燃數學思想之火,升核心素養之華
——以函數與導數模塊解題教學為例

福建省福清第三中學 (350315) 何 燈

2023年度高考藍皮書《中國高考報告(2023)》指出:未來高考命題將以“三線(核心價值金線、能力素養銀線、情境載體串聯線)”為框架,命題呈現出“無價值,不入題;無思維,不命題;無情境,不成題”的典型特征.由此觀之,新高考命題將會更加關注對學生數學思維、學科素養的考查.

數學思想方法是處理數學問題的指導思想和基本策略,是數學的靈魂[1].數學核心素養是我們教育教學的終極培養目標[2].所以,面對“三新”背景下的高考,我們應轉變自身的教學理念和教學方式,在傳授學生課本知識,習得解題方法的同時,更應該關注他們數學思維的培養、學科思想的浸潤、核心素養的發展,只有這樣,才能最大限度的發揮課堂教學的實效,才能實現數學思維從學生的腦海中自然的流淌出來,才能從容應對未來高考的新挑戰.

本文以函數與導數模塊的若干典型試題為例,闡述在解題教學過程中,教師若能將數學知識與方法和數學思想有機地結合在一起,引領學生站在數學思想的高度去分析和解決問題,就可以在深化學生對數學思想領悟的同時,優化解題過程,降低解題難度,實現學生核心素養的提升[3].

1、立意函數與方程思想發展數學核心素養

函數與方程思想包括函數思想與方程思想.函數思想主要是通過函數相關知識來求解問題,方程思想是把問題的數量關系轉化為方程或方程組進行求解.函數與方程思想應用于高中數學解題時,應該關注到函數與方程之間可以實現互相轉化,從而在問題獲解的同時培養學生綜合性的問題分析和問題解決能力,實現數學思維能力的發展和數學素養的提升.

例1 (2021年八省聯考第8題)已知a<5且ae5=5ea,b<4且be4=4eb,c<3且ce3=3ec,則( ).

A．c

C．a

分析：本題涉及到三個方程的根的大小比較,直接求解顯然無法奏效,故需要引導學生將題設條件進行適當的轉化,以尋求解題的突破口.在教學過程中,筆者設置了如下三個問題,讓學生經歷函數與方程相互轉化的過程.

問題1 題設條件能否做適當的變形?

問題2 變形后的條件具有什么特征?這些特征給你怎樣的啟示?[4]

問題3 你能根據這種啟示,將問題進行簡潔求解嗎?

圖1

2、立意數形結合思想發展數學核心素養

“數”與“形”及它們的聯系與轉化是數學研究永恒的主題.通過“以數助形,以形輔數”有利于分析題中數量之間的關系,強化學生對數學問題的感知,把握數學問題的本質,在優化解題過程的同時,提升學生的分析問題和解決問題的能力,發展數學核心素養.

例2 (2022年新高考Ⅰ卷第22題)已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a;(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列．

分析：對于問題(1),立意于數形結合思想,可以猜測出a的取值為1.當然,具體的解題過程還需要進行分類討論求解f(x)與g(x)的最小值,建立方程來完成.對于問題(2),筆者引導學生畫出兩個函數的圖象,觀察兩個圖象之間的關聯.

由于a=1,得函數f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx,借助導數研究兩個函數的單調性,可畫出二者的圖象(由(1)可得兩個函數的最小值均為1),如圖2.

圖2

筆者設置如下問題引發學生進行形與數轉化的思考.

問題觀察兩個函數圖象,形的特征是什么?你能否得到相關的數的特征?

形的特征1：函數f(x)=ex-x在(-∞,0)內單調遞減,在(0,+∞)單調遞增;函數g(x)=x-lnx在(0,1)內單調遞減,在(1,+∞)單調遞增;f(0)=g(1)=1.

數的特征1：對于函數f(x),當x>0時,函數值從最小值1逐漸增大到+∞;對于函數g(x),當0

形的特征2：當b=f(x0)=g(x0)時,直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)有三個不同的交點.

數的特征2：只需證明當f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)時,有x1+x2=2x0即可.

由f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)得ex1-x1=ex0-x0=x0-lnx0=x2-lnx2.由ex0-x0=x0-lnx0得ex0+lnx0=2x0;由ex1-x1=x0-lnx0得ex1-ln(ex1)=x0-lnx0,即g(ex1)=g(x0),關注到ex1,x0∈(0,1),則x0=ex1,或x1=lnx0;由ex0-x0=x2-lnx2得ex0-ln(ex0)=x2-lnx2,即g(ex0)=g(x2),關注到ex0,x2∈(1,+∞),則x2=ex0.結合上述,有x1+x2=lnx0+ex0=2x0,得證x1,x0,x2三者成等差數列.

評析：在問題(2)的解題教學活動中,學生經歷了“利用導數研究函數f(x)與g(x)的形態變化與運動規律,利用圖形描述、分析直線y=b與兩條曲線共有三個不同的交點這一數學問題,建立形與數的聯系,探索出只需研究f(x1)=f(x0)=g(x0)=g(x2)時,x1+x2=2x0這一解決問題的思路”,進而能夠“從數學的視角發現問題、提出問題:如何利用所得結果驗證x1+x2=2x0成立”,“收集數據得到ex0+lnx0=2x0、g(ex1)=g(x0)、g(ex0)=g(x2),整理數據得到x1=lnx0、x2=ex0,提取信息得到x1+x2=lnx0+ex0=2x0”的整個過程,將直觀想象、數據分析等核心素養得到了較好的培養和發展.

3、立意化歸與轉化思想發展數學核心素養

化歸與轉化的思想就是將未知解法或難以解決的問題,通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程,選擇恰當的方法進行變換,化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的數學思想[5].該思想體現了數學知識萬變不離其宗的特性,讓數學問題回歸本質,提升學生問題解決能力的同時,發展學生的數學核心素養.

例3 (2020年新高考山東卷第21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

分析：對于問題(2),因參數居于兩個位置,利用分離參數法無法奏效,利用直接求導法無法求出極值點,從而無法實現對f(x)單調性的討論.問題(2)比較流行的解法是同構法和必要性探路法,但同構法要求技巧比較高,筆者在教學過程中主要引導學生利用必要性探路法來求解.

在教學過程中,筆者立意于化歸與轉化思想,設計如下三個問題,引導學生對整個求解過程進行探究,實現問題由生入熟、由繁至簡的轉化.

問題1 本題中,取什么值代入表達式進行探路較為簡潔?(將參數a的研究范圍從(-∞,+∞)轉化為[1,+∞))

探究結果1:根據f(x)=aex-1-lnx+lna的表達式的結構特征(指數對數并存),故考慮令x=1代入其中.由f(x)≥1得a+lna≥1,由于g(a)=a+lna關于a單調遞增,且g(1)=0,由函數g(a)的圖象特點,可得a≥1.

問題2 探路得到的a≥1,對f(x)≥1的證明能夠起到什么作用?(將含參不等式的驗證轉化為無參數不等式的驗證)

探究結果2:當a≥1,由于aex-1-lnx+lna≥1中ex-1>0,lna的系數為1,故aex-1≥ex-1,lna≥0,得aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx,從而只需驗證ex-1-lnx≥1成立,達到消參的目的.

問題3 如何證明不等式ex-1-lnx≥1成立?(將指數、對數并存的不等式的驗證轉化為兩個更為簡潔的不等式的驗證)

探究結果3:根據不等式ex-1≥lnx+1左右兩端函數的圖象特點,兩個圖象被y=x所分隔開,故嘗試驗證ex-1≥x,x≥lnx+1同時成立,問題或能有效求解.

評析：在問題(1)的解決中,學生經歷了“針對研究對象獲取數據,發現f(x)≥1中存在ex-1及lnx,為了令得到的關于a的不等式形式簡潔,可以嘗試令x=1代入.接著運用求導方法對數據進行分析和推斷,通過研究g(a)的圖象特征,求得a≥1”,無疑,在這個過程中,學生的數據分析等核心素養得到了較好的培養和發展.

在問題(2)的解決中,學生經歷了“從數量與數量關系中抽象出基本關系,發現可以利用a≥1實現不等式放縮,得到aex-1≥ex-1、lna≥0,從而將問題轉化為驗證ex-1-lnx≥1”,無疑,在這個過程中,學生的數學抽象等核心素養得到了較好的培養和發展.

在問題(3)的解決中,學生經歷了“利用ex-1≥lnx+1兩邊函數的圖象分析數學問題,建立形與數的聯系,發現兩個函數圖象被y=x所隔開,探索出可以嘗試驗證ex-1≥x及x≥lnx+1同時成立,以達到解決問題的目的”,進而“借助導數工具,從一些事實和命題出發,依據邏輯規則推出ex-1≥x及x≥lnx+1,最終實現f(x)≥1的證明”,無疑,在這個過程中,學生的直觀想象、邏輯推理等核心素養得到了較好的培養和發展.

4、立意特殊與一般思想發展數學核心素養

在函數與導數模塊,高考命題者常有意設計一些體現特殊與一般思想的試題,突出體現特殊化方法在解題中的應用,如通過特殊值、特殊位置、特殊函數等來研究解決一般問題、不確定問題、抽象問題等.解題時若能注意到問題的特殊性,則可大幅度降低思維難度和運算量,實現問題的輕松求解,在彰顯解決數學問題方法靈活性的同時,提升學生邏輯思維能力,發展數學核心素養.

A．-3 B．-2 C．0 D．1

分析:本題的常規解法需要對f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)進行適當代換,再將代換后的多個等式進行關聯,得到函數f(x)的周期為6,再通過計算前6個函數值及周期,求得最終的結果.整個過程較為繁雜,需要學生有較強的恒等變換能力.關注到本題是一道單選題,題設條件具有一般性,但是結果具有恒定性,立意于特殊與一般思想,可以嘗試將f(x)的解析式特殊化.

在教學過程中,筆者設置了如下三個問題,讓學生經歷特殊與一般的認知過程.

問題1 由題設條件你能確定出函數f(x)的表達式嗎?

問題2 關系式“f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)”你以前是否遇到過,它給你怎樣的啟示?

問題3 你能根據這種啟示,將問題進行簡潔求解嗎?

另外,在函數與導數模塊試題解題過程中,若能夠合理利用有限與無限的相互轉化,則可快速尋得問題解決的突破口,避開抽象復雜的演算,優化解題過程,提升學生的問題求解能力,發展數學核心素養.限于篇幅,此處不再舉例詳細闡述.

當然,數學思想的領悟,核心素養的發展,并非靠幾道題目的講解,幾節課的學習就能夠實現的.這需要長期的時間積累,需要教師們在教學中要充分發掘教材中的知識點和典型例子中所蘊含的數學思想和方法,依靠數學思想指導數學思維、數學問題求解,讓學生在“潤物細無聲”中去領悟,并用其作為指導來引領問題的解決[6],進而逐步內化為自身的思維品質,促使他們能力的提升,日積月累的積淀,就形成了數學素養.