基于專題研究課發展代數推理能力*
——以“5.4二次函數與一元二次方程(1)”為例

陳 卓

? 南京師范大學附屬中學江寧分校

從推理類型來看,初中階段的推理有幾何推理和代數推理．代數推理側重數和式或數量關系的變形及轉換,相對比較抽象,代數推理是學生數學思維向更高層次發展的必備能力,教材也提供了豐富的代數推理素材,因此很有必要在初中階段點面結合、系統推進,逐步滲透代數推理.通過課題組研究發現,在函數教學中滲透代數思維培養學生推理能力非常有意義.筆者執教了義務教育蘇科版數學教材九年級下冊第五章第4節“二次函數與一元二次方程”的專題研究課,借此談一談學生代數推理能力的培養問題.

1 代數推理視角下的內容分析

1.1 挖掘內容中的推理資源

教材從“函數值何時為0”著手,探索二次函數與一元二次方程的關系,通過函數圖象揭示一元二次方程解的幾何意義.以“特殊—一般”“具體—抽象”的路徑逐步推進,通過“數”和“形”的對比感受函數與方程之間的聯系,這樣的設計符合學生認知規律,也符合問題探究的一般規律.結合教材,在問題情境導入上,以學生熟悉的命題為切入口:(1)解一元一次方程x+1=0;(2)畫一次函數y=x+1的圖象;(3)說x+1=0與y=x+1的聯系.仿照以往幾何推理的經驗進行說理,這樣就使解方程中演繹推理格式的得出更加自然,模仿“∵……,∴……”,依據寫在結論后面括號里的方式去表達x+1=0與y=x+1之間的聯系.這樣可以有效促進學生理解函數和方程內容中演繹推理的表征,培養學生代數推理能力.

1.2 關于教學目標的落實

探索并獲得二次函數的圖象與x軸的三種位置關系和一元二次方程根的三種情況的對應關系是本節課的教學重點,在教學過程中,學生通過“思考—探索—嘗試—歸納”,自主參與知識的發生、發展和形成過程,深刻理解轉化思想和數形結合思想,發展學生的推理能力.同時,使學生真正成為學習的主體,從“被動學會”變成“主動會學”.

2 教學實踐

2.1 溫故知新

(1)解一元一次方程x+1=0.

(2)畫一次函數y=x+1的圖象,并指出函數y=x+1的圖象與x軸有幾個交點.

(3)一元一次方程x+1=0與一次函數y=x+1有什么聯系?

設計意圖：讓學生通過對新知識的思考,梳理舊知識,起到承上啟下之效,同時,培養學生“一以貫之”的數學思維品質.從“數”的角度,方程的根是使函數值為0的自變量的值;從“形”的角度,方程的根是函數圖象與x軸公共點的橫坐標.仿照以往幾何推理的經驗進行說理,促使學生理解函數和方程內容中演繹推理的表征．

2.2 探索活動

活動1：畫出二次函數y=x2-2x-3的圖象,解決下列問題.

(1)y=x2-2x-3的圖象與x軸有公共點嗎?如果有,求出公共點的橫坐標.

(2)當x取問題(1)中公共點的橫坐標時,相應的函數值分別是什么?

(3)從關系式來看,二次函數y=x2-2x-3成為一元二次方程x2-2x-3=0的條件是什么?

(4)結合二次函數的圖象,直接說出x2-2x-3=0的根.

設計意圖：從一個特例展開二次函數與一元二次方程關系的研究,讓學生感受研究的過程與前面所學知識的一致,并通過圖象進一步揭示函數與方程之間的關系.用幾何推理的經驗、思維過程的說理,培養代數推理能力.

活動2：任意寫出一個二次函數,仿照剛才的研究自主探索該二次函數與其對應的一元二次方程的關系.

(1)結合多次分析,你能歸納出任意二次函數與其對應的一元二次方程的關系嗎?

(2)結合多次分析,你能歸納出二次函數的圖象與x軸的位置關系中起關鍵作用的要素嗎?

設計意圖：學生通過類比,進一步認識二次函數與對應的一元二次方程的關系,在“二次函數的圖象與x軸的位置關系”和“一元二次方程的根的情況”之間形成演繹推理關系,并在多個例子的基礎上,歸納(這是合情推理)得到一般性的結論.

注意引導學生感受代數推理的必要性和深刻性,并總結“活動2”,形成如圖1所示的板書.

圖1

2.3 例題教學

例題不畫圖象,判斷二次函數y=-x2+5x-8的圖象與x軸是否有公共點.

解：因為一元二次方程-x2+5x-8=0根的判別式b2-4ac=52-4×(-1)×(-8)=-7<0,所以方程-x2+5x-8=0沒有實數根.

故二次函數y=-x2+5x-8的圖象與x軸沒有公共點.

設計意圖：進一步理解函數與方程互相轉化的思想,同時通過板書的展示感受推理的過程.

2.4 鞏固練習

(1)方程x2+4x-5=0的根是______,則函數的圖象與x軸交點有______個,其坐標是______.

(2)下列函數的圖象中,與x軸沒有公共點的是( ).

A.y=x2-xB.y=x2-2

C.y=-x2+6x-9 D.y=x2-x+2

(3)已知二次函數y=x2-4x+k+2的圖象與x軸有公共點,求k的取值范圍.

設計意圖：通過鞏固練習加深學生對知識的理解,并根據反饋幫助學生理清思路,尋找解決問題的途徑,從而提高演繹推理能力．

2.5 課堂小結(略)

3 教學思考

3.1 建立“教學活動”與“代數推理”的關聯

通過數學活動,認識到二次函數和一元二次方程之間存在的關系.關注三個層面:一是從學生已有知識去構建二次函數與一元二次方程的關系,在構建聯系的過程中培養代數推理能力;二是從學生既有經驗畫圖推理二次函數與一元二次方程的知識點;三是從課堂操作實踐推理歸納總結難點.在學習二次函數與方程時,強化點的坐標與方程的根的對應關系,幫助學生更好地直觀感受數形結合.

3.2 整體設計“例題示范”與“作業強化”

通過選擇合適的例題進行板書示范和設計有代表性的作業培養代數推理能力.例題教學中,筆者選擇多名學生演板,然后讓學生交流做法,優化過程,糾正錯誤.學生在解決問題的過程中培養了代數推理能力,并且實實在在地感受到了用“數”的方法解決函數問題的優越性.

3.3 “代數推理”與“幾何推理”相互轉換

本節課是搭建抽象概念與具象知識間的橋梁,學生在深入研究y=ax2+bx+c的圖象與方程ax2+bx+c=0的解后,借助表達式間的關系,構建了二次函數和一元二次方程之間的關系,通過對函數和對應的方程的具體研究形成了對二次函數和一元二次方程的認識．

3.4 “合情推理”與“演繹推理”有機結合

本節課,二次函數與對應一元二次方程之間關系的建立是根據師生合作,畫出指定函數圖象,通過觀察、驗證對應一元次二方程推斷得出來的,而且把這個經驗應用到所有的二次函數中,整個過程符合“合情推理”的特征.而利用二次函數與一元二次方程的關系去解決具體問題是一般到特殊的過程,符合“演繹推理”的特征.本節課“合情推理”與“演繹推理”相互影響.在日常教學中,要多設計豐富的數學活動,培養學生的合情推理能力.在例題教學中,要強化規范、嚴謹,培養學生的演繹推理能力.在學習新知時,力求發展這兩種推理能力,這不僅是因為兩種推理方式是相輔相成的,而且有利于學生完整而嚴謹地認識新知.Z