直線電機運動系統輸入到狀態穩定性分析

徐永明 曹向東 李 旭 劉海波

（①通用技術集團沈陽機床有限責任公司，遼寧 沈陽 110000；高性能精密制造全國重點實驗室，遼寧 大連 116024；大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024）

精密運動系統是光刻機、引線鍵合機以及高端數控機床等高端裝備的關鍵部件之一，其性能的優劣直接影響裝備的工作效率和最終產品的品質。如何實現系統精密運動一直都是高端裝備制造領域研究的熱點和難點[1]。在高端設備的性能要求下，“直接驅動”越來越受到重視，其本質就是取消從驅動器或原動機到工作負載部件之間的機械傳動環節，由驅動器或原動機直接驅動工作機構運動，實現所謂“近零傳動”。直線電機運動系統就是一類典型的直接驅動系統。系統中的直線電機直接提供推力給負載平臺，不需要任何中間傳動機構，使得系統具有損耗低和響應速度快等特點，能夠提供高動態響應速度和加速度、高定位精度、高剛度以及平滑的無差運動。因此，直線電機運動系統在高端裝備制造領域獲得廣發應用[2]。

然而，直線電機運動系統“零傳動”特性消除了機械運動變換機構等不良影響，卻也給控制增加了難度，負載變化等干擾都會無衰減地直接加到控制系統中，影響了伺服系統的性能，同時直線電動機所固有的端部效應、齒槽效應以及永磁體磁鏈紋波等所產生的推力紋波、摩擦阻力的非線性變化等因素都會降低系統的伺服性能，影響系統的精度。所以在設計系統控制器時要充分考慮這些因素的影響，對這些因素加以抑制。因此，有效地提高直線電機運動系統抗擾性能對實現系統快速精準運動是至關重要的。為此，研究人員開展了大量的研究，取得了豐碩的成果。在直線電機運動系統擾動建模與估計方面，Yang R 等[3]在建立直線電機運動系統的動力學模型中考慮了電氣子系統參數的時變性和外部的復雜非線性擾動，并在位置控制模式下對推力波動等擾動進行了估計和特征分析，在此基礎上建立了擾動及其各階導數的擴張狀態模型。Zhang W J 等[4]研究了直線電機推力波動的周期性特性，利用迭代學習算法不斷地修正推力波動的動力學模型，從而達到更好的定位控制精度。Liu Y D 等[5]基于增量卡爾曼濾波器實現對直線電機推力波動的有效觀測，相比傳統的卡爾曼濾波器，提高了運行效率與觀測精度。Cho K 等[6]針對參數不確定性，摩擦力和推力波動的辨識問題，通過狀態相關擾動特征的分離與識別，實現系統辨識準確性的提升。Zhang G Q 等[7]在擴張狀態觀測器的基礎上分析推力波動特性，并引入輔助模型，進一步估計和補償殘余推力波動。在擾動抑制控制方面，由于PID 閉環控制器的高魯棒性和易用性，仍具有很強的適用性，程什祥等[8]結合改進的雞群算法和PID 控制器，提升了PID 控制器調參的精準性，實現更好的控制器自適應能力。Man F 等[9]基于直線電機速度檢測不精準的問題提出一種基于PID 神經網絡的速度閉環控制策略，使用梯度下降算法更新參數并擬合電角度，提升了系統的魯棒性。Zeng D H 等[10]針對直線電機垂直力和橫向力對負載的擾動問題，提出了一種基于PID 控制器的3D 電磁力解耦控制策略，設計了新型推力觀測器及推力控制器。由于直線電機運動系統對擾動十分敏感，傳統的PID 控制器由于可調參數有限，控制器性能的進一步提升受到極大制約，因此，PID 控制器結合擾動觀測器的控制策略越來越受到關注。Qu L 等[11]為了改善直線電機閉環控制中的相位延遲和振蕩問題，設計線性擴展觀測器實現電機反電動勢的精確觀測，結合PI 控制器，實現電機位置的精準控制。Liu X F 等[12]利用龍伯格觀測器預測并補償非線性擾動，利用前饋控制器提升系統的動態性能，結合PI 控制器保證系統的魯棒性。隨著控制理論的發展，涉及控制理論的控制策略被越來越多地應用在直線電機運動系統中，Huang M F 等[13]提出一種改進型自適應滑膜控制器，更好地估計和補償具有重復特性的推力波動。Chen Z 等[14]基于μ 綜合自適應魯棒控制器設計了直線電機控制器，在改善魯棒控制器過于保守的缺點的同時保證了系統的抗擾性。Shao K 等[15]為提高直線電機定位器的跟蹤性能，開發了一種基于障礙函數自適應滑模的魯棒跟蹤控制器，提高了直線電機抗擾性。Liu Z T 等[16]提出一種基于梯度下降算法的B 樣條小波神經網絡控制器，利用李雅普諾夫理論證明了其穩定性，降低了系統不確定性的影響。

本文圍繞擾動對直線電機運動系統狀態的影響開展研究，建立直線電機運動系統模型，研究系統的輸入到狀態穩定性分析問題，尋求擾動對系統狀態的影響規律。本文提出一種基于李雅普諾夫方法的直線電機運動系統輸入到狀態穩定判據，分析控制器增益與系統輸入到狀態穩定之間的關系，為控制器參數的選取提供理論依據。

1 直線電機運動系統模型

直線電機由旋轉電機轉化而來，其運動原理與旋轉電機基本一致，運動的輸出都是通過導體在變化的磁場中受電磁力的作用產生的。故在分析直線運動平臺的數學模型時，可以將其類比旋轉電機驅動系統。

為了方便建模和分析，做出如下假設：

（1）電機參數時不變，保持穩定。

（2）磁場分布是均勻的。

（3）忽略磁滯效應和磁體之間的阻尼作用。

（4）不考慮溫度變化對系統的影響。

永磁同步直線電機的矢量圖如圖1 所示。

圖1 永磁同步直線電機矢量圖

a-b-c軸坐標系、α-β軸坐標系、d-q軸坐標系分別為直線電機三相靜止坐標系、兩相靜止坐標系和相互垂直的兩相旋轉坐標系。

1.1 a-b-c 軸坐標系下的直線電機模型

直線電機由旋轉電機演化而來，其模型與旋轉電機相似，故直線運動平臺在a-b-c軸坐標系下的電壓方程表示為

磁鏈方程為

式中：ψs為三相繞組的磁鏈，Wb；Us為三相繞組的相電壓，V；Rs為電阻，Ω；is為電流，A；Ls為三相繞組的電感，H；ψf為永磁體磁鏈，Wb；θe為電氣轉角，rad。且滿足

式中：Lm為定子互感，H；Ll為定子漏感，H。

1.2 d-q 軸坐標系下電機模型

分析永磁同步直線電機最常用的方法是建立dq軸數學模型。其思想是將a-b-c軸下的數學模型通過Clark 變換及Park 變換轉換為d-q軸下的模型。d-q軸模型下的磁鏈方程：

式中：ψd、Ld、id分別為d軸的磁鏈（Wb）、電感（H）和電流（A）；ψq、Lq、iq分別為q軸的磁鏈（Wb）、電感（H）和電流（A）；ψf、Lf、if分別為永磁體產生的基波磁鏈（Wb）、等效電感（H）和等效電流（A）。

d-q軸上的電壓方程為

式中：ud、uq為動子d、q軸電壓，V；Rd、Rq為d軸和q軸的電阻，Ω，其值都等于定子電阻，為Rd=Rq=Rs；v為直線電機線速度，m/s；τ為永磁體極距，mm；p為微分算子。

d-q軸上電流的3/2 變換為

電壓與磁通的3/2 變換也與電流類似。

直線電機電磁推力的表達式為

id=0 控制是目前應用范圍最廣的矢量控制策略，即令動子電流矢量與定子永磁體磁場在空間上正交，從而使定子繞組中d軸的電流分量為0，定子電流中只包含q軸電流分量，即只包含推力電流分量。由此可得電磁推力Fe及電壓方程為

根據直線運動平臺的運動學特性，可得直線電機模組的機械運動方程為

式中：Fload表示直線運動平臺的負載阻力，N；Bv表示粘滯常數，N·s/m2；M表示直線電機模組運動部分的質量，kg。

由式（7）～式（9）可將直線運動平臺的簡化模型寫為

由1.1 節分析可得，直線運動平臺在實際的運動過程中，會受到多種非線性干擾因素，包括由直線電機結構特性導致的定位力波動Fripple、非線性摩擦力Ffriction和負載Fload的變化等，對直線運動平臺的輸出具有一定的影響。故考慮非線性影響因素的直線運動平臺的數學模型可以寫為

2 輸入到狀態穩定性分析

考慮到如下系統：

由于跟蹤誤差e定義為

則式（12）可表示為

考慮到PID 控制仍然在工業控制中占有重要地位，本文中uq滿足如下形式：

將式（16）代入式（15）可得：

定理 2.1 對于給定常數α>0，γ>0，如果存在正定對稱矩陣P>0，使得如下不等式成立：

則系統是輸入到狀態穩定的且系統狀態滿足

式中：λmin(P)為矩陣P中最小的特征根，λmax(P)為矩陣P中最大的特征根。

證明：構造如下形式的Lyapunov 函數：

顯然V(t)滿足如下條件：

由式（18）可得：

由式（18）和式（21）可知，式（24）正確。

顯然系統是輸入到狀態穩定的。證畢。

當ω(t)=0，定理2.1 可以退化為如下推論。

推論 2.1 對于給定常數α>0，γ>0，如果存在正定對稱矩陣P>0，使得如下不等式成立：

則系統是指數狀態穩定的，且系統狀態滿足

式中：λmin(P)為矩陣P中最小的特征根，λmax(P)為矩陣P中最大的特征根。

3 算例分析

本部分利用所提方法分析某直線電機運動系統的輸入到狀態穩定性問題。系統的主要參數為：電磁推力常數Kf=124 N/A，粘滯常數Bv=0.2 N·s/m，電機運動部分質量M=5 kg，單相電阻Ra=5.3 Ω，單相電感Lq=9 mH，極距τ=57 mm。利用Matlab 中Yalmip 優化工具箱，根據定理2.1（α和γ為給定常數），可以獲得不同控制器參數與系統輸入到狀態穩定性之間的關系。計算的結果見表1。

表1 保證系統輸入到狀態穩定的 KP最小值

圖2 系統跟蹤誤差穩定曲線

4 結語

針對直線電機運動系統進行了建模，研究了此類系統的輸入到狀態穩定性分析問題，提出了一種基于李雅普諾夫方法的直線電機運動系統輸入到狀態穩定判據，建立了控制器增益與系統輸入到狀態穩定判據，以及控制器增益與系統輸入到狀態穩定性之間的關系。本文的研究可為控制器增益選取提供一定的理論支持。