結(jié)合基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)談學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

修祺文

【摘要】學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法和基本技能的培養(yǎng)離不開(kāi)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng).學(xué)生思維能力及其數(shù)學(xué)品質(zhì)的提高是數(shù)學(xué)教學(xué)中最根本的任務(wù).文章結(jié)合基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的教學(xué)實(shí)際，從分類能力、轉(zhuǎn)化能力、抽象概括能力和可逆思維能力等四個(gè)方面來(lái)談培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的具體方法.

【關(guān)鍵詞】思維能力；分類；轉(zhuǎn)化；抽象概括；可逆思維

中招班的學(xué)生，年齡在十五歲到二十歲之間.他們正處于成長(zhǎng)的黃金時(shí)期，這個(gè)時(shí)期他們的心智日趨成熟，記憶能力達(dá)到頂峰，抽象思維能力得到高度發(fā)展.在這個(gè)時(shí)期培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)和數(shù)學(xué)思維能力無(wú)疑是最佳時(shí)間段.在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、試驗(yàn)、比較、猜測(cè)和分析，學(xué)會(huì)抽象和概括、歸納和演繹，學(xué)會(huì)類比推理，能邏輯準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)，能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，識(shí)別數(shù)學(xué)關(guān)系，形成較好的數(shù)學(xué)思維能力.

一、分類能力

分類，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是分門別類.學(xué)生從小整理文具、書本需要分門別類，打掃衛(wèi)生、處理垃圾也需要分門別類，可以說(shuō)分類是學(xué)生應(yīng)具備的一種生活能力.分類也是一種學(xué)習(xí)能力，各種各樣的知識(shí)存在不同類別之分，有的同一類知識(shí)又可進(jìn)一步分為若干小類，分好類也是學(xué)習(xí)中不可缺少的一種能力.特別地，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，分類能力的重要性更加凸顯.這是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的邏輯性和關(guān)聯(lián)性，分起類來(lái)會(huì)比其他知識(shí)更加困難.另外，對(duì)于一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，它的核心難點(diǎn)就在如何分類上.這樣看，分類既是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的一種能力，又是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種能力.分類用得好，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的把握和對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解都會(huì)有質(zhì)的飛躍.

（一）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識(shí)方面

對(duì)于新知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)分類可讓學(xué)生的條理更加清楚.以基礎(chǔ)數(shù)學(xué)第一章集合為例，在集合中元素的性質(zhì)、集合的分類、集合的表示法、集合的運(yùn)算等多塊內(nèi)容中都涉及分類.集合中元素的性質(zhì)包括確定性、互異性和無(wú)序性，集合根據(jù)元素個(gè)數(shù)可分為無(wú)限集、有限集和空集，集合的表示法可分為列舉法、描述法和圖示法，而列舉法、描述法和圖示法有各自的適用范圍.列舉法適用于元素個(gè)數(shù)較少或者元素呈現(xiàn)規(guī)律的集合，而描述法適用于元素具有共同特征且元素個(gè)數(shù)不可數(shù)的集合，圖示法則適用于描述集合之間的關(guān)系，而不是具體地表示集合.集合的運(yùn)算則分為交集、并集、補(bǔ)集和差集等運(yùn)算.這些知識(shí)表面零散，實(shí)際上內(nèi)在的邏輯條理卻非常地清楚.另外，教師在教授這類知識(shí)時(shí)，還要不斷地啟發(fā)學(xué)生：為什么要這么分？每一類有什么不同？它們各自的特點(diǎn)是什么？又或者它們之間有什么聯(lián)系？在不斷地提問(wèn)和思考之后，學(xué)生才會(huì)明白這樣分類的道理.同時(shí)，良好的分類能力又為學(xué)生的知識(shí)遷移打下了基礎(chǔ).

（二）解決具體數(shù)學(xué)問(wèn)題方面

二、轉(zhuǎn)化能力

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)知識(shí)富于變化的表現(xiàn)，轉(zhuǎn)化的本質(zhì)是帶有一定目的的邏輯推理，它體現(xiàn)了思維的靈活性.對(duì)于學(xué)習(xí)者而言，轉(zhuǎn)化能力是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題必備的能力，也是學(xué)習(xí)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程中學(xué)生亟待提升的地方.扎實(shí)熟練的基礎(chǔ)是學(xué)生做好轉(zhuǎn)化的前提，豐富的聯(lián)想、敏捷的類比觀察能力是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵.轉(zhuǎn)化要遵照熟悉化、直觀化和典范化的原則.具體來(lái)說(shuō)，就是要把生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的問(wèn)題，把非典范型的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為典范型的問(wèn)題.提高轉(zhuǎn)化的思維能力可以大大提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的水平，對(duì)學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系大有裨益.

（一）把陌生的問(wèn)題熟悉化

分式不等式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是陌生的，怎么求解是未知的，但將其轉(zhuǎn)化為整式不等式后，就變?yōu)閷W(xué)生不久前學(xué)習(xí)過(guò)的內(nèi)容，這樣對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就很容易解了.通過(guò)轉(zhuǎn)化，分式不等式的求解難度大大降低.

（二）把抽象的問(wèn)題直觀化

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象，但這種抽象并非絕對(duì)的.數(shù)學(xué)里的“抽象”可以通過(guò)一定的方式轉(zhuǎn)化為“直觀”.在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程中，把抽象問(wèn)題直觀化的一個(gè)重要手段就是數(shù)形結(jié)合.如在對(duì)兩個(gè)集合進(jìn)行交、并運(yùn)算時(shí)，學(xué)生并不能很準(zhǔn)確把握運(yùn)算的結(jié)果，這就需要教師輔助以圖像，通過(guò)畫數(shù)軸，把集合的交集、并集直觀化.又如解一元二次不等式，在求出對(duì)應(yīng)一元二次方程的實(shí)根后，學(xué)生對(duì)于這兩個(gè)實(shí)根有什么用，并沒(méi)有很深刻的認(rèn)識(shí).對(duì)此，教師可以通過(guò)作出對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖像，讓學(xué)生知道這兩個(gè)實(shí)根就是對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再接下來(lái)解集在哪個(gè)范圍，這個(gè)問(wèn)題的求解就很直觀了.

又例如在解析幾何中，無(wú)論是圓、橢圓或是雙曲線，都有標(biāo)準(zhǔn)方程.對(duì)于在具體問(wèn)題中得到的形式各異的非標(biāo)準(zhǔn)方程，解題者都只有將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，才能得到它們的圓心坐標(biāo)、半徑或是半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)等關(guān)鍵數(shù)據(jù).在線性代數(shù)、高等數(shù)學(xué)等后續(xù)課程中，這種思維方式更加常見(jiàn).

三、抽象概括能力

數(shù)學(xué)對(duì)于大部分同學(xué)來(lái)說(shuō)是抽象的，但它不是空中樓閣，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程里面，幾乎所有的概念、公式都與實(shí)際生活有關(guān)，它們都源于生活.教師在教授這些知識(shí)時(shí)，也都先引入與之相關(guān)的生活實(shí)例.但由實(shí)際問(wèn)題過(guò)渡到數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，就需要學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象概括能力，它是數(shù)學(xué)思維中的核心.

例：某書籍的單價(jià)定為30元時(shí)，銷售量為15萬(wàn)冊(cè)，經(jīng)調(diào)查，如果單價(jià)每提高2元，銷售量就會(huì)減少3000冊(cè)，要使該書店的銷售收入超過(guò)540萬(wàn)元，應(yīng)把單價(jià)定在怎樣的范圍內(nèi)？

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)內(nèi)容的過(guò)程中對(duì)抽象概括能力的要求是高標(biāo)準(zhǔn)的，它貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.這是因?yàn)閿?shù)學(xué)是高度符號(hào)化的語(yǔ)言，而且有完整的符號(hào)語(yǔ)言體系.

四、可逆思維能力

可逆思維能力是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程中一種重要的思維能力.常見(jiàn)的如等價(jià)問(wèn)題中就蘊(yùn)含可逆思維.等價(jià)的數(shù)學(xué)符號(hào)為“？”，即若順過(guò)去可推出，逆過(guò)來(lái)也可推出，則稱為等價(jià).這里逆過(guò)來(lái)推就是可逆思維的體現(xiàn).

如在集合之間的相互關(guān)系中，A？B，B？A？A=B，這個(gè)結(jié)論有兩個(gè)地方體現(xiàn)了可逆思維，一是逆過(guò)來(lái)推，若A=B，則A？B，B？A，由子集的概念，這是顯然的.雖然這里逆向思考簡(jiǎn)單，但訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維不可忽視，要從簡(jiǎn)單的問(wèn)題開(kāi)始.二是A？B，B？A，這里相互包含即蘊(yùn)含于逆向思維.

在函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)中，有很多問(wèn)題需要用到逆向思維.如學(xué)習(xí)完指數(shù)函數(shù)后，學(xué)生接著學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù).而要學(xué)好這兩種函數(shù)，學(xué)生就一定要從可順、可逆兩個(gè)角度，將它們進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí)，把它們的關(guān)系理清楚.指數(shù)函數(shù)的解析式為y=ax（a>0且a≠1），把它化為對(duì)數(shù)式即為x=logay，然后把y換成x，把x換成y，即得對(duì)數(shù)函數(shù)解析式為y=logax.通過(guò)對(duì)比，指數(shù)函數(shù)的自變量就是對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值就是對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量，底數(shù)a沒(méi)有變，因而指數(shù)函數(shù)的定義域就是對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的值域就是對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，這樣去認(rèn)識(shí)它們的關(guān)系就非常清楚了，也可進(jìn)一步引出它們的關(guān)系其實(shí)就是互為反函數(shù).又如在分段函數(shù)求值問(wèn)題中，學(xué)生既要會(huì)給自變量求值，反過(guò)來(lái)又要會(huì)給函數(shù)值求相對(duì)應(yīng)的自變量，這都與可逆思維分不開(kāi).

需要特別指出的是，教師在教學(xué)中有意培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識(shí)是至關(guān)重要的.許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以逆向思考.這種能力不是天生的，是在長(zhǎng)時(shí)間逆向思考的習(xí)慣中養(yǎng)成的.學(xué)生只有經(jīng)常這樣去思考，才會(huì)有很強(qiáng)的可逆思維能力.因而教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生逆向思考，提升思維品質(zhì).

簡(jiǎn)而言之，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力不是一蹴而就的，它是一項(xiàng)系統(tǒng)性的工作.要將這項(xiàng)工作落實(shí)，教師就必須將其融入每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的講授中.思維能力不是憑空存在的，它是以具體的每個(gè)知識(shí)為載體，體現(xiàn)在某個(gè)知識(shí)，某個(gè)問(wèn)題中.在教學(xué)過(guò)程中，教師只有多總結(jié)、多領(lǐng)悟、多思考、多發(fā)現(xiàn)，才能帶領(lǐng)學(xué)生朝著正確的方向思考，達(dá)到提高學(xué)生思維能力的目的.

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