借助多元解題技巧，突破初中數學幾何題解題障礙

王琪瓊

【摘要】數學課程主要由代數與幾何兩大部分構成，前者主要研究數與數之間的關系，做題時以計算為主，后者則主要研究圖形的空間結構及性質，其中初中數學中的幾何知識以學習平面幾何為主，難度雖然不是特別大，但是對學生的空間觀念有著一定的要求，解答幾何題時往往會遇到很多的障礙，教師可指導學生借助多元解題技巧突破幾何題解題障礙.本文針對如何借助多元解題技巧突破初中數學幾何題解題障礙做探討，并羅列部分解題案例.

【關鍵詞】解題技巧；初中數學；幾何

幾何知識屬于初中數學課程的重要構成部分，幾何題在各類考試中也占據著較為關鍵的地位，分值也不少，因為幾何題較為靈活，涉及的知識比較廣泛，邏輯性也較強，不少學生遇到一些有難度的題目時就不知道該如何下手，從而影響學生做題的積極性與繼續學習幾何知識的自信心.初中數學教師在幾何題解題訓練中應傳授給學生一些常用的解題技巧，使其借助技巧能夠快速準確的找到切入點，輔助學生順利突破幾何題的解題障礙，增強學習幾何的自信心.

1 合理利用代數法突破幾何題解題障礙

代數同幾何一樣均屬于數學知識范疇，是數學課程體系的兩大構成部分，在初中數學幾何題解題教學中，學生需樹立“大數學”觀，除利用幾何方面的知識以外，還要學會合理利用代數知識去解答幾何試題，讓學生突破幾何題的解題障礙.具體來說，初中數學教師可以指導學生將一些特殊的幾何題轉變成代數問題，由此展開計算、推理或者證明，使其創新思維得到很好的培養，增進幾何同代數之間的聯系，并有效提升學生的整體數學解題能力[1].

例1 如圖1所示，已知等邊三角形ABC，其中點D，E，F分別位于邊BC，CA，AB上，請證明三角形DEF的周長不小于三角形ABC周長的二分之一.

解析 本幾何題所要證明的結論較為特殊，是兩個三角形周長之間的關系，純粹利用幾何知識證明起來難度較大，步驟復雜，很難把結論證明出來，不少學生甚至無處下手，難以找到證明的出發點，往往半途而廢，這時教師可以提醒學生使用代數知識，根據題目內容聯系到不等式，使其據此展開推理與證明.

具體解題技巧如下：設等邊三角形ABC的邊長為a，AF=x，BD=y，CE=z，

2 巧妙添加輔助線突破幾何題解題障礙

輔助線作為初中數學幾何題中的一個關鍵解題因素，學會添加與應用輔助線是每位學生都需要掌握的技能之一，這是除掌握常見題型解題方法以外應關注的一個重要問題，當部分幾何題無法直接解出或者遇到瓶頸時，學生通過添加合適的輔助線往往能夠產生豁然開朗的感覺.對此，初中數學教師在幾何題解題訓練中，應當指導學生根據實際情況在原圖上巧妙添加輔助線，借此降低題目的難度，使其快速找到解題的切入點，讓學生突破難題障礙[2].

解析 學生通過對題目內容的閱讀與圖形的觀察和分析后發現，無法直接求出這兩條線段在這種形式下的值，這時教師可要求學生認真觀察與研究圖形，嘗試畫出輔助線，將題設中的兩條線段通過轉化整合至一條線段之中，以此降低本道題目的難度，使其輕松求出最小值的大小.

具體解題技巧如下：由于∠C是直角，AC的值是1，

3 運用逆向思維法突破幾何題解題障礙

針對初中數學幾何題教學來說，證明題是一種十分常見的題型，處理這類題目時對學生的推理能力有著較高的要求，不過有些題目從正向思維視角進行證明時難度較大，或者比較復雜、步驟較多，這時教師可以提醒學生基于逆向思維視角切入，使其輕松證明結論.因此，初中數學教師在幾何證明題解題訓練中，應指引學生學會對問題進行逆向思考，從題干中要證明的結論展開，如果發現結果同命題之間相互矛盾，這就說明結論是不成立的[3].

例3 如圖3所示，在圓O中有AB與CD兩條弦，且這兩條弦均不是直徑，請證明弦AB和弦CD不能相互平分.

解析 針對這樣的幾何證明題，學生短時間內很難找到正確的證明方法，便可以嘗試使用逆向思維的方式進行證明假設這兩條圓內的非直徑弦能夠相互平分，再推理與求證，找出同某些定理存在沖突，由此將題設給證明出來.

具體解題技巧如下：設弦AB和弦CD相交于點P，把OP連接起來，假設弦AB和弦CD能夠相互平分，那么AP與BP、CP與DP均是相等關系，又因為弦AB和弦CD是圓O內兩條非直徑的弦，所以OP與AB、OP與CD均是垂直關系，這明顯同“過一點有且只有一條直線同已知直線垂直”這一定理相沖突，故假設不成立，所以說弦AB和弦CD是不能相互平分的.

4 科學使用平移法突破幾何題解題障礙

平移法是處理幾何試題的一個常用方法，根據需要，平移的對象可以是整個圖形、圓、角、直線與線段等，平移只能夠改變圖形的位置，不會改變圖形的形狀與大小，而且平移前后的線段平行，對應點連線平行且相等，對應角的兩邊分別平行且方向一致，這一性質在解題中起著重要作用.當幾何題目中出現相互平行且相等的線段，或所求問題并沒有在同一個圖形內時，初中數學教師可以引領學生科學使用平移法，使其通過平行的某些要素解題[4].

例4 如圖4所示，在一個四邊形ABCD中，AB與CD是相等關系，AD與BC是平行關系，且AD的長度比BC小，那么∠B和∠C之間有著什么樣的關系？

解析 學生對圖形進行認真觀察以后能夠發現，∠B和∠C距離較遠，很難直接判斷出它們之間的大小關系，而且根據題干中提供的已知信息與條件難以進行計算，無法準確判定兩者的關系，此時教師可以指引學生使用平移法，通過將邊AB平移，再結合平行與三角形相關知識進行解題.

具體解題技巧如下：由于AB與CD是相等關系，AD與BC是平行關系，AD的長度比BC小，那么可以把邊AB平移至圖中DE的位置，有AB平行且等于DE，DE與CD是相等關系，再根據“兩直線平行，同位角相等”得到∠B=∠DEC，則三角形DEC是一個等腰三角形，由此得到∠DEC=∠C，即為∠B=∠C，也就說∠B和∠C是相等關系.

5 精準應用建系法突破幾何題解題障礙

初中生已經對平面直角坐標系相關知識有所接觸與學習，再加上對點、線相關公式的掌握，學生具備在平面直角坐標系中處理問題的知識基礎與能力.對于初中數學幾何題教學而言，當純粹使用幾何知識與方法很難求解時，教師可以引導學生精準應用建系法嘗試解題，結合題目中給出的信息與條件建構出相應的平面直角坐標系，使其結合點的坐標把幾何問題轉變成坐標進行計算與解答，由此降低幾何題的難度，促使學生快速、準確地求得答案[5].

例5 如圖5所示，正方形ABCD的邊長是2，正方形CGEF的邊長是3，其中點B，C，G位于同一條直線上，點M是AE的中點，連接MF，那么MF的值是多少？

解析 ?通過對題意的分析發現僅僅依靠簡單的計算無法解答這一幾何題，而在原圖上建立平面直角坐標系則能夠快速求解，當建立好平面直角坐標系以后，只需求點M的坐標，再利用已知點F的坐標，就能夠求出MF的長度，而且點M是AE的中點，所以知道A，E兩點的坐標就能夠求出M點的坐標.

具體解題技巧如下：根據題意，以點C為原點，BC為x軸，CF為y軸，建立如圖6所示的平面直角坐標系，能夠得到點A的坐標是（－2，2），點E的坐標是（3，3），由于點M是AE的中點，

因為點F的坐標是（0，3），

結合兩點間的距離公式能夠得到

6 結語

總而言之，在初中數學解題訓練活動中，教師要格外關注幾何題的設計與練習，以幫助學生掌握扎實的理論知識為前提，注重同代數知識之間的聯系，精心設計幾何專題訓練，要求學生以認真閱讀題目內容、仔細審題為基本出發點，根據具體題目靈活運用代數法、輔助線、逆向思維、平移法與建系法等多元解題技巧突破解題障礙，不斷提高學生的幾何解題水平.

參考文獻：

[1]張海霞.初中幾何題的解題思路分析[J].數理天地（初中版），2022（22）：31-32.

[2]李芳.輔助線在初中幾何解題中的應用[J].數理天地（初中版），2022（08）：2-3.

[3]楊靜靜.綜合法和解析法在初中幾何解題中的應用探討[J].數理化解題研究，2021（17）：28-29.

[4]朱小平.初中幾何解題教學的“破”與“立”[J].湖北教育（教育教學），2021（05）：72-74.

[5]雷春霞.圖形分析法在初中幾何解題中的應用策略探究[J].考試周刊，2021（33）：49-50.