教學要引導學生靈活運用“舊知”理解新知

吳 晶

?江蘇省海安市海陵中學

1 從“同底數冪的乘法(第1課時)”聽課說起

筆者最近參加了學校組織的聽“新教師”(工作三年以內)隨堂課活動,其中有兩位新教師執教了“同底數冪的乘法(第1課時)”,關于兩個同底數冪相乘(am·an)的教學都體現了“完整”的流程,這里的“完整”是指經歷了“特例引路”“回到乘方定義進行證明”“歸納法則”“性質運用”的過程．在練習環節,兩位教師可能覺得教材上的習題不夠全面、難度不大,都增加了三個同底數冪相乘的情形．比如,計算am·an·ap.學生解決這道題也很輕松,直接給出am+n+p的結果．第一位教師追問過學生理由,學生復述“同底數冪相乘,底數不變,指數相加”之后,教師表示了肯定．第二位教師則要求學生進行“過程展開”的證明,于是學生“回到乘方定義進行了證明”,教師給予表揚．

聽課隨感:由于教材上只對兩個同底數冪相乘(am·an)的運算性質進行了歸納和證明,但沒有推廣到三個同底數冪相乘(am·an·ap)的情形.在具體運用時,如果學生直接使用“同底數幕相乘,底數不變,指數相加”進行計算,教師也沒有引導學生進一步辨明其中的細微差別,則并不是很恰當的教學處理.第二位教師引導學生“回到乘方定義進行證明”就比較嚴謹,但是還不夠簡明,如果能引導學生運用“兩個同底數冪相乘的運算性質”來解釋“三個同底數冪相乘”的運算,就更有“數學味”了．具體解釋是am·an·ap=am+n·ap=am+n+p,這個運算解釋就是善于運用本課所學,善于化歸轉化．這里教學細節的處理[1]往往是教師基本功的體現,不可小視．以下筆者就圍繞相關話題結合案例進一步筆談自己的看法,與各位同仁交流．

2 借助“新學內容”理解“新知”的教學案例

案例1有理數乘方運算

案例2完全平方公式

運用整式乘法法則證明完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2后,可用類似的方法再證明(a-b)2=a2-2ab+b2．當然,也可直接由(a+b)2=a2+2ab+b2來證明,如(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2,即(a-b)2=a2-2ab+b2．這個思路是視-b為一個整體,將兩個公式“合二為一”,也是一種“多題歸一”的思想．因此,后續計算(a+b+c)2時,也能將其變形,轉化為[(a+b)+c]2,再運用完全平方公式展開進行計算．特別地,將來高中階段學習“二項式定理”時,運用“楊輝三角”展開形如(a-2b)5的式子時,就需要將其變形,轉化為[a+(-2b)]5進行計算．

案例3二次根式的乘除

案例4三角形全等的判定

學習了證明三角形全等的“邊角邊”這一基本事實后,可以借助它來證明“邊邊邊”這一基本事實．如圖1,△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′．求證:△ABC≌△A′B′C′．

圖1

思路分析：如圖2,將△ABC與△A′B′C′拼在一起,使BC與B′C′重合,點A,A′位于BC的兩側,連接AA′．由AB=A′B′,可得∠1=∠2(這一步運用的是“等邊對等角”).同理可得∠3=∠4,從而有∠BAC=∠B′A′C′.再運用“SAS”就可證明△ABC與△A′B′C′全等．

圖2

3 重視引導學生感受新舊知識之間的邏輯聯系

3.1 用舊知引出新知是開課情境的首選方式

眾所周知,數學是一門邏輯連貫、前后一致的學科．雖然新知識、新概念層出不窮,但都是在已有知識、概念的基礎上不斷生長、擴展而來．從數的發展史來看,小學階段從自然數到分數,初中階段引入負數后數系擴充到有理數,出現無理數之后數系再次擴充到實數,都沒有推翻此前數系的運算法則與運算通性,而是在將前面數系中的運算性質統統納入新的數系之中,成為其中的一部分．因此,教師在開展教學前,要充分思考本課時教學內容的生長點在哪兒,然后精心選取舊知作為開課情境,這樣既符合學生的最近發展區,也能讓學生感受到“舊知引出新知”的教學一致性．當然,有些“數學分支”的起始課(如函數單元起始課),不容易找到前續舊知的生長點,那就要充分挖掘教材中選取的生活情境的價值,盡量尊重教材上的數學情境,做好選編或加工轉化,不宜盲目離開教材另選情境,以“用教材教”為借口的“離開教材搞教學”的情形不值得提倡．

3.2 探究新知階段要重視從已有舊知出發

當新學數學對象的定義或相關概念已得出,接下來就是研究這個數學對象的性質或判定．具體探究時,也要引導學生從已有舊知出發．案例1中,為了探究有理數乘方的運算法則,讓學生回到有理數的乘法運算去分析乘方運算結果的規律,特別是乘方運算結果(冪)的符號規律,即需要關注到底數的正負、指數的奇偶性．再比如,研究等腰三角形的性質或判定時,學生要回顧全等三角形的相關知識來解決．又如,研究平行四邊形的性質時,需要綜合平行線的判定與性質、全等三角形、等腰三角形、勾股定理等舊知識．在教學進程中,學生如果探究新知出現困難、思維受阻,教師需要進行必要的點撥或啟發.這時不要急著“就題論題”,可以先組織或引導學生回顧某個數學舊知或基本圖形中蘊含的重要性質,然后再啟發學生“結合剛剛復習的一些舊知,現在大家解題有沒有進展呢?”多進行這樣“元認識”式的啟發與點撥,不但能促進學生自主獲得探究進展,而且示范和傳遞了如何回到舊知探究新知解決問題的思路或方法．

3.3 新知運用階段需要靈活運用新舊知識

新知運用階段主要是訓練本課所學的新知識,但是有些習題常常具有一定的綜合性,解題時需要靈活運用新舊知識．比如,學習圓的垂徑定理之后的例習題及練習題,可能就會用上垂徑定理和勾股定理;又如學習二次函數的圖象和性質之后,有些習題可能會適當綜合應用一次函數的圖象和性質．事實上,進行必要的新、舊知識的綜合,也是發展學生思維靈活性[2]的需要．值得注意的是,新、舊知識是辯證的,有時在同一節課中,某個新學知識可以成為后學新知的舊知識,上文給出的案例2～4都說明了這一點．從這個角度來看目前教材上的有些編排,教師可以進行更多的“學材再建構”的專業處理,比如上文“案例4”提到的三角形全等“邊角邊”的證明;又如平行線分線段成比例(教材上給出的是“基本事實”,只是畫圖驗證了其正確性,但并不安排學生證明)的證明,可以先證明平行線等分線段的結論(作為“引理”),然后再借助“引理”去證明平行線分線段成比例的基本事實．