一種解法破解10 個變式
——“隔板法”在解題中的應用

■河北省南宮中學 霍忠林

排列組合中的分組分配問題,是排列組合中的難點,其中涉及名額分配或相同元素的分配問題,適宜采用隔板法。下面通過一道例題和10個變式來說明“隔板法”在解題中的應用。

例題:將7個名額分給甲、乙、丙3個班,要求每個班至少一個名額,一共有多少種分配方法?

解析:本題可以看作7 個名額之間有6個空隙,要分給3個班,因此只需要在6個空隙中任選2個空隙分別插入1個隔板,從而得到=15(種)分法。

評注:名額分配問題中的“分配對象至少有一個名額”是“隔板法”中最經典的類型,很多“隔板法”的問題均可轉化為此類問題來處理。本題一般化的模型是:將n個相同元素分給m個不同對象(n≥m),每個對象至少有一個元素,則共有種分配方法。

變式1:將7 個名額分給甲、乙、丙3 個班,一共有多少種分配方法?

解析:本題與例題的區別在于個別班級的名額可以為0,也就是說每個班級名額“至少0個”,此時可以假設先向每個班級“借”1個名額,這樣就保證了每個班級至少1個名額,從而將問題轉化為“將10個名額分給甲、乙、丙3個班,要求每個班至少1個名額,一共有多少種分配方法”,因此共有=36(種)分配方法。

評注:本題一般化的模型是:將n個相同元素分給m個不同對象(n≥m),則共有種分配方法。

變式2:將7 個名額分給甲、乙、丙3 個班,要求甲班至少3 個,乙班至少2 個,丙班至少1個,一共有多少種分配方法?

解析:本題可以先給甲班2個名額,乙班1個名額,從而將問題轉化為“將剩下的4個名額分給3個班級,要求每個班級至少1 個名額,一共有多少種分配方法”,因此共有=3(種)分配方法。

評注:當分配對象中出現“至少有n個名額”時,可以先給該對象n-1個名額,從而將問題轉化為每個分配對象至少有1個名額的問題來處理。

變式3:求方程x1+x2+x3=10的正整數解(x1,x2,x3)的個數。

解析:本題可看作將10 個1 排成一排,中間有9個空隙,在這9個空隙中任選2 個空隙各放入一個隔板。于是該問題就等價于“將10個名額分給甲、乙、丙3 個班,要求每個班至少1 個名額,一共有多少種分配方法”,這樣就符合隔板法的使用條件了。容易得到共有=36(個)正整數解。

評注:求不定方程的正整數解的個數問題時,常用“隔板法”來處理。本題一般化的模型是:方程x1+x2+…+xm=n(n≥m)的正整數解(x1,x2,…,xm)的個數為。

變式4:求方程x1+x2+x3=10的非負整數解(x1,x2,x3)的個數。

解析:令y1=x1+1,y2=x2+1,y3=x3+1,則問題轉化為(y1-1)+(y2-1)+(y3-1)=10,即“求方程y1+y2+y3=13的正整數解的個數”,這樣就轉化為變式3的問題了,容易得到共有=66(個)解。

評注:本題通過y1=x1+1,y2=x2+1,y3=x3+1 的轉化,將問題轉化為分配對象“至少有一個”的問題來處理。本題一般化模型是:方程x1+x2+…+xm=n的非負整數解(x1,x2,…,xm)的個數為。

變式5:求方程x1+x2+x3=10的正整數解(x1,x2,x3)的個數,其中x1≥1,x2≥2,x3≥3。

解析:令y1=x1,y2=x2-1,y3=x3-2,則問題轉化為y1+(y2+1)+(y3+2)=10。即“求方程y1+y2+y3=7 的正整數解的個數”,這樣就轉化為變式3 的問題了,容易得到共有=15(個)解。

變式6:四個正奇數相加,其和為98,求滿足條件的奇數解的個數。

解析:令y1=2k1-1,y2=2k2-1,y3=2k3-1,y4=2k4-1(其中k1、k2、k3、k4均是正整數),則問題轉化為(2k1-1)+(2k2-1)+(2k3-1)+(2k4-1)=98,即“方程組k1+k2+k3+k4=51的正整數解的個數”。由隔板法容易得到共有=19 600(個)解。

評注:本題通過將正奇數改寫為“y1=2k1-1,y2=2k2-1,y3=2k3-1,y4=2k4-1(其中k1、k2、k3、k4均 是正 整數)”,從而將問題轉化為變式3來處理。

變式7:四個正偶數相加,其和為96,求滿足條件的偶數解的個數。

解析:令y1=2k1,y2=2k2,y3=2k3,y4=2k4(其中k1、k2、k3、k4均是正整數),則問題轉化為2k1+2k2+2k3+2k4=96,即“方程組k1+k2+k3+k4=48 的正整數解個數問題”,由隔板法容易得到共有=16 215(個)解。

評注:本題通過將正偶數改寫為“y1=2k1,y2=2k2,y3=2k3,y4=2k4(其中k1、k2、k3、k4均是正整數)”,從而將問題轉化為分配對象“至少有一個”的問題來處理。

變式8:如果從數1,2,3,…,14中按小到大的順序取出a1,a2,a3,使同時滿足a2-a1≥3,a3-a2≥3,那么所有符合上述要求的不同取法有_____種。

解析:由題意知a1≥1,a2-a1≥3,a3-a2≥3,14-a3≥0。

令x1=a1,x2=a2-a1,x3=a3-a2,x4=14-a3,則問題轉化為“求x1+x2+x3+x4=14(其中x1≥1,x2≥3,x3≥3,x4≥0)的解(x1,x2,x3,x4)的個數”。

再令y1=x1,y2=x2-2,y3=x3-2,y4=x4+1,則問題又轉化為y1+(y2+2)+(y3+2)+(y4-1)=14,即“求y1+y2+y3+y4=11的正整數解(y1,y2,y3,y4)的個數”。由隔板法容易得到共有=120(種)取法。

評注:本題通過兩次轉化,將原問題化歸為分配對象“至少有一個”的問題來處理。

變式9:將(x+y+z)10展開,并進行化簡合并,其結果有多少項?

解析:由二項式展開式的性質易得,展開化簡后的每一項均是kxaybzc的形式,其中a+b+c=10,且a,b,c為非負整數,k為常數。令y1=a+1,y2=b+1,y3=c+1,則問題轉化為(y1-1)+(y2-1)+(y3-1)=10,即“求y1+y2+y3=13 的正整數解(y1,y2,y3)的個數”。

評注:采用類似解法可以得到:將表達式(x+y+z)n展開,并進行化簡合并,其結果有項。

變式10:將表達式(x1+x2+…+xn)k(其中n,k均為正整數)展開,并進行化簡,其結果有多少項?

解析:由展開式的性質易得,展開化簡后的每一項均是的形式,其中a1+a2+…+an=k,且a1,a2,…,an為非負整數,c為常數。

令b1=a1+1,b2=a2+1,…,bn=an+1,則問題轉化為(b1-1)+(b2-1)+…+(bn-1)=k,即“求b1+b2+…+bn=n+k的正整數解(b1,b2,…,bn)的個數”。

特別地,當n=3,k=10時,就是變式9。

通過上述一系列變式不難發現,采用“隔板法”解題時,試題的表征形式雖有多種,但是最終都轉化為“分配對象至少有1個名額”來處理,這種處理策略構思精巧、方法獨特。因此,同學們要認真體會和總結,這樣才可能舉一反三,觸類旁通。