空間光調(diào)制器模擬光柵產(chǎn)生高階和分?jǐn)?shù)階渦旋光束

楊啟航， 李 盼， 楊 焓， 王潤兵， 邢浩儒， 許 飛， 祁義紅

（華東理工大學(xué) 物理學(xué)院，上海 200237）

1 引 言

渦旋光束是近年來國內(nèi)外光學(xué)研究的熱點，在光通信、量子信息、微小粒子操縱和光學(xué)成像等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用[1-7］。光子具有自旋角動量（Spin-Angular Momentum， SAM）和軌道角動量（Obital-Angular Momentum， OAM），分別與偏振和螺旋相位波前相關(guān)。渦旋光束是一種典型的OAM 光束，其復(fù)振幅表達式中含有相位因子exp（ilθ），這表明渦旋光束具有螺旋形的波陣面，螺旋相位由方位角相位相關(guān)項exp（ilθ）描述，l為軌道角動量量子數(shù)或拓撲荷數(shù)（Topological Charge， TC），θ為方位角，表示每個光子的軌道角動量為l?。由于光束中心為相位奇點，光場呈環(huán)形分布，中心光強為0。常見的渦旋光束包括拉蓋爾-高斯（Laguerre-Gaussian， LG）光束、貝塞爾光束和貝塞爾-高斯光束，以及這幾種光束衍生的其他形式渦旋光束。1992 年和1994 年，Allen 和Barnett 等分別證明，在傍軸和非傍軸情況下LG 光束的軌道角動量均為l?[8-9］。當(dāng)l為0 時，渦旋光束退化為一般高斯光束。

由于OAM 模式的存在，渦旋光束相比高斯光束信息存儲和傳輸?shù)木S度大幅增加，可用于拓展通信信道容量[4-5］。渦旋光束攜帶的軌道角動量還具有機械效應(yīng)，能夠產(chǎn)生扭矩使物體移動或偏轉(zhuǎn)，起到“光鑷”或“光學(xué)扳手”操控微粒的作用[1］。除此之外，在與微粒的散射作用中，一般高斯光束僅僅能夠利用散射梯度力捕獲粒子，這會使粒子被束縛在光強最大的光束中心，可能會帶來不可逆的熱損傷。而渦旋光束受到梯度力和自旋-軌道相互作用力的共同影響，較大粒子會被束縛在中心的暗核上并圍繞其自轉(zhuǎn)，從而無損傷地捕獲粒子，這個性質(zhì)在材料加工和生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用[5-6］。

理論上，渦旋光束的OAM 模式提供了無限擴展的自由度，能夠顯著提高光通信中信號復(fù)用的數(shù)據(jù)容量。但實際上較大的拓撲荷通常意味著渦旋光束具有較大的橫向尺寸，這在一定程度上限制了整數(shù)拓撲荷的渦旋光的進一步擴展。隨著整數(shù)拓撲荷的增加，增長的相位奇點和衍射效應(yīng)會極大地影響渦旋光束的強度分布，增大在自由空間中聚焦和耦合到光纖的難度。幸運的是，渦旋光束的一個重要的特點是拓撲荷不局限于整數(shù)。分?jǐn)?shù)階渦旋光束大大擴展了渦旋光束的軌道角動量量子態(tài)空間，同時利用分?jǐn)?shù)階渦旋光束的特點可以更精準(zhǔn)地操控微小粒子，為材料科學(xué)和生物醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用提供更好的光學(xué)手段。近年來，國內(nèi)外研究人員也開展了很多關(guān)于分?jǐn)?shù)階渦旋光束及其在通信、成像等方面應(yīng)用的研究[10-19］。

本文利用透射式空間光調(diào)制器（Spatial Light Modulator， SLM）模擬叉形光柵，對基模高斯光束進行衍射生成LG 光束，探討了左旋和右旋渦旋光束的特點，并通過整數(shù)和分?jǐn)?shù)階叉形光柵的計算調(diào)制，產(chǎn)生了拓撲荷從1.0 到100.0 的整數(shù)階和拓撲荷間隔為0.1 的分?jǐn)?shù)階渦旋光束，最后利用干涉法初步驗證了部分產(chǎn)生渦旋光的軌道角動量。

2 原 理

2.1 拉蓋爾-高斯光束的生成

LG 光束是一種典型的相位渦旋光束。自由空間中，描述電場的亥姆霍茲方程為：

式中：為電場矢量，k為波數(shù)。柱坐標(biāo)系下，式（1）的通解為：

式中u(r，θ，z)為光場的慢變振幅。傍軸近似下可得：

考慮柱對稱穩(wěn)定腔內(nèi)的解，對r和θ分離變量，沿z方向傳導(dǎo)的LG 光束的計算結(jié)果可表示為：

式中：p為徑向量子數(shù)，l為角量子數(shù)。w(z)和?滿足：

目前我國的組織編制法并不健全，在中央層面只有《國務(wù)院組織法》與《國務(wù)院行政機構(gòu)設(shè)置和編制管理條例》，地方政府則缺少組織法，而且組織體制和職責(zé)權(quán)限經(jīng)常變動，缺乏穩(wěn)定性。為了實現(xiàn)用制度管權(quán)管事管人，保證權(quán)力的正確運行，必須通過組織法和編制法約束行政權(quán)力，確保國家機關(guān)按照法定權(quán)限和程序行使權(quán)力，構(gòu)建起全面依法行政的制度基礎(chǔ)，早日實現(xiàn)建成法治政府的目標(biāo)。［6］有必要用法律法規(guī)規(guī)定行政組織和編制。

其中：w0為基模的束腰半徑，為瑞利長度。

從式（4）可以看出，當(dāng)角量子數(shù)l≠0 時，相位不僅與空間位置z有關(guān)，還與方位角θ相關(guān)。這說明渦旋光束在空間中傳播時，波陣面為螺旋狀，具有軌道角動量l?。

渦旋光束一般可通過腔內(nèi)產(chǎn)生法或腔外轉(zhuǎn)化法生成。腔內(nèi)產(chǎn)生法通過引入低模損耗使基模無法諧振而獲得高階橫模光束，但它難以產(chǎn)生拓撲荷數(shù)較大的模式，功率也相對較低。常用的腔外轉(zhuǎn)化法包括模式轉(zhuǎn)換法、螺旋相位板、叉形光柵和相位全息等[5-6］。螺旋相位板法產(chǎn)生渦旋光的原理如圖1 所示，通過螺旋相位板對不同方位角引入相位差，將高斯光束轉(zhuǎn)化為相位渦旋光束。這種方法原理簡單且理論效率接近100%，但制作工藝要求很高。除此之外，無法調(diào)節(jié)輸出、無法適配各種輸入波長的缺陷也使它存在較大的局限性。叉形光柵法由基模高斯光束與LG光束干涉生成叉形光柵圖樣，使用激光刻蝕制作相應(yīng)的光柵器件。高斯光束經(jīng)叉形光柵衍射后轉(zhuǎn)化為各階渦旋光束的疊加，分離一級衍射可獲得目標(biāo)渦旋光束。雖然叉形光柵法的效率并不高（一級衍射光強不超過原光強的10%），但由于其結(jié)構(gòu)簡單，制作成本低，仍然是一種常用的渦旋光束生成方法[5］。

圖1 螺旋相位板法生成渦旋光束Fig.1 Generation of vortex beams by spiral phase plate

叉形光柵主要有兩種制作方法[5］：一種是利用平面波和LG 光束干涉制作光柵器件，另一種利用計算機生成全息圖的方法產(chǎn)生叉形光柵。本文采用計算全息法，通過計算平面波和LG 光束干涉的光強分布生成全息圖，在SLM 上加載全息圖模擬叉形光柵，如圖2 所示，通過叉形光柵衍射在遠場分離出的一級衍射即為軌道角動量為±l的渦旋光。

圖2 叉形光柵法生成渦旋光束Fig.2 Generation of vortex beams by fork grating

2.2 全息叉形光柵計算

光 場 函 數(shù) 為E1exp(iφ1) 的 物 光 和E2exp(iφ2)的參考光發(fā)生干涉時，干涉光場為：

式（7）說明，干涉光場的相位由物光和參考光共同調(diào)制，透過率由2E1E2cos(φ1-φ2)決定。用光柵灰度表示透過率制作光柵，再用與參考光相同的再現(xiàn)光照射光柵，可實現(xiàn)物光的再現(xiàn)。

計算叉形光柵時，用基模高斯光束作為參考光，目標(biāo)渦旋光束為物光。沿z軸傳播的LG 光束的相位函數(shù)為exp(ilθ)，其中l(wèi)為拓撲荷數(shù)。傳播方向與z軸夾角為α的高斯光束的相位函數(shù)為Eexp(ikxsinα+ikzcosα)，其 中k為 波 矢。渦 旋光的束腰平面為z=0，當(dāng)兩束光在束腰平面發(fā)生干涉時，光強分布為：

通過程序計算模擬干涉過程，用灰度表示光強（黑色為最小值，白色為最大值）。部分計算的叉形光柵全息圖如圖3 所示。由圖3 可知，對于拓撲荷數(shù)為l的叉形光柵，由于相位的疊加，上半部分比下半部分多l(xiāng)條明條紋與l條暗條紋，產(chǎn)生叉形圖樣。光強分布式（8）的非常數(shù)項表明，叉形光柵可看作在普通光柵上添加螺旋相位，如圖4 所示。計算得到叉形光柵后，將光柵全息圖由計算機加載到SLM，通過SLM 實現(xiàn)叉形光柵的振幅或相位調(diào)制，即可獲得相應(yīng)軌道角動量的渦旋光。

圖3 拓撲荷數(shù)分別為-1，0，1，2，3 時的叉形光柵圖Fig.3 Fork grating holograms with topological charges of -1，0，1，2 and 3

圖4 叉形光柵相位合成示意圖Fig.4 Schematic of fork grating phase synthesis

2.3 空間光調(diào)制器模擬叉形光柵

液晶SLM 利用扭曲液晶盒中的向列相液晶偏轉(zhuǎn)光束，可分為反射式和透射式兩種。本實驗室的SLM 為透射型，因此根據(jù)透射型SLM 設(shè)計和搭建渦旋光產(chǎn)生和干涉測量的光路。在液晶盒兩玻璃基片間加一定電壓，電場作用使液晶分子傾斜。如圖5 所示，當(dāng)線偏振光的傳播方向與液晶盒垂直且偏振方向與前表面的預(yù)定向方向平行時，其偏振方向?qū)㈦S液晶分子的傾斜方向發(fā)生旋轉(zhuǎn)，傾斜角度的大小影響線偏振光旋轉(zhuǎn)角的大小。在液晶盒前后放兩個偏振片，可通過外加電壓實現(xiàn)對光場振幅或相位的調(diào)制。若無外加電壓，線偏振光偏振與檢偏器透振方向平行，出射光強最大；加一定電壓后，液晶分子傾斜一定角度，通過液晶盒后線偏振光發(fā)生偏轉(zhuǎn)，通過檢偏器的光強將減小；當(dāng)外加電壓使液晶分子傾斜90°時，出射光強幾乎為零[20］。通過控制各像素點的電壓，可以改變各點透射率，與光柵衍射作用相同。因此，通過叉形光柵的全息圖控制液晶空間光調(diào)制器的透過率，可以實現(xiàn)模擬叉形光柵。

圖5 線偏振光通過液晶盒時偏振方向發(fā)生旋轉(zhuǎn)Fig.5 Rotation of polarization direction of linearly polarized light as it passes through liquid crystal cell

2.4 實驗光路搭建與調(diào)節(jié)

基于SLM 的LG 光束產(chǎn)生光路如圖6 所示。這里使用的氦氖激光器型號為GY-11，SLM 型號為RL-SLM-T1，CCD 型 號 為DH-HV1351UC。利用空間濾波器和凸透鏡將氦氖激光器發(fā)出的激光轉(zhuǎn)化為較為理想的基模高斯光束，束腰半徑約為2.3 mm。通過偏振片起偏后，經(jīng)SLM 模擬的叉形光柵衍射，產(chǎn)生不同拓撲荷數(shù)的渦旋光。利用傅里葉透鏡會聚各級衍射光束，用CCD 觀測整體的衍射圖像。

圖6 基于空間光調(diào)制器的拉蓋爾-高斯光束產(chǎn)生裝置Fig.6 Experimental setup for LG beam generated based on spatial light modulator

利用孔徑光闌代替傅里葉透鏡，可分離出不同級次的衍射光，其一級衍射光的軌道角動量量子數(shù)恰好為l或-l。為使分離出的渦旋光不受其他級次的影響，需使各級衍射光橫向上分開。使一級衍射光通過孔徑光闌，調(diào)整孔徑的大小和位置，可使CCD 觀測到完整的目標(biāo)渦旋。對于拓撲荷數(shù)為l的渦旋光制作出相應(yīng)的叉形光柵，其一級衍射的拓撲荷數(shù)即為l。改變計算全息圖的輸入?yún)?shù)，可得到任意拓撲荷數(shù)的渦旋光。

3 實驗結(jié)果與討論

3.1 整體衍射圖樣

實驗中先觀察整體衍射圖樣。用傅里葉透鏡聚焦衍射的各級光束，在合適位置放置CCD可觀測到衍射光場分布。調(diào)節(jié)偏振片方向和空間光調(diào)制器位置，可觀測到清晰的各級衍射光場分布。圖7 為CCD 探測的拓撲荷數(shù)為18 的各級衍射場和渦旋光環(huán)形分布。光場中心為高斯光束，其光強沿半徑方向呈指數(shù)衰減，中心光強最大。中心光束左右為一級衍射的LG 光束，拓撲荷數(shù)分別為±18，渦旋方向相反，具有近似于式（4）描述的空間光場。二、三級衍射接近“缺級”，光強較弱難以分辨。通過孔徑光闌選取一級衍射，可研究其渦旋特性。

圖7 各級次衍射圖樣Fig.7 Beam diffraction of different orders

3.2 整數(shù)階渦旋光

通過調(diào)節(jié)光路改變加載到計算機上不同拓撲荷數(shù)的叉形光柵，利用孔徑光闌可在合適位置分離和觀測一級衍射的渦旋光。圖8（a）所示為測量得到的部分整數(shù)階渦旋光圖像，相應(yīng)的叉形光柵如圖8（b）所示。從圖8 可以看出，隨著拓撲荷數(shù)的增大，中心暗斑逐漸增大，光場呈現(xiàn)環(huán)形分布，各環(huán)的寬度逐漸減小，環(huán)上相應(yīng)強度增加。顯然在極端情況下，當(dāng)l趨于無窮時，渦旋光束會成為環(huán)寬趨向于零，能量密度趨于無窮的“完美渦旋光束”，但由于SLM 的分辨率、入射光分布的偏差等限制，l很大時光場的誤差也不斷放大，難以產(chǎn)生理想的渦旋光束。隨著SLM 分辨率的提升，渦旋光的產(chǎn)生效率也不斷提高。

圖8 拓撲荷數(shù)分別為1，2，5，10 和20 時產(chǎn)生的渦旋光束和相應(yīng)的光柵圖Fig.8 Optical vortex and corresponding fork gratings with topological charges of 1，2，5，10 and 20

進一步研究高階軌道角動量的渦旋光產(chǎn)生。通過計算模擬l=30～100 的叉形光柵，利用CCD 實驗探測了產(chǎn)生的高階渦旋光。由圖9 的實驗結(jié)果可以看出，對于一級衍射生成的軌道角動量為±l的渦旋光，隨著l的增大，光斑形成的環(huán)形半徑進一步增大，環(huán)的寬度逐漸減小。隨著環(huán)形半徑的增大，一級衍射產(chǎn)生的渦旋光與0 級的中心光斑發(fā)生重疊而干涉，破壞了渦旋光的形態(tài)，難以獲得完美的渦旋光。由圖9 可知，l＜80 時可以獲得較好質(zhì)量的渦旋光。

圖9 拓撲荷數(shù)為30～100 時產(chǎn)生的渦旋光束Fig.9 Optical vortex with topological charges from 30 to 100

3.3 分?jǐn)?shù)階渦旋光

分?jǐn)?shù)階渦旋光可極大地擴展軌道角動量光的量子態(tài)空間，對信號傳輸和編碼具有重要意義。同時，分?jǐn)?shù)階渦旋光具有不同于整數(shù)階渦旋光的光場分布和螺旋性，在微小粒子的光操縱上有獨特的作用。為觀察和分析分?jǐn)?shù)階渦旋光特性，這里設(shè)計了用于產(chǎn)生分?jǐn)?shù)階渦旋光的叉形光柵，如圖10 所示。由圖10 可知，分?jǐn)?shù)階渦旋光的叉形光柵不僅與整數(shù)階渦旋光類似在中心產(chǎn)生了依賴于軌道角動量l的叉形結(jié)構(gòu)，還在光柵上形成了位錯（依賴于l的符號）。

圖10 拓撲荷數(shù)為3.2，3.4，3.6，3.8 時的光柵圖Fig.10 Fork grating holograms with topological charges of 3.2，3.4，3.6 and 3.8

基于產(chǎn)生的分?jǐn)?shù)階l的叉形光柵，測得l=3.1～3.9 的渦旋光，如圖11 所示。分?jǐn)?shù)階渦旋光束繞中心一周的相位變化不再是2π 的整數(shù)倍，相位起始處將發(fā)生突變，依賴分?jǐn)?shù)部分與鄰近整數(shù)差值的大小出現(xiàn)不同的開口形狀。圖11為隨著拓撲荷數(shù)的增大渦旋光束的演化過程。在l＜3.5 時，光環(huán)在相位突變處的缺口不斷增大；在l=3.5 時，光環(huán)缺口達到最大，隨后開始減小；直到l=4.0 時開口消失，光環(huán)半徑相比于l=3.0 明顯增大。

圖11 拓撲荷數(shù)為分?jǐn)?shù)時產(chǎn)生的渦旋光束Fig.11 Optical vortex with fractional topological charges

3.4 拓撲荷測量與渦旋光產(chǎn)生效率討論

為驗證全息計算產(chǎn)生的叉形光柵程序的有效性，實驗還搭建了干涉法測量渦旋光拓撲荷的光路，分別測量了l=1.0，2.0，3.0，1.2，1.5，1.8的渦旋光，結(jié)果如圖12 所示。干涉法測量拓撲荷的實際光路如圖13 所示。從圖12 來看，干涉的叉形部分條紋瓣數(shù)可以明顯分辨出整數(shù)階的OAM 數(shù)值；分?jǐn)?shù)階渦旋光的叉形干涉條紋瓣數(shù)介于鄰近整數(shù)之間，從叉形部分相鄰條紋分離的狀態(tài)可以初步判斷拓撲荷的大小。干涉測量結(jié)果驗證了實驗中用于產(chǎn)生渦旋光的叉形光柵全息圖的準(zhǔn)確性和有效性。實際上，干涉測量法對于拓撲荷不大的渦旋光軌道角動量的測量是方便、高效的，但拓撲荷很大時，受探測裝置和光束尺寸的限制，難以通過干涉條紋準(zhǔn)確分辨出OAM 數(shù)值。最近的研究提出了利用機器學(xué)習(xí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)測量渦旋光拓撲荷數(shù)的方法[14，16］，該 方 法 可 高 精 度 地 識 別 分 數(shù) 階 拓 撲 荷數(shù)，從原理上同樣可用于高階拓撲荷的識別。

圖12 干涉法測量不同軌道角動量渦旋光的拓撲荷Fig.12 Measurement of topological charge of optical vortex with different OAM by interferometry

圖13 干涉法測量拓撲荷光路Fig.13 Optical path for interferometry measurement of topological charge

在渦旋光的應(yīng)用方面，產(chǎn)生效率（目標(biāo)渦旋光與入射光束的光強或功率之比）是一個重要因素。由于渦旋光通過叉形光柵衍射產(chǎn)生，而一般情況下總體級次較多，故分離出的目標(biāo)渦旋光（一級衍射）效率并不高。利用光功率計測量拓撲荷為20 和3.5 時，渦旋光的產(chǎn)生效率分別為6.8%和6.6%。已有研究表明，采用數(shù)字微鏡器件（Digital Micro-mirror Device，DMD）制作叉形光柵，可通過調(diào)節(jié)電壓和偏振片角度，將絕大部分光強集中于+1 或-1 的一級衍射渦旋光中，實現(xiàn)高達98.5%的轉(zhuǎn)換效率[21］。

4 結(jié) 論

本文研究了基于SLM 加載叉形光柵全息圖的整數(shù)高階和分?jǐn)?shù)階渦旋光的產(chǎn)生。進行基于SLM 模擬叉形光柵的相關(guān)計算，編寫計算機程序計算干涉過程，獲得了精確且各參數(shù)可調(diào)的全息圖。設(shè)計優(yōu)化了渦旋光束生成光路，闡述了光路調(diào)節(jié)方法，搭建光路并產(chǎn)生了符合理論模型的渦旋光束。利用CCD 拍攝精確的渦旋光場圖樣，分析了整體遠場衍射、單個整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階渦旋光束的光場特性。通過干涉法測量部分產(chǎn)生的渦旋光的軌道角動量，初步驗證了本方法計算產(chǎn)生的叉形光柵程序的有效性。本文結(jié)果可為高階和分?jǐn)?shù)階渦旋光的產(chǎn)生和應(yīng)用提供一定的參考。后續(xù)工作將進一步研究和探討提高渦旋光產(chǎn)生效率的方法。