一題多解的習題

培養思維不設限,一題多解,多方面多角度思考,可以拓寬思路,優化學生的思維品質,提升思維的廣闊性、深刻性、靈活性、批判性、獨創性;知道為什么這樣做,還可以怎么做.學生思維一旦激活,奇思妙想就會宛如“千樹萬樹梨花開”,既鞏固了技能,又培養了能力,比再練一道同類題目收益更大.

如:若x=2是一元二次方程x2+4x-p=0的一個根,求該方程的另一個根.

本題以一元二次方程為載體,通過一題多解,讓學生感受到應用根與系數的關系解題的優越性,體現發展為本的理念,讓學生從“惑”中走出來,知識、素養、經驗、智慧都拾級而上.

3 設計體現知識結構、串聯新舊知識點的習題

《義務教育數學課程標準(2022年版)》課程實施中提出的教學建議為整體把握教學內容,注重教學內容的結構化.

如,人教版“23.2.3關于原點對稱的點的坐標”的教學中,當學生探索并掌握了“平面內的兩個點關于原點對稱,橫、縱坐標互為相反數”這一規律時,筆者設計如下習題.

如:已知二次函數y=ax2+4ax+4a-1的圖象是C1,求C1關于原點(0,0)成中心對稱的圖象C2的函數解析式.

拓展二次函數y=a(x-h)2+k(a≠0)關于原點中心對稱的拋物線C2的解析式是什么?你發現了什么規律?

延伸二次函數y=a(x-h)2+k(a≠0)關于x軸對稱的拋物線C2的解析式是什么?你又發現了什么規律?

歸納:關于某點成中心對稱即是把一個圖形繞著某一點旋轉180°,其特征為無論作何種變換,拋物線的形狀一定不會發生變化,因此|a|永遠不變.求變換后的拋物線的解析式時,可以先確定原拋物線的頂點坐標及開口方向,再確定變換后拋物線的頂點坐標及開口方向,然后再寫出其變換后拋物線的一般表達式.

設計意圖：把坐標平面內“點”的中心對稱遷移到“拋物線”的中心對稱或軸對稱,綜合應用了中心對稱、軸對稱和二次函數的聯系,提高學生的知識遷移能力.因此,習題設計的“結構化”體現了課時內容的疊加,把碎片化的知識點有機整合起來,把不同章節的新舊知識點串聯起來,由新知聯想舊知,通過對比、分析、推理,深入理解知識的內涵和外延,豐富知識網絡,完善知識體系,形成高效教學,提升并發展數學核心素養.

4 善于在習題中滲透數學思想方法

以“轉化思想”為例:如圖5,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動點(且點P不與點B,C重合),PE⊥AB于點E,PF⊥AC于點F,則EF的最小值為( ).

圖5

A.4 B.4.8 C.5.2 D.6

本題立足于“垂線段最短”這一知識“生長點”,由已知條件可得四邊形AEPF為矩形,鎖定已知,構建聯系;利用矩形對角線相等的性質,把線段EF的長轉化為AP的長;再根據垂線段最短原理,利用等積法即可求解.此過程中讓學生積極參與探索,了解問題的實質,產生新舊知識沖突,感受數學發現與創造的快樂,真正做到“懂”“通”“透”,培養學生數學抽象與邏輯推理能力,對數學素養的提升起到“春風化雨,潤物無聲”的效果.

數學教學的習題設計能力是每一個教師需要終身修煉的教學基本功.它需要教師深入研讀教材,重視教材內容的解讀,聚焦核心素養,把要傳授的內容濃縮體現在習題之中,并將其加工滲透于習題之中,而這又是專業基本功的體現.因此,在教師生涯中,追求精益求精的習題設計能力是值得持之以恒探索的課題.