新課標背景下數學圖示作業設計探究

蔡燕清　蔡鳳梅

摘要：圖示指的是用圖形來表示或說明數學概念、方法、過程等。圖示作業是教師引導學生利用實物、圖形、圖表、影像等來詮釋數學世界的一種作業，它可使學生降低依賴文字通道的認知負荷，加速思維的發生，利用直觀手段把數學思維引向深度和廣度。圖示作業可以從工具圖示、文化圖示、分層圖示三個角度優化設計，從中實現新課標要求的教學質量評價目標。

關鍵詞：圖示作業；新課標；第三學段

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）指出，根據學生的年齡特征，評價結果的呈現應采用定性與定量相結合的方式，關注每一名學生的學習過程。第二、第三學段可以采用描述性評價和等級評價相結合的方式。評價結果的呈現應更多地關注學生的進步，關注學生已有的學業水平與提升空間，為后續的教學提供參考。評價結果的運用應有利于增強學生學習數學的自信心，提高學生學習數學的興趣，使學生養成良好的學習習慣，促進學生核心素養的發展。基于新課標的要求，在第三學段中，筆者嘗試圖示作業設計，引導學生將思維過程圖示化，既關注學生基礎知識和基本技能的獲得，又發展學生的數學思維，將學生從繁重的作業中解放出來，回歸快樂的學習本源，促進綜合素養的提升和自我個性的實現。

一、工具圖示作業，讓知識從表象走向深入

工具圖示作業指的是教師根據考查知識特點，充分挖掘數學工具圖（點子圖、方格圖等）之間的密切聯系，進而設計的一種具有延展性的作業。數學學科的發展過程表明，從抽象的數學結論中往往能找到相對直觀的表征和解釋。很多數學內容和數學概念都既有“數的特征”，又有“形的特征”，為此，教師要明晰一些重要圖形工具的用途，如可以用方格圖、點子圖、笛卡爾坐標圖等圖形工具，尋找圖形之間的聯系，讓學生不斷運用工具圖解讀問題，探究知識，理解知識的本質意義，使學生對數學知識的認知由表象走向深入。

例如，在教學“求不規則圖形的面積”一課時，筆者在多年實踐中有這樣的經驗：學生借助方格紙估計不規則圖形的面積，完成作業的正確率較低。在通過割補法和添補法，利用轉化的思想把它轉化成學過的幾個基本圖形，然后根據面積和及面積差求出不規則圖形的面積時，學生對分割成哪幾個已學過的基本圖形感到困惑。為此，筆者嘗試設計工具圖示作業。

第1題，圖1中每個小正方形的邊長是1分米，請你算出陰影部分的面積是多少平方分米？第2題，圖2中相鄰格點圍成的最小正方形的面積是1平方厘米，這個多邊形的面積是多少平方厘米？第3題，思考：經過圖1和圖2的面積計算，你能否找到它們之間的聯系？利用第2題得到的規律再去解決第1題，感受一下數學抽象的魅力。此處用“割補法”就有一定的困難，圖1中因為在割補出基本圖形的底長時出現不滿一個的邊長，部分學生就用添補法，用正方形的面積分別減去4個三角形的面積和2個梯形的面積：4×4-1×3÷2-1×2÷2-1×2÷2-1×2÷2-（3+1）×1÷2-（1+2）×2÷2=6.5（平方分米）。為了繼續挖掘圖與數的聯系，教師可讓學生在圖2中繼續探究其蘊含的數的規律。學生用 “割補法” 很快求出不規則圖形的面積是7.5平方厘米后，教師追問：根據你用割補法求出的面積，觀察這幅點子圖，你能否發現不規則圖形的面積跟正方形點陣圖中格點的關系？學生通過觀察，積極思考，得出：4+9÷2-1=7.5（平方厘米），與剛才的割補法求出的結果是一樣的，進而歸納推理得出不規則圖形的面積=區域內部的格點數+區域邊界上的格點數的一半-1。第3題讓學生利用規律去解決圖1的問題，學生得到：陰影部分的面積=4+7÷2-1=6.5（平方分米）。學生驚奇地發現，原來求不規則物體的體積能轉化成數格點數。

這樣的探究式圖示作業設計，需要教師熟悉各種工具圖之間的聯系，研究它們之間的必然聯系，使知識的學習更加全面而富有探究性。

二、文字化圖示作業，讓知識從空洞走向生動

文字化圖示作業，指的是以數學文化名題為載體，讓學生展開想象，找到與其匹配的最佳圖形來解決問題的趣味性作業。著名數學家柯郎在其論著的《數學是什么》中指出：“數學教育的傳統地位陷入嚴重的危機，數學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練。”為了讓數學走出孤立主義的陰影，教師在設計 數學作業時可以挖掘數學文化名題，結合圖示進行設計。這樣設計，會讓數學作業妙不可言，學生會用圖示表征數學文化，通過感性思維與理性思維互換，培養嚴謹的素質，追求創新精神，欣賞數學之美。

例如，教學“梯形的面積”一課時，教師可設計如下的圖示作業：《張丘建算經》是我國南北朝時期數學家張丘建所著，它豐富了我國古典數學理論體系。書中有一道題：“今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何？”意思是：第1日織布5尺，以后每日依次減少， 最后1日織布1尺，一共織了30天，一共織了多少平方尺布？你能利用今天學習的內容，通過畫一畫，把這道古代數學趣題轉化成圖形來解答嗎？

教師引導學生把純文字的數學名題轉譯成幾何圖形的圖示作業，給學生指引思考的方向：畫什么圖形，怎么畫才既能與這道名題的意思相吻合，又能直觀解決問題？因為學生剛學完梯形的面積，其思維馬上會遷移到梯形上來，他們會盡力想辦法把文字名題轉譯成一個圖形題（見圖3）。根據梯形的面積公式（上底+下底）×高÷2，學生很快就能算出： （5+1）×30÷2=90（平方尺）。教師可以順勢引導學生繼續思考：如何用其他幾何圖形來解答此題（見圖4）？學生先畫第一天的一段表示5尺，接著，在后面畫第30天一小段表示1尺；如此循環畫第二天的4尺和第29天的2尺，就會畫出一個長（5+1=6）尺，寬是（30÷2=15）的長方形。最后，根據長方形的面積=長×寬，算出結果也是90平方尺，這也可以為初中等差數列的學習做好鋪墊。

新課標背景下，教師可以把圖示作業與數學史相結合，展現知識的和諧、方法的巧妙、探究的樂趣、文化的魅力、能力的提升，彰顯以德育人的功效。這樣，既能使學生鞏固梯形的面積應用能力，又能加強數學閱讀能力，還能使學生走進經典數學名題，體驗古今數學的對話，感悟豐厚的數學文化內涵。伴隨著先進的數學文化，數學教學會變得有血有肉。

這樣的作業設計要求教師不僅要對數學史作出宏觀的歷史考查，還要在微觀的數學概念、數學方法、數學思想中揭示數學文化底蘊，把數學文化的魅力真正融入作業。這樣，數學作業就會更加“平易近人”，就會通過文化層面讓學生進一步理解數學，從而喜歡上數學作業，進而熱愛數學。

三、分層圖示作業，讓作業從共性走向個性

經驗圖示作業要以生活為原型，引導學生用數學的眼光觀察生活，從生活中尋找數學靈感啟迪來構造數學對象，發現構筑數學作品，從而拓展學生的思維。教師要思考圖示作業所蘊含的數學意義和學習價值，貼切地、精準地指向概念本質，揭示概念的內涵，促進每個學生的數學理解。教師要針對不同學生的學習特點，深入分析教材內容，挖掘其背后的價值。為此，教師要思考如何設計分層圖示作業，可以結合考查的知識，以多種圖示如實物、情境模型、圖形等逐級呈現，實施彈性作業設計。

例如，教學“圓柱的表面積”一課之后，為建構圓柱的表面積和圓柱的認識的知識脈絡，教師可這樣設計分層圖示作業。

（一）手切實物，提高興趣

教師可布置這樣的課后作業：拿一根圓柱體的白蘿卜切一切，同時將截面涂上顏色，彩印在紙上或將截面覆蓋在紙上，描畫出截面的平面圖形，完成下面表格的填寫。

學生在切的過程中可以直觀地看到截面的形狀，同時也可以直觀地發現“切一刀增加兩個完全一樣的截面”。學生在彩印或描畫截面時能清楚地知道“不同的切法，產生的截面不同”，如沿著平行底面切，截面是圓形的；沿著底面直徑切，增加的截面是長方形的；不平行于底面而是斜著切，截面是橢圓形的；隨意切截面是弓形的……這樣的實物操作的圖示作業，滿足了學生的好奇心，提高了他們做作業的興趣，使他們在玩中愉快地學習。

（二）手連圖形，直觀感知

教師可設計如下作業：如下頁圖5，將不同的圓柱切成兩部分，切開后的截面各是什么形狀？請連一連。

學生從上一題的實物圖，抽象到本題的幾何圖形，通過想象，進一步深刻認識到圓柱體是通過切割產生圖形的，感受到“圓柱體中實物和圖形相聯系”的道理。同時，通過連線，學生明白了：同一個圓柱被截后的截面形狀與所截角度有關，角度不同，截面形狀也會隨之變化。這樣，有利于學生圖形的表象積累和空間想象能力的發展。

（三）實際運用，靈活解題

教師可設計如下作業：一根圓柱體木料的底面半徑是0.3米，長是2米。如圖6所示，將它截成4段，這些木料的表面積比原來木料的表面積增加了多少平方米？

此題的設計目的是利用直觀圖讓學生觀察，學生能直接看到多出6個底面。同時，學生根據此圖，聯想到五年級時所學的“植樹問題”的模型，發現截成4段需要截3次，每次多2個底面。根據植樹問題模型，學生可以順勢延伸總結規律：如果截成n段，多的截面個數是2（n-1）個。這樣，既培養了學生靈活解決實際問題的能力，又兼顧了與其他知識的整合，同時幫助學生建立起模型思想。

（四）課外延伸，發散思維

教師可設計如下作業：明明過生日，媽媽給他買了一個圓柱形蛋糕，蛋糕直徑是40厘米，他沿蛋糕直徑按十字形縱切（見圖7），表面積增加了2400平方厘米 ，愛思考的你能幫明明算出這個蛋糕的高度是多少嗎？（請從不同角度思考，用兩種方法解答）這樣的解題要求激發了學生思考的欲望，學生通過想象得出，第一種解法沿蛋糕直徑按十字形縱切，切兩刀增加4個面，這4個面是長方形，它的長是底面直徑40厘米，寬是圓柱的高，就能輕松得出高是2400÷4÷40=15厘米；學生通過生活經驗和觀察圖形，發現增加8個面，這8個面也是長方形，只不過它的長相當于圓柱的底面半徑，寬還是相當于圓柱的高。第二種解法應運而生：2400÷8÷（40÷2）=15厘米。教師滲透這樣多種方法的比較，讓學生再次感受：不同的思考角度，就有不同的解法。這樣，培養了學生解題的靈活性，發散了學生的思維。

學生經過手切、彩印、描畫、連線、想象、運用等這一系列層層遞進圖示作業的訓練，多重體驗，逐步感悟，建立面與體的聯系，在二維和三維之間尋找關系，深化了對圓柱表面積的理解，發展了空間觀念。

綜上所述，在新課標背景下，圖示作業設計應以學生為主體，以尊重學生的個性差異為宗旨，充分挖掘教材資源、生活資源、數學文化、圖表資源等的潛在功能，設計有探究性、層次性、思考性、創新性的習題。這樣既鞏固學生的知識、提高技能，又訓練學生的思維，從而激發學生學習數學的興趣，培養學生的核心素養。

參考文獻：

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［2］劉焱南，于鶴丹，在高等數學課程中實施數學專題講座的實踐思考［J］.教書育人，2013（12）.