深度學習視域下數學教材內容整合的實踐路徑

摘要：學習內容的有機整合是促進學生深度學習，發展高階思維的重要途徑。教師可以從教材的內容橫、縱向整合，教材內容與教學資源的整合，跨學科內容的整合入手，探索深度學習視域下數學教材內容整合的具體實踐路徑。

關鍵詞：深度學習；數學教材內容；整合

深度學習強調整體學習，以整合的知識為內容，關注學習過程中的多維表征。深度學習視域下的課堂變革，需要教師對學科、學生、教學有全新的、正確的理解，需要教師具備整合觀和整體思想。學習內容的有機整合是促進學生深度學習，發展高階思維的重要途徑。筆者積極嘗試對數學教材內容進行有機整合，生成學習主題，并以問題為切入點，引導學生經歷數學問題的完整研究過程。

一、教材內容的橫向和縱向整合

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）指出，數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、知識結構和基本線索，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源。教師是教材的理解者、參與者、實踐者，在組織教學時， 應依據新課標的要求和學生的身心發展特點及認知規律，按照數學學科的知識特點和體系特征，對既定的教材內容進行適度的整合與重組，充分發揮教材內容的價值，促進學生深度學習。

（一）教材內容的橫向整合

橫向整合是一種基于結構、基于關聯的整合，即將同一個結構單元或者是不同單元但結構、知識點類同的內容通過優化、重組、統整、融合，生成更有利于學生深度學習的主題資源。

例如，北師大版數學教材四年級上冊“生活中的負數”單元，由于學生對負數不僅不陌生，而且有著較豐富的生活經驗積累，并且這兩課時的教材內容關聯性非常強，所以教師可以將教材內容進行有機整合，設計富有層次的數學活動，引導學生經歷深入認識正負數的過程。首先，教師請學生說說自己對于正負數已經有哪些認識，并隨機在黑板上寫出了一些數，請學生來分類，激活學生原有認知經驗。其次，教師以-2為例，請學生結合自己看到的例子，用喜歡的方式在紙上表示出它的意義（可以畫圖、列式、寫話）。教師選取并呈現幾位學生的思維過程，自然而然地借助典型實例通過直觀的板書將+2、-2這兩種意義相反的量加以區分。同時，教師將教材中溫度計的情境巧妙融入學生所舉的實例中，借助溫度計這個有效的工具，以對0攝氏度的解讀來凸顯0的作用以及正數、負數分別表示零上和零下溫度的含義，使學生對正負數意義的理解更進了一步。最后，教師組織一個排序的活動，將黑板上原本提供給學生按正、負數分類的數依照從小到大的順序排列。學生在操作中生成了一個數軸，觀察數軸能夠看到正數和負數的排列方向、大小關系，正數和負數以“0”為分界等重要信息，拓寬了已知的數的領域的外延。

（二）教材內容的縱向整合

縱向整合是指教師沿著知識發展的內在脈絡，將不同學段的某一領域數學知識以縱深的串聯形式重組，使學生從更寬闊的視野認識和建構知識體系，洞察數學知識的發展生長點和延伸點。

例如，教學北師大版數學教材四年級上冊“用數對確定位置”一課時，教師可將本節課的知識放在“確定位置”整體知識體系中。學生在低年級時已學過用一個數表示一維直線上某個物體的位置，如電影院排隊買票，從前往后數，淘氣是第3個。教師可利用學生已有的認知經驗，創設“找找我的好朋友”游戲情境，先請學生寫一寫自己最好的一個朋友在教室的位置，然后全班開展猜謎活動。學生對自己好朋友位置的描述彰顯了不同的思維水平，教師將學生的幾種典型原始思維一一呈現，引導學生在猜謎的過程中發現：僅憑一個數（即一個方位詞）不能準確判斷出好朋友的位置，沒有說清數的方向，就會有不同的可能；觀察的角度不同也會帶來爭議；從而引發學生用一致的標準表示位置的需要，自然而然地生發出學習新的確定位置規則的需求。學生通過自學，了解到數學中對于“行”和“列”的規定，明確了需要用一對數（數對）才能表示出二維平面上某個物體的位置，如在教室里，淘氣坐在第2列第4行，用數對表示是（2，4）。教師請學生用數對重新表示自己好朋友的位置，再請學生來猜。這樣前后兩次游戲活動的對比，使學生進一步感受到用數對確定位置的意義和價值。此時，教師并沒有停止引導學生探索的腳步，而是借助多媒體課件，引發學生思考，“在平面上，我們是用一對數，也就是數對表示某個物體的位置，如果平面再高一些，變成一個立體圖形，還能用數對表示某個物體的位置嗎？”學生紛紛提出“三維空間中物體的位置該如何表示”的猜想，此時恰當的留白給了學生更多探索的時空，更多自由的體驗。這樣循著“點、線、面、體”的發展脈絡將“確定位置”的知識進行縱向整合，便于學生從更寬闊的視野認識和理解知識體系，使學生的思維得到跨越性的發展。

二、教材內容與教學資源的整合

數學教材是主要的數學教材資源，除此以外，充滿趣味的數學繪本、操作探究的《數學實驗手冊》等都是具有整合價值的優質資源。

（一）教材內容與數學繪本的整合

數學繪本將數學知識巧妙地蘊藏在生動有趣的故事情節中，圖文并茂、貼近兒童，尤其適合中低年級的數學教學。教師將數學繪本與現有的數學教材內容巧妙融合在一起，能順應小學低中段兒童的身心發展特點和認知規律，營造生動活潑的課堂氛圍。

例如，北師大版數學教材二年級上冊“數學好玩”單元中“尋找身體上的數學秘密”一課就有利用身體上的“尺子”估測物體長度的探究活動。測量概念和測量工具是數學中非常重要的知識點，在日常生活中，學生經常會遇到突然要測量什么東西，手邊沒有尺子的情況。這時候，學生用手掌、腳印、步子、胳膊等來測量就是非常實用的方法。教師可將教材中的情境與數學繪本《我家漂亮的尺子》相融合，引導學生閱讀繪本。繪本的主人公是一個活潑可愛的小女孩，媽媽為她做連衣裙，可是怎么也找不到尺子，于是媽媽不用尺子，用了“媽媽手尺”來量，進而介紹了“一拃”的概念。小女孩嘗試像媽媽一樣，也用手尺來量東西，電話機兩拃、椅背三拃，這時她發現用拃來量沙發長度太費勁，便改用腳來測量，沙發的長度是10個腳印，于是“一腳”的概念也知道了。到院子里測量，發現院子太大，用腳來量太費勁，小女孩又把兩腿分開，用步子來量了，一前一后兩個腳印的距離為“一步”。小女孩還想測測庭院中的大樹，大樹有多粗呢？用兩只胳膊緊緊抱住的長度為標準測量就行了，兩只手臂合圍的量叫作“抱”；樹干有多高呢？以兩只手臂伸展開的長度為標準測量就行了，兩只手臂左右平伸時，從一只手的中指端到另一只手的中指端的長度叫作“庹”。通過閱讀繪本，學生不僅了解了身體尺的基本概念，而且激發起濃厚的測量興趣，他們像書中的小女孩那樣用自己的身體尺測量周圍的事物，并能根據實際情況選擇適當的“身體尺”，課桌長6拃，寬4拃；教室長17步，寬12步……就在這樣自主體驗的學習活動中，學生深切地體會到自己身體的神奇之處及具備的數學價值，了解了數學對人們日常生活實踐的貢獻。

（二）教材內容與《實驗手冊》的整合

《實驗手冊》基于數學教材，提煉出適合學生操作探究的實驗主題，通過動手動腦相結合的數學實驗活動，豐富學生的認知經歷，在數學知識“再創造”與“再發現”的過程中，親身體驗數學，親近數學，理解數學?！秾嶒炇謨浴返某B化使用，最有效的方法就是尋找與數學教材的結合點，將其作為片段融入數學教材的內容設計，彌補教材的思維缺失。

例如，北師大版數學教材六年級上冊“百分數的認識”一課，課前經過調查發現，大多數學生在生活中或多或少都接觸過百分數，知道百分數用途十分廣泛，衣食住行各個領域都有百分數的身影。雖然學生對百分數并不陌生，但對百分數的意義并不清晰，因此這節課上探究百分數的意義是教學重點。為了激發學生的探究興趣，教師借助多媒體課件將原有的教材情境調整為學生更感興趣的“姚明投籃”的情境。課件出示姚明三場比賽投籃情況的統計表，請學生比較姚明哪場比賽中的表現最優秀，在學生發現原有知識結構中的各種比較方案行不通后，逐漸思考出更趨理想的比較方案，即比較每場比賽投籃的命中率（投中次數占投籃次數的幾分之幾）。學生獨立試算投籃命中率，再通分成分母是100的分數，從而自然引出了百分數，并嘗試概括出了姚明三場比賽投中的比率“64%、65%和60%”這三個百分數表示的具體意義，即表示投中次數是投籃次數的百分之幾。隨后，教師將六年級上冊《實驗手冊》中“奇妙百分率”的實驗情境融入教學環節，“小明和小華進行投籃比賽，每人都投40個球。比賽經過了兩個階段，第一階段小明投籃的命中率為60%，小華投籃的命中率為50%；第二階段小明投籃的命中率為92%，小華投籃的命中率為90.625%?！闭垖W生預測誰投籃的命中率高，并說說預測的理由。大多數學生利用自己的直覺進行判斷，認為“小明兩階段投籃的命中率都比小華高，所以小明最終的投籃命中率一定比小華高”。接著，教師課件出示小明和小華兩階段投籃比賽的相關數據，引導學生進行計算與驗證，將兩階段合起來，分別求出小明和小華投籃的總命中率。學生發現，雖然小華兩階段投籃的命中率都比小明低，但是總的投籃命中率卻超過了小明。學生通過實驗，不僅進一步理解了百分數的含義，增強了數據分析觀念，而且體會到直覺有時并不可靠，還需要通過實際驗證來加以證明，增強了數學實證的意識。只有將直覺思維與邏輯思維結合起來，才能更好地促進思維能力的發展。

三、跨學科教學內容的整合

跨學科整合，即多元學科整合。在數學教學過程中，探尋數學學科與其他學科的知識聯系點并充分挖掘利用，將相關學科內容有機整合在一起，組成新的學習內容，能實現多維度的學習目標，提升學生綜合素養。

（一）數學教材內容與科學學科的整合

從學科視角出發，數學與科學具有許多本質聯系。數學和科學都旨在發現客觀世界的模式和關系；數學和科學都與真實的生活情境相聯系，需要數量推理。從課程的視角出發，兩者具有同樣的活動，如科學探究和實際問題解決等；兩者也具有許多重疊的內容，包括平衡、守恒、恒等、測量、模型、模式、可能性、反射、折射、度量、對稱、系統、變量等。兩個學科所具有的共同之處越多，對學生而言越有意義，整合也越有效。根據學生學習的需要，數學與科學教材內容的整合，可打破以往涇渭分明的學科間的界限，將統一的主題、問題、概念、基本學習內容加以融合，使學生在此過程中建立系統的思維方式，體驗知識之間的聯系。

例如，數學綜合實踐課“怎樣滾得遠”就可以和科學中“斜面的作用”進行整合。學生都有這樣的生活經驗，搬運油桶時，搭一個斜坡會省時省力很多。斜面工具是最簡單的機械之一，在日常生活和生產中，人們常常利用斜面來運輸物體，以達到省力的目的。那么，怎樣的情況下才能最大限度地發揮斜面的作用呢？學生首先自主提出想要研究的問題：斜坡與地面成什么角度時，物體會滾得遠一些？圍繞問題教師引導學生分組進行科學系統的實驗，利用實驗數據說話。首先，用木板搭一個斜坡，使斜坡與地面分別呈30°，45°和60°的角度，然后將圓柱形物體放在斜坡的頂上，輕輕松開手，讓物體自動往下滾，等物體停止滾動后，量出它在地面上滾動的距離，每種角度都反復做三次測量，并記錄每次滾動的距離，求出平均數，每個小組還可以自主選擇一個其他的角度再來試試。通過比較實驗數據，學生發現，斜坡與地面角度不同，物體滾動的距離也不同；一開始斜坡與地面的角度變大，物體滾動的距離也就越遠，但當角度呈60°時，物體滾動的距離反而變短了，角度再大一點，物體滾動的距離更短；當斜坡與地面呈45度角時物體滾動得最遠。學生聚焦問題研究，經歷利用科學實驗收集、分析數據，獲得結論的實踐探究過程，體會到實驗對比是研究問題的一種重要方法，體驗到實驗研究的價值和樂趣，培養了嚴謹求實的科學態度。

（二）數學教材內容與信息科技學科的整合

將小學數學教材內容與信息科技教材內容有機整合，就是以數學知識為載體，把信息科技作為工具和手段滲透到數學教學當中，應用信息科技培養學生解決相關問題的綜合能力。學生通過網絡和其他信息手段自主地獲取有價值的信息，學會使用網絡工具和信息手段進行信息的搜集、處理、分析，解決數學實際問題，能有效地培養應用意識和創新能力。

例如，北師大版數學教材六年級上冊“感受黃金比”一課，“黃金分割比”（以下簡稱“黃金比”）是第六單元“比的認識”課后的拓展內容，包含的元素非常豐富，涉及的領域十分廣泛，而學生對“0.618”也并不陌生。教師充分查閱資料發現，網絡中有大量生動鮮活的資源可供學生自主選學，于是將這節課設計成微項目化學習的模式。課上，教師首先引導學生針對“黃金比”提出自己想要了解的問題，學生提出：什么是黃金比？它和我們學過的“比”有什么聯系和區別？為什么叫黃金比？黃金比是誰發現的？在數學中有黃金比嗎？黃金比在生活中有哪些應用等不同方向？帶著這些問題，教師引導學生學習利用網絡檢索工具搜尋、梳理相關信息的方法，請學生在課前先進行自主研究。第二天的課上，學生紛紛帶來了自己的課前研究成果。有的學生將查閱的網絡資料梳理整合打印了下來；有的學生手繪了小報或思維導圖。教師請學生先在組內交流自己的學習收獲，每人選取一個方面。接著，全班進行展示分享，組代表匯報，其他同學適時補充。有的學生用一條簡單直觀的線段就解釋了黃金比的含義；有的學生介紹了古希臘數學家、哲學家畢達哥拉斯發現黃金比的小故事；有的學生揭示了五角星中蘊藏的奧秘——五角星之所以十分美麗，是因為它每條邊上相對應的線段之間的長度關系都符合黃金比；有的學生展示了黃金比在藝術領域、建筑領域、日常生活等方面的應用。學生再深入到數學研究領域，又知道了黃金矩形、黃金螺線、斐波那契數列，越發感受到黃金比的神奇之處，體味到其中蘊含的豐富的美學價值。

總之，在整合數學教材內容的研究過程中，教師要注重積累典型課例，營造適合學生思維發展的課堂環境，要探究指向深度學習的整體性教學設計，引導學生經歷數學問題的完整研究過程，積累可以遷移的數學學習和研究經驗，提升思維品質。

參考文獻：

［1］馬云鵬.深度學習視域下的課堂變革［J］．全球教育展望，2018（10）．

［2］王麗星.我這樣整合數學［M］.上海：華東師范大學出版社，2015.

（責任編輯：楊強）

作者簡介：康倩，江蘇省徐州市九龍湖小學高級教師。

課題項目：本文系徐州市教育科學“十四五”規劃2021年度課題“深度學習視域下小學數學整體性教學的實踐研究”研究成果之一。課題編號：GH14-21-L449。