立加機床主軸軸線幾何精度優化＊

李 磊 胥 云 王松明 張加虎 陳 婷

（四川輕化工大學機械工程學院，四川 宜賓 644000）

數控機床是現代制造業的重要基礎，其加工精度直接影響被加工件質量。根據誤差產生的機理不同來看，主要可分為4 大類：幾何誤差、熱誤差、控制誤差和切削力誤差[1]，其中幾何誤差又是機床的主要誤差來源。因此，減小機床的幾何誤差對于提高機床整機的加工精度具有重大的意義。機床的裝配精度的保證和提高主要依靠兩方面：零件的加工精度、裝配工藝過程的規劃[2]。

立式加工中心主要由床身、立柱、主軸箱、滑鞍和工作臺等部件組成，主軸安裝在主軸箱上，主軸箱通過直線導軌與立柱組合，并在伺服電機的驅動下沿立柱導軌上下運動。立柱與主軸箱具有保證主軸軸線與Z軸線運動間的平行度、與X、Y軸線運動間的垂直度的作用。將主軸箱體裝配在立柱導軌上，由于主軸箱體的重力矩而產生懸垂變形，導致移動部件在位置上的錯位和傾斜，對以上3 項精度有重大影響。立式加工中心結構布局如圖1 所示。

圖1 結構布局圖

近年來，國內外對主軸軸線幾何誤差問題主要采用提升立柱和主軸箱剛度、數控補償等方法。胡世軍等[3]以立式加工中心為研究對象，基于慣性能量平衡原理對立柱的固有頻率進行優化。呂建波等[4]基于接合面理論，對立柱進行受力分析，根據立柱與滑鞍構成的直線導軌結合面，構建結合面變形和正壓力沿結合面的線性函數平衡方程，得到直線導軌結合面在不同部位載荷的分布函數。何改云等[5]提出一種預先消除導軌基面靜變形的方法，通過優化支撐方式得到裝配后導軌基面的最終變形。曹文智等[6]利用懸垂誤差補償原理有效提高了立式加工中心機床的幾何精度。李冰興等[7]通過對床身階梯導軌進行高度差和跨度分析，提升了整機剛度，從而減小了主軸箱-立柱部分的幾何誤差。唐俊賢等[8]針對鏜銑加工中心滑枕撓度誤差問題，通過調整滑枕的預傾斜參數，再結合數控補償使擾度誤差減小。

機床制造企業在實際裝配中多采用增加配重使立柱后傾或者刮研主軸箱端面等措施來調整主軸軸線位置，以保證上述3 項精度，但是由于沒有深入研究，存在調整煩瑣、隨機性大等缺陷，因而生產效率低下。因此為了避免這種盲目性，實現以較為準確的工藝參數來指導機床裝配的目標，針對立式加工中心的主軸軸線幾何誤差問題，提出一種結構補償方法：通過銑削立柱底部結合面使立柱呈現預傾斜狀態彌補變形、改變主軸箱包容比提升結構剛度從而提高主軸軸線的幾何精度。主軸軸線變形如圖2 所示，虛線為無重力狀態下的主軸軸線位置。

圖2 立柱前傾使主軸線偏移

1 立柱預傾斜研究方法

1.1 預傾斜原理

由于立柱在主軸箱重力作用下會產生前傾變形，使主軸發生偏移。因此，通過將立柱底部結合面銑削為具有一定角度的斜面，再將其安裝到床身上，使之呈現后傾效果，彌補產生的前傾角度。立柱預傾斜減小主軸軸線幾何誤差的方法如圖3 所示，虛線為無重力狀態下的主軸軸線位置。

圖3 立柱預傾斜設計方法示意圖

1.2 設計步驟

立柱預傾斜設計方法的關鍵是確定傾斜方向和傾斜角度使主軸與立柱裝配完成后在自身重力作用下抵消部分主軸軸線幾何誤差。研究內容包括主軸箱-立柱裝配體靜變形分析、確定預傾斜方向、試驗設計、構建預傾角與主軸軸線幾何誤差之間的數學模型和多目標遺傳算法尋優等步驟，立式加工中心立柱預傾斜設計步驟如下：

（1）創建立式加工中心機床結構的三維有限元分析模型。

（2）分析傾斜的極限位置，確定設計變量空間，進行試驗設計，選取合適的有限元試驗樣本點。

（3）利用有限元方法對選取的試驗樣本點進行靜力學分析，提取主軸軸線的坐標變化，構建預傾角與主軸軸線幾何誤差之間的數學模型。

（4）運用多目標遺傳算法進行尋優搜索運算，確定相對最佳的變量數值。

（5）對優化后的預傾斜設計模型進行有限元分析計算，驗證分析結果的可靠性。

2 靜力學分析

立式加工中心的結構件基本是大型鑄件，為了減少不必要的計算量，對于包含的大量圓角、螺栓孔以及尺寸較小的凸臺和溝槽等細節特征的零件，將其在三維模型中進行簡化。X、Y、Z這3 個方向的行程分別為1 100 mm、600 mm、600 mm。

2.1 有限元模型建立

利用Ansys Workbench 對立式加工中心主軸箱-立柱部分進行靜力分析，由于零部件構造復雜，采用四面體網格劃分，節點數為746 357 個，單元數為512 354 個。對立柱底部施加固定支撐約束，添加重力載荷條件。在進行有限元分析時，由于結合面特性對分析的結果有較大影響，因此機床Z向行程導軌與立柱、滑塊與主軸箱之間的螺栓固定接合面均進行彈簧阻尼單元等效處理[9]，各接合面的參數值見表1。

表1 等效接合面參數值

2.2 靜力學分析

由于主軸箱部分的重力作用，立柱會產生一定的前傾變形，主軸箱也會產生一定的懸垂變形，導致主軸軸線發生偏轉。主軸箱在立柱的不同位置時，主軸偏移量也會隨之變化。主軸箱-立柱部分結構變形4 所示。

從圖4 可以看出，在重力作用下，主軸箱產生懸垂變形以及立柱發生前傾導致主軸軸線位置和角度發生改變。在Z向行程導軌上提取27 個節點繪制出變形圖，得到Z向導軌基面在Y方向上的變形情況，如圖5 所示。

圖4 主軸箱-立柱結構變形

圖5 Z 向導軌直線度誤差

由圖5 可知，隨著Z向坐標的增加，Z向導軌基面沿Y向變形量逐漸增大，最大變形量為14.46 μm，最小變形量為1.03 μm，最大變形差值為13.43 μm滿足國家標準（Z向行程在500～800 mm，誤差小于15 μm），但依然存在優化空間。

在Z向行程上以50 mm 為間距，均勻地選取13 個位置，再取主軸模型軸線上兩點，用兩點坐標計算主軸軸線分別與X、Y軸的夾角，如圖6 所示。

圖6 主軸軸線與X、Y 軸垂直度誤差

3 主軸軸線幾何精度優化

3.1 確定傾斜方式

對立柱后傾方式進行優化時，由于主軸軸線與X軸的垂直度誤差較小，但與Y軸垂直度誤差較大，因此以YZ平面內的傾斜角度為設計變量x1，楔形頂邊在立柱下結合面左側邊線。由圖6 可知，主軸箱在行程上止點的偏轉最大，為保證計算主軸線垂直度的準確性，取主軸箱在上止點的位置計算，由a=800 mm、b=300 mm、c=300 mm、d=600 mm，得z=180 mm。根據GB/T 34880.2-2017 主軸軸線與Y軸線運動間的垂直度公差0.020/300，選取x1的設計空間為0″≤x1≤ 7.2″。同時為了探究合適的主軸箱包容比x2，將其作為設計變量之一，x2利用式（1）求的，0.8 ≤x2≤ 1。

主軸箱-立柱結構尺寸示意圖如圖7 所示。

圖7 設計變量圖

主軸安裝在主軸箱上，隨著立柱與主軸箱的變形而偏轉，因此選取XY平面作為基準建立空間坐標系，通過提取主軸軸線上兩點的變形位移，計算得到主軸軸線與Y軸垂直度誤差為fY。

式中：?z、?y分別為主軸軸線設計點的Z、Y 軸坐標變化量。

主軸軸線與Z軸線運動間的平行度誤差為fZ。

式中：Li為主軸軸線與Z向導軌距離，i為Z向導軌基面實驗點序號i=1:27。

3.2 試驗設計

拉丁超立方是一種分層抽樣方法，其依照等概率抽取的原理，從而得到均勻的樣本點分布，對于數值模擬結構優化分析，具有良好的區間代表性，進而可以提高分析結果的精度和效率。

在樣本空間中均勻地選取15 個樣本點進行有限元仿真計算，試驗設計點及結果見表2。

表2 樣本數據點及結果

3.3 構建響應面模型

響應面法是一種數理統計學方法[10]，針對進行合理試驗得到的數據結果，利用多元回歸方程擬合設計變量與響應值之間的函數關系，從而得到相應的響應面模型，再在該模型的基礎上做進一步的優化分析研究。響應面是指響應變量η與一組輸入變量（ζ1,ζ2,ζ3,···,ζk）之間的函數關系式。

根據泰勒多項式擬合函數的特性，高階的多項式更能近似表達目標函數，但是隨著階數的增加其計算成本也會呈指數倍增長。因此選擇二階多項式響應面模型來逼近目標函數，既保證了計算精度，又提高了計算效率。通過表2 數據可以得到響應目標函數的擬合公式及響應面圖如圖8、圖9 所示。

圖8 設計變量與垂直度誤差的響應

圖9 設計變量與平行度誤差的響應

主軸軸線與Y軸垂直度誤差擬合公式：

主軸軸線與Z軸平行度誤差擬合公式：

3.4 多目標遺傳算法優化

改進型非支配排序遺傳算法（NSGA-Ⅱ）又稱多目標遺傳算法[11]。基于NSGA-Ⅱ的多目標優化算法求解流程如圖10 所示。

圖10 遺傳算法實現過程

遺傳算法屬于啟發式算法，是一種通過模擬遺傳機理和自然選擇來尋找最優解的數學工具。它從一個含有多個初始個體的種群開始，根據個體的優劣為每一個個體賦予一個適應度值。然后根據優勝劣汰的自然法則，選擇適應度值高的個體進行繁殖產生下一代個體。一般情況下，兩個父代個體會產生兩個子代，從而保證每代的種群數量穩定不變。種群一代接著一代循環上述過程，直到某一代種群個體滿足給定的限定條件，則一次優化操作完成。

以主軸軸線與Y軸線運動間的垂直度誤差、主軸軸線與Z軸平行度誤差為目標函數，建立主軸軸線幾何精度優化設計的數學模型：

通過迭代計算，獲得多目標優化問題的Pareto解集，再從中選取最為合適的折中解。

4 優化結果驗證

將預傾角及包容比尺寸優化后，重新構建有限元模型，施加載荷約束，對主軸-立柱部分進行靜力分析計算，得到采用優化后主軸軸線幾何誤差。

驗證結果見表3。

表3 優化前后結果對比

5 結語

針對立式加工中心主軸軸線在重力作用下幾何精度降低的問題，提出一種預傾斜結構補償方案?；赟olidWorks 和Ansys 建立立式加工中心主軸軸線幾何誤差模型，探究了預傾角和包容比對主軸軸線幾何誤差的影響函數關系，求解得到最佳預傾角為3.56″和最佳包容比0.972。最后通過仿真對比，優化后的主軸軸線與Y軸線運動垂直度誤差減小了7.67%，主軸軸線與Z軸平行度誤差減小了53.5%，驗證了本文所提結構補償方案的有效性。