大概念視角下運算本質(zhì)一致性教學(xué)探索
——以“小數(shù)乘整數(shù)”為例

蘇州大學(xué)附屬吳江學(xué)校 （215006） 顧 健

淮陰師范學(xué)院 （223300） 任建波

【課前思考】

“小數(shù)乘整數(shù)”是蘇教版教材五年級上冊第五單元第一課時的教學(xué)內(nèi)容，以往的教學(xué)目標(biāo)是“學(xué)生能憑借整數(shù)乘法的計算方法或運用積的變化規(guī)律計算出結(jié)果，進一步可以總結(jié)出小數(shù)與整數(shù)乘法之間的關(guān)系”。在深入學(xué)習(xí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》的相關(guān)課程理念與教學(xué)建議后發(fā)現(xiàn)，以往教學(xué)目標(biāo)中追求學(xué)生計算方法的熟練并不能證明學(xué)生對算理已經(jīng)有了通透的理解，指向?qū)W生數(shù)學(xué)運算能力的形成尚有空間。此時，如果獨立地看待這一課時，可以通過“整數(shù)乘法”——“求幾個相同加數(shù)的和的簡便計算”類推到“小數(shù)乘整數(shù)”，但是在教學(xué)“小數(shù)乘小數(shù)”時，比如“0.1×0.2=”，學(xué)生會因為兩個因數(shù)都是小數(shù)而產(chǎn)生認(rèn)知偏差，以致不能準(zhǔn)確理解其得數(shù)0.02是單位細(xì)分的結(jié)果，產(chǎn)生了遷移單一、片面的現(xiàn)象。這限制了學(xué)生知識理解和認(rèn)知發(fā)展的全面性、整體性需要。

大概念不僅僅能夠促進學(xué)生對于知識縱向上的本質(zhì)理解以及橫向上的聯(lián)結(jié)擴展，還能夠發(fā)展學(xué)生自我建構(gòu)與自我進化的能力。從運算教學(xué)角度來看，這個課時既獨立又與前后知識關(guān)聯(lián)，可以看成是基于大概念統(tǒng)攝來形成知識鏈、建構(gòu)知識體系和認(rèn)知體系的“錨點課”。對此，需要思考：如何提煉出屬于這個課時的大概念，并在單元整體視角下將其自然、無痕地融入學(xué)生的遷移性學(xué)習(xí)？進而利用運算意義支撐“算法”的多樣性，使學(xué)生能在不同“算法”的背后探尋其本質(zhì)，大膽構(gòu)建可遷移的路徑。

基于以上思考，筆者對這個課時的教學(xué)做了如下梳理（如圖1）：

圖1

【課堂實踐】

一、激活經(jīng)驗，理解意義

師（出示情境圖，如圖2）：從圖中可以知道哪些數(shù)學(xué)信息？

圖2

生1：夏天時，每千克西瓜0.8 元；冬天時，每千克西瓜2.35元。

師：夏天是西瓜成熟的季節(jié)，購買3 千克西瓜需要多少元？請列算式。

生2：0.8×3。

師：說說列乘法算式的理由。

生3：每千克0.8元，3千克是3個0.8相加，可以列式0.8×3。

生4：根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單價×數(shù)量=總價”。

師：是的，既可以聯(lián)想到整數(shù)乘法的意義——小數(shù)乘法也是求幾個相同加數(shù)的和，也可以聯(lián)系數(shù)量關(guān)系，得出算式。

【設(shè)計意圖】教材的情境設(shè)置貼近學(xué)生日常生活，有利于學(xué)生在真實情境中獲得感悟。學(xué)生對小數(shù)乘法有一定的認(rèn)知經(jīng)驗，這一環(huán)節(jié)主要是溝通整數(shù)乘法與小數(shù)乘法意義之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)量關(guān)系列出乘法算式。這樣既能連接新知與學(xué)生的認(rèn)知起點，也有利于學(xué)生積極、主動地展現(xiàn)思維過程。

二、理解算理，構(gòu)建概念

師：怎么計算0.8×3？

生1：把0.8×3 看成0.8+0.8+0.8，也就是3 個0.8相加，和是2.4。因此0.8×3=2.4。

師（出示圖3）：利用小數(shù)加法和小數(shù)乘法之間的關(guān)系進行推理是個好辦法！

圖3

生2：把0.8元看成8角，這樣就變成了整數(shù)乘法8×3=24（角），再把24角換算成2.4元，所以0.8×3=2.4。

師（出示圖4）：借助已經(jīng)學(xué)過的“元、角”知識，將小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)再進行計算，你真會思考！

圖4

生3：還可以把0.8 擴大10 倍，看成8。我們會計算整數(shù)乘法，想8×3=24，再把得到的結(jié)果24除以10，是2.4，所以0.8×3=2.4。

師（出示圖5）：利用積的變化規(guī)律進行計算，一個因數(shù)乘10，另一個因數(shù)不變，積除以10，得到的積大小不變。比較這兩種計算方法，有什么相同的地方嗎？

圖5

生4：一種是單位換算，另一種是積的變化規(guī)律，它們都是把小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法進行計算。

師：會觀察，善總結(jié)，還有其他方法嗎？

生5：還可以列豎式計算。0.8 是8 個0.1，乘3，得24 個0.1，所以0.8×3=2.4。還可以變豎式為橫式，用乘法分配律。

師（出示圖6）：結(jié)合圖示更方便理解。每個正方形表示1，平均分成10份，每一份是0.1，其中的8份是0.8。0.8×3表示這樣的幾份？是多少呢？

圖6

生6：表示這樣的24份，是24個0.1，就是2.4。

生7：0.8 表示8 個十分之一，乘3 得到24 個十分之一，也就是2.4。

師：這樣看來，可以先算8×3=24，表示這樣的24份，從圖示可以看出，合起來是2.4。豎式計算是有道理的！

師（出示圖7）：這兩種豎式書寫方法，哪一種更合理呢？

圖7

生8：我覺得第②種更合理，在進行加法豎式計算時，要求數(shù)位對齊。

生9：我覺得第①種更合理，在計算整數(shù)乘法時，要末尾對齊。

師：聽著都有道理，這可怎么辦？

生10：我也支持第①種寫法。因為剛才用單位換算、積的變化規(guī)律計算時，都把小數(shù)0.8看成整數(shù)8，再乘3，這樣就看成整數(shù)乘法，所以8 和3對齊。

師：對比研究是個好辦法！加法計算中只有相同數(shù)位對齊才能相加；小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，所以末尾對齊更方便計算。我們習(xí)慣用第①種方式。

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)注重聯(lián)系學(xué)生已有知識，在追問中激活學(xué)生的已有經(jīng)驗，在質(zhì)疑中激發(fā)學(xué)生主動建構(gòu)算法。首先，從小數(shù)乘整數(shù)的意義入手，學(xué)生自然能想到用“連加”解決問題。其次，學(xué)生從單位換算角度將小數(shù)0.8 轉(zhuǎn)換為整數(shù)8 后，初步體悟小數(shù)乘法與整數(shù)乘法之間的關(guān)系。最后，學(xué)生從積的變化規(guī)律和乘法結(jié)合律角度理解小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)的合理性。多樣的算法表征促使學(xué)生在同化和順應(yīng)中完善已有認(rèn)知，逐漸建立起小數(shù)乘法的計算結(jié)構(gòu)。而利用豎式計算，借助圖形直觀展現(xiàn)算理，“算法抽象”建立在“算理直觀”基礎(chǔ)之上，能貫通多種表征形式，為學(xué)生理解兩位小數(shù)乘整數(shù)的方法做鋪墊。

三、溝通算理，歸納算法

師：冬天時，西瓜價格發(fā)生了變化。買3 千克西瓜要多少錢？6元夠嗎？

生1：2×3=6，2.35大于2，6元肯定不夠。

師：估算是個辦法，買3千克究竟需要多少錢？

生2：先算235 乘3，3 乘個位上的5，得15，寫5向十位進一；再用3乘十位上的3，得9，加上進上來的1是10，寫0向百位進一；然后用3乘百位上的2，得6，加上進上來的1 是7，得705 后；最后，添上小數(shù)點是7.05。

師：剛才計算0.8×3 時，得數(shù)2.4 是一位小數(shù)，2.35×3 得數(shù)7.05 是兩位小數(shù)。7.05 的小數(shù)點位置是怎么確定的？

生3：2.35 表示235 個百分之一，再乘3，得到705個百分之一，所以是7.05。

師：回答得有理有據(jù)。現(xiàn)在回頭看這兩道小數(shù)乘整數(shù)的豎式計算（略），它們在計算方法上有什么相同之處嗎？

生4：都是先看成整數(shù)乘法進行計算，算出得數(shù)后再添上小數(shù)點。

生5：列豎式時，都是末尾對齊。

生6：一位小數(shù)乘整數(shù)，得數(shù)是一位小數(shù)，兩位小數(shù)乘整數(shù)，得數(shù)是兩位小數(shù)。

師：順著生6的思考，你還能聯(lián)想到什么？

生7：幾位小數(shù)乘整數(shù)算得的積就是幾位小數(shù)。

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)重點解決兩個問題，一是通過對小數(shù)乘整數(shù)意義的理解確定積的小數(shù)點位置。在計算得出705 后利用問題“7.05 的小數(shù)點位置怎么確定的？”幫助學(xué)生回到源頭進行思考。二是概括小數(shù)乘整數(shù)的計算方法。先通過比較兩道豎式，從形式上判斷出小數(shù)位數(shù)與積的位數(shù)關(guān)系；再通過類比推理，感悟一位小數(shù)乘整數(shù)就是計算有多少個十分之一，兩位小數(shù)乘整數(shù)就是計算有多少個百分之一，依此類推，幾位小數(shù)乘整數(shù)的實質(zhì)是計算有多少個單位“1”。這樣的過程，既有算理思考的深度，又有算法概括的高度。

四、變式練習(xí)，靈活應(yīng)用

師：根據(jù)148×23=3404，能直接寫出“14.8×23”“148×0.23”“1.48×23”的積嗎？

生1：14.8×23=340.4。

生2：148×0.23和1.48×23的積都是34.04。

師（出示圖8）：有意思！算式不同結(jié)果卻相同，這是巧合嗎？

圖8

生3：都是兩位小數(shù)乘整數(shù)，結(jié)果也都表示3404個百分之一，積當(dāng)然也相同了。

師：數(shù)學(xué)是講道理的，你一下就找準(zhǔn)了問題的關(guān)鍵。根據(jù)上面的算式，再寫一道得數(shù)是340.4 的算式。

生4：148×2.3。

師（出示圖9）：請計算這個豎式。

圖9

師：35×0.24，其中一個因數(shù)是兩位小數(shù)，積怎么是一位小數(shù)呢？

生5：先算35×24=840，點上小數(shù)點，根據(jù)小數(shù)的基本性質(zhì)，末尾去掉0，小數(shù)的大小不變。

【設(shè)計意圖】改編教材中的一道習(xí)題，目的是讓學(xué)生對因數(shù)與小數(shù)點之間抽象關(guān)系的理解具體化。得出3 道算式結(jié)果后，學(xué)生在問題“為什么算式不同，結(jié)果卻相同？”中進一步理解了算法。隨后，在比較中引起認(rèn)知沖突——“其中一個因數(shù)是兩位小數(shù)，積怎會是一位小數(shù)呢？”，使學(xué)生感受如何運用新知解決問題。

五、拓展延伸，整體關(guān)聯(lián)

師：今天學(xué)習(xí)了小數(shù)乘法，之前學(xué)過整數(shù)乘法，上一單元還學(xué)了小數(shù)加法，比較一下，它們有什么相同之處嗎？

生1：整數(shù)乘法的結(jié)果表示幾個一、幾個十、幾個百……

生2：小數(shù)加法和小數(shù)乘法的結(jié)果表示幾個十分之一、幾個百分之一……

師：一、十、百……，十分之一、百分之一……都是什么？

生3：計數(shù)單位。

師：是呀，其實不管哪一種計算，它們的共同之處都是計算有多少個計數(shù)單位。

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)通過對不同“數(shù)”運算的回顧，引領(lǐng)學(xué)生體會不同“數(shù)”運算的內(nèi)在一致性，幫助學(xué)生建構(gòu)整體認(rèn)知，實現(xiàn)對小數(shù)乘法的深度理解。

【教后反思】

大概念在整個知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生認(rèn)知系統(tǒng)中均具有很強的附著力，依托大概念可以在原有的知識和現(xiàn)有的知識之間，以及在學(xué)生舊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新的認(rèn)知生長點之間都能找到同化和順應(yīng)的“錨點”。在計算教學(xué)體系中，小數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)有何異同？本次的教學(xué)探索得出以下兩點：

第一，多元表征，尋關(guān)聯(lián)。從學(xué)生熟悉的情境出發(fā)，從乘法的意義、計量單位的轉(zhuǎn)化、積的變化規(guī)律等角度，順其自然地歸納出0.8×3 都是轉(zhuǎn)化成8×3進行計算，進而借助乘法結(jié)合律進行推演，即0.8×3=0.1×（8×3）。為了方便學(xué)生更直觀地理解，筆者展現(xiàn)了3 個0.8 通過累加變成2.4，也就是24 個0.1。至此，學(xué)生的關(guān)注點聚焦在“計數(shù)單位”上，實現(xiàn)了從對運算本質(zhì)的認(rèn)識回溯到對數(shù)的認(rèn)識上（數(shù)的組成）。

第二，回歸原點，定“錨點”。在計算兩位小數(shù)乘整數(shù)時，學(xué)生能從計數(shù)單位的角度進行解釋，體現(xiàn)了大概念的靈活性與可遷移性。練習(xí)中，根據(jù)整數(shù)乘法的結(jié)果深度探究另外三道算式，數(shù)字雖不同結(jié)果卻相同的過程，推動了學(xué)生運算思維的進階可視化。更難能可貴的是，總結(jié)時，學(xué)生在整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、小數(shù)加法計算體系中感受到了知識遷移過程中“錨點”（計數(shù)單位）的固著力。可見，教學(xué)建立在這個大概念基礎(chǔ)上，有效降低了學(xué)生的思維負(fù)荷，拓寬了學(xué)生認(rèn)知運算本質(zhì)的“算理域”，豐富了學(xué)生掌握運算技能的“方法場”。