基于深度學習的單元復習課教學設計*
——以人教A版選擇性必修第二冊第四章“數列”為例

廣東省廣州市第九十七中學 (510260) 徐進勇

關于深度學習的內涵,國內外有很多界定,喻平教授認為有幾點是相對統一的．(1)深度理解．即學習者對知識本質的理解,對事物或知識意義的理解及對自我生命意義的理解．(2)高階思維．即學習者在知識建構、問題解決的過程中,要有多種思維形式介入以及元認知的參與．(3)知識遷移．學習者能將一個學科習得知識或方法遷移到另一學科情境或現實情境中去解決問題．(4)實踐創新．即學生的問題解決能力、遷移能力和創新能力在學習中能夠得到發展[1]．

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》在教學建議中強調:“教學要整體把握教學內容,把握數學知識的本質,理解數學知識產生與發展過程中所蘊含的數學思想,在此基礎上,探索通過什么樣的途徑能夠引發學生思考,讓學生在掌握知識技能的同時,感悟知識的本質,實現教育價值”[2].章建躍博士認為站在“一般觀念”的視角審視數學知識,超越碎片化的知識觀,追求數學的整體性,自然生成的就是單元教學．指出單元教學主要特征體現在(1)整體性．基于整體思維的教學設計方式,縱覽全局,從整體上掌握數學學習內容,從結構上更好地把握數學知識的整體性．(2)層次性與有序性．強調從單元到課時,先進行單元教學設計,再將本單元內容按知識的發生發展過程、學生的認知過程分解到課時．(3)系統性．同一單元的數學教學內容相對完整,能構成一個相對獨立的知識系統和邏輯關系,有助力學生的系統思維發展．單元教學的實施要按“總—分—總”的形式展開,前一個“總”常常以章引言展開,后一個“總”往往是以單元復習課結束．單元復習課對單元的回顧、總結、整合、聯系、拓展、升華具有重要意義,是單元教學必不可缺少的重要環節．下面以人教A版選擇性必修第二冊“數列”為例,基于深度學習的內涵構建單元復習課,促進學生數學核心素養的形成與發展．

1 梳理數列的學習路徑,深度理解數列概念,形成“一般觀念”

問題1 數列單元主要學習了哪些內容?這些內容是按怎樣的邏輯展開的?又是如何研究的?

預設:數列的內容與已學的函數有相似之處,既包括一般數列,又包括特殊數列,因此數列內容的編排采用了與函數相似的框架,這也是研究一個數學對象的基本路徑,即數列的事實—數列概念的定義、表示—性質—等差數列與等比數列．等差數列與等比數列的研究,也都采用了與研究基本初等函數類似的路徑,即“事實—概念—性質—應用”．等比數列與等差數列在研究思路和方法上有很強的可類比性,都是通過發現取值規律獲得定義,通過與相應函數類比探索性質,通過運算、代數變換等一般性的方法解決相關問題等,突出“遞推關系—通項公式—求和公式—實際問題”的研究路徑,具體如圖1．

圖1

設計意圖：梳理數列的研究內容、研究路徑、研究方法與研究視角,形成“數列”這一數學對象的研究套路．讓學生形成用“數列”的眼光的看待問題,用“數列”的思維思考問題,用“數列”的語言表達問題的意識與能力,實現“四基”的落實與“四能”的提升．

2 以“一般觀念”為指導,創新問題解決,形成高階思維

教材中章頭圖(如圖2)的背景是遼闊而波濤洶涌的大海以及遠處的燈塔,象征著數學的悠久文化與歷史傳承,數學是指引人類文明進步的“燈塔”．沙灘上畫“三角形數”、“四邊形數”、“五邊形數”傳說是古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在海灘上研究數學問題,他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數,并通過擺成的某些形狀來研究數的規律．

圖2

問題2 你發現“三角形數”、“四邊形數”、“五邊形數”分別是多少?

預設:通過觀察可得到三角形數1,3,6,10,…,四邊形數1,4,9,16,…,五邊形數1,5,12,22,….

問題3 按照數列的研究套路,從運算的角度你能發現項與項間存在怎樣的關系?

預設:三角形數滿足an+1-an=n+1;四邊形數滿足an+1-an=2n+1;五邊形數滿足an+1-an=3n+1．

問題4 你能由遞推關系求出通項公式嗎?

問題5 你能求它們的和嗎?

預設:可利用分組求和法,但我不知道12+22+32+…+n2=?

圖3

圖4

預設:1+3+5+…+(2n-1)=n2.

問題7 如果我們把三角形數中的點擴大到一個小圓圈,再在每個小圓圈按規律填上數字:第1行填1,第2行都填2,…,第n行都填n(如圖5(a)),這個三角形所有小圓圈的數字和怎樣表示?

圖5(a) 圖5(b)

圖5(c) 圖5(d)

預設:1+2×2+3×3+…+n×n=12+22+32+…+n2.

問題8 將這個三角形按順時針方向旋轉120°得到第二個三角形(如圖5(b));再將這第二個三角形按順時針方向旋轉120°得到第三個三角形(如圖5(c)),將這三個三角形對應位置的小圓圈里的數相加,得到第四個三角形(如圖5(d)),則第四個三角形中所有數字之和是多少呢?

設計意圖：依據等差、等比數列的研究思路,回歸對章頭圖的研究,一方面讓學生經歷以“一般觀念”為引導的探究式學習,體會“研究套路不變,思想方法不變”,逐步掌握解決數學問題的那個“相似的方法”,同時從相鄰兩項差為常數轉變為相鄰兩項差是一個變量,實現了高階思維的躍進,體現方法的高通路遷移;另一方面,教師提供的新材料,也是對“數形理論”拓展,使學生對章頭圖的涵義有深度理解,彰顯數學文化內涵的同時,拓寬了學生視野,培養學生實踐創新,過程中有具體形象思維、抽象邏輯思維介入以及元認知的參與,提高了學生的數學直觀與數學推理能力．

3 探索一般數列解決方案,形成通性通法,實現知識遷移

等差數列與等比數列是數列中兩種特殊數列,高中階段只學習這兩種數列,如何把一般數列轉化到這兩種數列中去,并通過等差數列、等比數列的通項公式與求和公式解決問題也本單元學習的一個重點和難點.

教材“4.3等比數列”例12:某牧場今年初牛的存欄數為1200,預計以后每年存欄數的增長率為8%,且在每年年底賣出100頭牛,設牧場從今年起每年初的計劃存欄數依次為c1,c2,c3,….(1)寫出一個遞推公式,表示cn+1與cn之間的關系;(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式,其中k,r為常數;(3)求S10=c1+c2+c3,…+c10的值(精確到1)．

問題9 例題向我們說明怎樣的解題思路,對你有何啟發?

預設:將cn+1=1.08cn-100轉化為一個等比數列,體現將一般數列通過變形轉化為等差或等比數列．

追問:上述問題的轉化方法具有一般性嗎?即形如an+1=pan+q(其中p,q為常數),如何求其通項公式．

變式方向一:將常數q變為關于n為變量的代數式．

題1 若數列{an}滿足a1=1,an+1=2an+n-1,如何求{an}的通項公式．

分析:由an+1=2an+n-1得an+1+(n+1)=2(an+n),所以{an+n}是等比數列．

題2 若數列{an}滿足a1=1,an+1=2an+2n,如何求{an}的通項公式．

題3 若數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2n,如何求{an}的通項公式

變式方向二:兩項間遞推關系變為三項間遞推關系．

題1 若數列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2-2an+1+an=2,如何求{an}的通項公式．

分析:由an+2-2an+1+an=2得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,所以數列{an+1-an}是等差數列．

題2 斐波那契數列{an},a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,如何求{an}的通項公式．

設計意圖：從特殊到一般,從常量到變量,從二項到三項,實施“形”與“質”的變化,提高學生的應用遷移能力,發展了學生的高階思維,使學生對“變形”的目標、策略有清晰的理解．整個過程有利于學生形成對數列的完整認識與本質理解,體會知識的發展過程與相互聯系,體現思想的一致性與方法的普適性,學生的“四能”得到發展．

4 用“數列模型”解決綜合問題,實踐應用中文化育人

隨著高科技與信息技術的發展,數學在自然科學、工程技術領域發揮著越來越重要的作用．在用數學方法解決科技和生產領域問題的過程中,關鍵的一步是建立研究對象的數學模型并計算求解,因此數學建模已成為現代科技工作者必備的重要能力之一．

例題(2019年全國統一高考數學理科試卷新課標Ⅰ第21改編)為了治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗．試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥．一輪的治療結果得出后,再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治愈只數多的藥更有效．為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．現甲、乙兩種藥的治愈率分別為0.5和0.8．若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,并且有5pi=4pi-1+pi+1(i=1,2,…,7)．請求p4,并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性．

預設:由5pi=4pi-1+pi+1(i=1,2,…,7)整理可得pi+1-pi=4(pi-pi-1),∴{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是以p1-p0為首項,4為公比的等比數列,得pi+1-pi=(p1-p0)·4i=p1·4i,∴p8-p7=p1·47,p7-p6=p1·46,…,p1-p0=p1·40.

設計意圖：通過實例讓學生體會用數學語言表達現實世界,以高考題為例,更有說服力．一方面向學生說明高考數學題的命題趨勢,即提高利用數學知識解決跨學科問題或現實問題,要有較強的遷移能力與建模應用能力．另一方面也能讓學生體會數學的“善”—服務于生活,服務于社會及人類的應用價值;欣賞數學的“美”—“掩蓋不住冰冷美麗下火熱的思考”;崇尚數學的“真”—震撼于數學的理性精神,這一切終將遷移、升華,并內化為學生自身的思維品質與科學素養．

所以,單元復習課的設計要站在知識整體的高度,在整體視角下確定目標、設計情境、把握內容、選擇方法、實現應用,要突出聯系、遷移與創新,使學習成為一種有生命的意義建構,以達到徹底解決問題和情感的滿足,方能實現深度學習的目標,最終讓數學核心素養落地．