強化“四基”，著重本質，服務選才
——評析2022 年計數原理高考試題

■河南省許昌市高中數學胡銀偉名師工作室 胡銀偉

2022 年高考數學全國卷計數原理內容的命題,遵循《普通高中數學課程標準(2017年版,2020 年修訂)》的基本要求,貫徹德智體美勞全面發展教育方針,落實立德樹人的根本任務,體現高考改革的總體要求。試題凸顯強化“四基”,著重本質,服務選才等整體特征。

一、強化“四基”、注重本原

2022年高考全國卷中計數原理的命題,注重考查內容全面性的同時,突出對主干、重點內容及“四基”的考查;強化基礎知識、基本概念、基本原理及其之間的內在聯系;對于試題的解答更加注重本原性的方法、思維,強化通性通法的理解及應用,淡化解題的技巧。這些命題特征也都有助于引導同學們形成系統的學科知識體系,注重對數學知識的理解和思維能力的培養,從而夯實基礎。

例1【2022 年新高考全國Ⅱ卷第5題】有甲、乙、丙、丁、戊5 名同學站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有( )。

A.12種 B.24種

C.36種 D.48種

思路點撥:思路一,先利用捆綁法處理丙、丁,再用插空法安排甲;思路二,特殊元素法,可先安排甲,再安排丙、丁,也可先安排丙、丁,再安排甲。

解析:(方法一)先考慮丙和丁相鄰

為使丙和丁相鄰,可以把丙、丁綁定(其中2人位置可以交換)和其余3 名同學進行排列,共有種排法,其中甲站在兩端的排法有種。因此,所有的排列方式有(種)。故選B。

(方法二)先考慮丙和丁相鄰

先把丙丁捆綁,看作一個元素,再連同乙、戊看成三個元素排列,有3! 種排列方式。為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入,有2種插空方式。注意到丙、丁兩人的順序可交換,有2種排列方式。故這5名同學不同的排列方式共有3! ×2×2=24(種)。選B。

(方法三)先考慮甲,再分類討論丙、丁的排列方式

如果甲站在正中間,則丙、丁位置的選取方式有2+2=4(種)。如果甲站在左起第2個位置,丙、丁只能站在甲的右側,則丙、丁的排列方式有2×2=4(種)。如果甲站在左起第4個位置,考慮到對稱性,同上種情況,則丙、丁的排列方式有2×2=4(種)。故甲、丙、丁的排列方式有4+4+4=12(種)。接下來討論乙和戊的排列方式,其排列方式有2種。綜上,所有的排列方式有12×2=24(種)。選B。

(方法四)先安排丙、丁,再安排甲

若丙和丁有一人在兩端,丙和丁的排法有2×2=4(種),再安排甲,甲的排法有2種,最后排乙和戊,其排列方式有2種,故此種分類的排法有4×2×2=16(種)。若丙和丁都不在兩端,則乙和戊必須在兩端,乙和戊的排法有2種,此時甲、丙、丁的排列方式有2×2=4(種),此種分類的排法有4×2=8(種)。

綜上,所有的不同排列方式有16+8=24(種)。選B。

試題評析:本題選取文藝匯演作為生活實踐情境,充分體現高考評價體系突出學生德智體美勞全面發展的要求。本題立足教材、注重基礎,考查兩個基本原理及排列數的計算。本題的解法多樣,準確分類、正確掌握排列數的計算是解題的關鍵。

二、強化“四能”,著重本質

2022年計數原理高考試題,在強化“四基”的同時,著重對“四能”的考查,突出對考生邏輯思維、運算求解及創新思維等數學本質能力的考查,也體現出高考對基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求。

試題評析:本題是對二項展開式中特定項的考查。求二項展開式中的特定項,一般是化簡通項后,令字母的指數符合要求,解出項數k+1,代回通項即可。對于本題中兩個多項式積的展開式中的特定項問題,可結合組合思想進行求解,但要注意適當地運用分類方法,以免重復或遺漏。本題著重考查同學們的邏輯推理、運算求解等關鍵能力,符合高考評價體系對基礎性、應用性、綜合性的考查要求。

三、落實素養,服務選才

2022年計數原理的高考命題,在強化“四基”、“四能”的同時,也體現了高考命題從“知識立意”到“能力立意”,再到“素養導向”,從“解題”到“解決問題”的變化;在深入考查關鍵能力的同時,聚焦學科核心素養,服務高考的選才功能。

例3【2022 年新高考全國Ⅰ卷第5題】從2至8 這7 個整數中隨機取2 個不同的數,則這2個數互質的概率為( )。

思路點撥:由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解。

解析:方法一:從2至8這7個整數中隨機取2個不同的數,取法總數為=21。其中2個數互質的情況為{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},取法總數是14。

因此,從2 至8 這7 個整數中隨機取2個不同的數,這2個數互質的概率為故選D。

方法二:從2至8這7個整數中隨機取2個不同的數,取法總數為=21。

其中2個數互質的情況共14種,分類計數如下:

與2互質的,為7 個數中的奇數,共有3個;

與3互質且大于3的,為4至8中除去3的倍數的數,共有4個;

與4互質且大于4 的,為5 至8 中的奇數,共有2個;

與5 互質且大于5 的,為6 至8,共有3個;

與6互質且大于6的,有1個;與7互質且大于7的,有1個。因此,這2 個數互質的概率為故選D。

若兩數不互質,不同的取法有:(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種。

試題評析:本題以簡單的古典概型問題為依托,既考查考生對互質概念的理解,又考查計數、古典概型的基本計算。從7 個整數中隨機取2 個不同的數的取法總數,既可以用組合數公式計算,也可以直接通過枚舉得到;解題時,同學們需了解互質的含義,并準確枚舉2 個互質的取法總數,做到不重復不遺漏。本題考查同學們邏輯思維能力和運算求解能力,考查大家邏輯推理的學科素養,符合高考對基礎性考查的要求。

例4【2022 年全國甲卷理數第15題】從正方體的8個頂點中任選4個,則這4個點在同一個平面的概率為____。

思路點撥:根據古典概型的概率公式及空間幾何體的知識解答即可。

解析:方法一:從正方體的8個頂點中任選4個,共有=70(種)方法。

若這4個點在同一個平面,有兩種情況:一是這4個點同在正方體的一個表面,共有6種情況;二是這4 個點同在正方體的一個對角面(面對角線與垂直于這個面的兩條平行棱構成的平面),也有6種情況。

若這4 個點在同一個平面,當且僅當4個點構成正方體的2條平行棱。正方體相互平行的2條棱共有(組),故有18個平面,但正方體每個表面上2 組平行的對棱構成一個平面,這樣有6個平面重復計數。

試題評析:本題是以同學們熟悉的正方體和古典概型為背景設計問題,大家可通過空間想象和相關的概率知識求解;本題注重對基礎知識的理解與靈活運用,考查同學們的邏輯思維能力和空間想象能力。

本題能夠給大家廣闊的思考空間、更多的思考角度及基于自己認知水平的發現和探索解題的方法,符合高考對基礎性、綜合性的考查要求。

以上的命題特征都有利于同學們學科核心素養的養成,也有利于高考選拔功能的落實。

真題演練:

1.【2022年北京卷第8題】若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,則a0+a2+a4=( )。

A.40 B.41

C.-40 D.-41

答案:B

解析:令x=1,則a4+a3+a2+a1+a0=1。

令x=-1,則a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81。

2.【2022年浙江卷第12題】已知多項式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a2=____,a1+a2+a3+a4+a5=____。

答案:8 -2

解析:含x2的項為:

故a2=8。

令x=0,則a0=2。

令x=1,則0=a0+a1+a2+a3+a4+a5,故a1+a2+a3+a4+a5=-2。

答案:15