五年級“因數和倍數”易錯題分析及教學改進

江蘇南京市浦口區大橋小學 （211809） 楊錫鵬

蘇教版教材五年級下冊“因數與倍數”一課中包含三個數學知識點：認識因數和倍數的含義，掌握求一個數的因數的方法，掌握求一個數的倍數的方法等。教師在教學因數和倍數的認識時，一般分三個層次開展教學活動：第一層次是用12 個同樣大的正方形拼成一個長方形，讓學生用乘法算式表示自己的拼法；第二層次是借助“4×3=12”這個乘法算式向學生說明“哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數”；第三層次是讓學生根據另外兩個乘法算式說出“哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數”。教師在教學求一個數的因數的方法時，通過例題“找出36 的所有因數”引導學生經歷三個階段：第一階段是明白哪兩個數的乘積是36，那這兩個數都是36的因數；第二階段是探索如何不重復、不遺漏地找出36 的所有因數，可以依次列舉積是36的乘法算式，也可以從1開始依次用36 去除每一個數；第三階段是引導學生用集合圖表示36 的所有因數。教師在教學求一個數的倍數的方法時，通過例題“用列舉的方法找出3 的倍數”引導學生經歷兩個階段：第一階段是理解3 和某一個自然數（不為0）相乘所得的積就是3 的倍數，按照從小到大的順序排列3 的倍數，后面還要加上省略號；第二階段是用集合圖按從小到大的順序表示3的倍數。

可以發現，無論是教材的編排還是教師的教學活動，都做到了邏輯嚴謹和條理清晰。可是，學生在完成“因數和倍數”的作業時還是出現了大量錯誤。對此，筆者梳理了部分易錯題，并通過分析錯誤原因來找到教學改進的方法。

一、易錯題梳理（見表1）

表1 學生關于“因數和倍數”的易錯題梳理

二、錯例分析

師（出示第1題）：這道題目要算什么？

生1：找3的倍數和9的倍數。

師：題目說了要在什么范圍內嗎？

生2：100以內的數。

師：是的，審題要仔細，要看清楚題目中的所有要求。那么你知道3的倍數和9的倍數有哪些嗎？

生3：3 的倍數有3、6、9、12、15、18、21、24、27；9的倍數有9、18、27、36、45、54、63、72、81。

師：要在100 以內的數中找，3 的倍數和9 的倍數還有哪些？請列完整。

生4：3 的倍數有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45……99；9 的倍數有9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99。既是3 的倍數又是9的倍數的數有9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99。我還發現了既是3的倍數又是9的倍數的數其實都是9的倍數。

師（出示第2題）：這道題目問的是什么？

生5：這道題目就是問96的因數有哪些。

生6：我們就用96 分別除以2、3 和5，看看有沒有余數。如果沒有余數，就是答案了。

師：接下去怎么做？

生7：96÷2=48，96÷3=32，96÷5=19……1，所以用1號車或2號車正好可以裝完。

師：像你這樣做真簡單啊！為什么可以這樣做？

生7：我們找一個數的因數時，既可以去想哪兩個數相乘的積是96，也可以用96除以1、2、3……的數。題目已經說了1 號車載質量2 噸，2 號車載質量3 噸，3 號車載質量5 噸，用96 分別除以2、3 和5更方便。

師（出示第3題）：能讀懂這道題目的意思嗎？

生8：題目要我們判斷產品個數為78、94、86、87、82、80 的籮筐中哪兩只籮筐里的產品是徒弟加工的。

師：應該怎么解決呢？

生9：根據“師傅的產量是徒弟的2倍”，得出師傅的產量一定是雙數。我發現題目的6 個數中只有一個數是單數，所以87那筐肯定是徒弟的。

師：你是根據2 的倍數確定了87 那筐是徒弟的，那么徒弟還有一個籮筐的產品個數怎么確定呢？

生9：這就要靠計算了。根據“每只籮筐都標明了產品的個數：78、94、86、87、82、80”，可以計算出師傅和徒弟加工的產品總個數是78+94+86+87+82+80=507（個），又根據“師傅的產量是徒弟的2倍”，這道題目就變成了和倍問題，可以算出徒弟的產量是507÷（2+1）=169（個）。因此，徒弟的另一個籮筐的產品個數是169-87=82（個）。我們要選擇“87”和“82”這兩個答案。

通過以上的師生對話發現，學生在解決問題時經常出現思維卡殼現象，不能用因數和倍數的數學知識來解決問題，這往往是由于教師缺乏用因數和教學解決問題，原因有三。

第一，從數學知識的角度看，本節課中教師要落實三個數學知識點的教學，既要幫助學生體會本節課中的因數和倍數與以前的因數和倍數是不同的，又要學生在探究活動中掌握求一個數的因數和倍數的方法，因此本節課的教學時間較為緊張。

第二，從解決問題的角度看，缺少運用因數和倍數的知識解決實際問題的機會，會導致學生缺乏用因數和倍數的知識解決問題的能力。同時，學生的審題能力較弱，當題目中有較多條件時，學生不能顧及每個數學信息。

第三，從作業練習的角度看，相應的練習要讓學生在豐富的情境中解決問題，但教師布置的作業與例題基本相同，情境不夠豐富。只有創設豐富的作業套餐，設計不同難度的基礎題、提高題和拓展題等，才能滿足不同學生的發展需求。同時，教師設計的作業中要有豐富的背景素材，讓學生在真實情境中解決問題，感受學習數學的應用價值。

三、教學改進

一節數學概念課，教師既要幫助學生建構數學概念，又要引導學生運用數學概念解決問題。如何統籌安排數學概念與解決問題的教學呢？這就需要教師精心地設計課堂中的教學活動，精選課堂中的例題和習題，幫助學生在學以致用中鞏固數學概念，提升解決問題的能力。

第一環節：暴露已有學情，建立因數和倍數概念

師：你知道什么是因數，什么是倍數嗎？

師：用12 個同樣大的正方形拼成一個長方形，每排擺幾個，擺了幾排？請你先畫出示意圖，再用4個算式表示。

師：如4×3=12 這個乘法算式中，4 和3 都是12的因數，12是4的倍數，12是3的倍數。又如12÷2=6 這個除法算式中，2 和6 都是12 的因數，12 是2 的倍數，12是6的倍數。

師：根據6×2=12，你能說出哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數嗎？根據12÷3=4呢？

【設計意圖：美國數學家杜賓斯基認為，學生學習數學概念要經歷操作或活動階段、過程階段、對象階段和圖示階段等四個階段。本課教學中，活動階段是讓學生通過活動初步體會因數和倍數的含義，辨析本單元中的因數和倍數與之前學習過的區別；過程階段是學生對活動進行思考，在思維內化和壓縮中抽象出因數和倍數概念的特征；對象階段是學生通過抽象過程認識了因數和倍數的概念后，就要模仿著去說出乘法和除法算式中誰是誰的因數，誰是誰的倍數；圖示階段是學生在學習中進一步完善因數和倍數概念，在頭腦中形成綜合的心理圖式?！?/p>

第二環節：借助生活情境，探究求一個數的因數

師（出示例題：貨場有36 噸煤，用載質量是多少的卡車多次運送正好可以裝完？請找出所有答案）：題目中的條件和問題分別是什么？先獨立解決這個問題，再在小組里交流你的想法。

師：我們要解決用載質量是多少的卡車多次運送正好可以裝完，就是解決什么問題？要找36 的所有因數，你會怎么找？

生1：可以想哪兩個數的積是36，四九三十六，六六三十六。

生2：不對，不能只從乘法口訣表里找，只要兩個數的乘積是36的都是。有1×36=36，2×18=36，3×12=36……

生3：也可以用除法來找，用36 依次去除以1、2、3、4……看除了之后有沒有余數。

師：剛才我們是怎么做到不重復、不遺漏的？你能用集合圖表示這道題目的所有答案嗎？

出示練習：媽媽買來28 個雞蛋，讓聰聰把雞蛋放到冰箱里。聰聰每次拿的個數相同，且每次只拿2～10 個，拿到最后正好一個不剩。請列舉聰聰所有可能的拿法。

生4：我用乘法來找28的因數，1×28=28，2×14=28，4×7=28。每次拿的個數可以為1、28、2、14、4和7。

生5：我有補充，題目說了每次只拿2～10 個，所以只有每次拿2、4和7個的三種拿法。

【設計意圖：教師巧妙地設置了一個在生活情境中求一個數的因數的問題，需要學生在審題中“識得廬山真面目”——發現這道題目考查的數學知識點是求36 的所有因數。在探究求一個數的因數的方法過程中，學生經歷了一波三折：先是在乘法口訣中找，發現這樣會找不全；然后無序地找，發現這樣也會遺漏；最后嘗試用乘法或除法有序地找，從而做到找一個數的因數時不重復、不遺漏，為后續找一個數的倍數時提供經驗。之后設計一道有關找一個數的因數的練習，一方面是幫助學生鞏固求一個數的因數的方法，另一方面是提高學生的審題能力。】

第三環節：借助生活情境，探究求一個數的倍數

師（出示例題：每本故事書的價格是7 元，買不同數量的書，你會怎么付錢呢？）：題目中的條件和問題分別是什么？先獨立解決這個問題，再在小組里交流你的想法。

師：我們要解決付錢的問題，就是解決什么問題？找7的所有倍數，你會怎么找？

生1：7的1倍是7，7的2倍是14，7的3倍是21。

生2：7的倍數有無數個，最后要加上省略號。

師：剛才我們是怎么找一個數的倍數的？你能用集合圖表示這道題目的所有答案嗎？

出示練習：乘坐小艇每人應付5 元，應付錢數都是5的倍數嗎？先把表格填寫完整，再說一說。

…………乘坐人數應付錢數（元）1 5 2

【設計意圖：當學生有了前一個環節中求一個數的因數的學習經驗，他們在這個環節中就能自發地按照從小到大的順序求倍數，做到既不重復也不遺漏。同時，學生也能解決生活中有關找倍數的問題，真正體現運用數學的知識解決生活問題。】

第四環節：設計分層練習，促進不同學生的發展

作業A套餐：

1.下面的3 組數中，誰是誰的因數？誰是誰的倍數？

4和24 13×2=26 75÷25=3

2.找因數和倍數。

（1）18的因數有（ ），30的因數有（ ）。

（2）3的倍數有（ ），8的倍數有（ ）。

（3）1 的因數有（ ）個，7 的因數有（ ）個，10 的倍數有（ ）個。

（4）一個數的因數的個數是（ ）的，最小的因數是（ ），最大的因數是（ ）；一個數的倍數的個數是（ ）的，最小的因數是（ ），（ ）最大的因數。

作業B套餐：

1.從下面的數中選出3個數組成一道乘法或除法算式，再說說哪個數是哪個數的因數，哪個數是哪個數的倍數。

12 3 18 6 36 4 9

2.把下表中6 的倍數涂色?？匆豢矗? 的倍數也是幾的倍數？

18 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 20 21 22 23 24 25 26 27 10 28 11 29 12 30 13 31 14 32 15 33 16 34 17 35

3.一個數是42 的因數，同時也是3 的倍數，這個數可能是多少？

【設計意圖：作業A 套餐屬于基礎題，是對“因數和倍數”這節課基礎知識的考查，要求人人都掌握。作業B 套餐屬于提高題，是對因數和倍數知識的綜合考查，滿足部分學有余力學生的需求?！?/p>

總之，學生在完成數學作業中必然會出現錯誤，這些錯誤就是最好的生成性教學資料，如同反光鏡，折射出教學過程中存在的問題；如同放大鏡，放大了學困生還未掌握的知識點；如同顯微鏡，呈現每一個數學知識點的落實情況。正是有了這樣的生成性資源，教師才能打造出基于學生立場的好課，真正幫助學生用數學知識解決生活問題。