論域非原點對稱的等效變論域模糊PID 控制＊

樊康生 楊光永 吳大飛 徐天奇

（云南民族大學電氣信息工程學院，云南 昆明 650500）

PID 控制器具有結構簡單、易于實現、魯棒性強等優點，在工業控制領域中的應用極為廣泛[1]。但PID 控制的控制效果極易受參數的影響，合適的PID 參數可有效增強PID 控制器的控制效果[2]。自適應調整參數方法可根據系統狀態對PID 參數進行實時調整，相比于固定參數的策略，自適應策略可提升PID 控制器的控制性能[3]。

作為一種主要的自適應PID 參數調整方法，模糊PID 控制將系統的誤差和誤差變化率作為模糊控制器的輸入，經過模糊控制器后輸出PID 控制器參數，從而實現PID 參數的自適應變化。文獻[4-6]指出，該種方法可使PID 控制器的參數更切合系統狀態，且具有極大的優勢。

李洪興教授于1999 年提出了一種變論域的模糊控制方法[7]，當系統誤差越小，固定論域相對于誤差會越粗糙，變論域的模糊控制器可使論域隨著系統狀態進行縮放[8]，有利于提升模糊控制器的性能。變論域模糊控制器的PID 參數自適應控制因卓越的控制性能[9]，受到廣泛的關注和應用[10]。

由于傳統的變論域模糊控制器需改變模糊控制器的論域，因此具有復雜度較高且設計難度大等問題[11]。針對變論域模糊控制器的實現，諸多學者提供了一些方法[12]，但并未解決變論域模糊PID 控制器難以實現的問題。

為此，本文提出一種通過改變模糊PID 控制器的輸入輸出達到與改變模糊控制器內部論域相同效果的策略，從而實現變論域模糊PID 控制，同時，針對目前的論域變化后變量位置確定方法不適用于論域非原點對稱時的情況，提出了非原點對稱論域的變量位置伸縮后確定方法。本文設計了一種以伺服電機和滾珠絲杠作為傳動機構運動系統的等效變論域模糊PID 控制器，從而驗證本文提出的等效變論域模糊PID 控制的可行性，并以仿真對比實驗驗證等效變論域模糊PID 控制器的性能。

1 等效變論域模糊PID 控制器

1.1 模糊PID 控制

PID 算法通過線性組合誤差信息e(t)的比例、積分和微分項，得到控制項u(t)：

式中：Kp、Ki、Kd分別為PID 控制器的比例、積分和微分系數。

此前大量研究和實驗表明：PID 控制器的控制效果極依賴于Kp、Ki、Kd參數，且采用固定參數的PID 控制效果不佳[13]。針對這種情況，基于模糊控制的自適應PID 控制器被提出，模糊PID 將系統變量誤差和系統變量誤差變化率作為模糊控制器的輸入，經過模糊化、模糊推理和解模糊階段輸出?Kp、?Ki、?Kd，從而使模糊PID 控制生成的控制項為

模糊PID 控制器改善了因PID 控制器參數固定造成的控制效果不佳的問題，但常規模糊PID 中模糊控制環節的論域是固定的，當系統運行誤差減小后，相較于微小誤差而言，初始論域過大，模糊控制器的控制效果減弱。針對該問題，李洪興教授提出了一種變論域模糊控制器[7]。變論域模糊控制器通過引入伸縮因子 α調節論域，設變量i的初始論域為[E1,E2]，E1=-E2，則經伸縮因子作用后論域變為[α(xi(t))E1,α(xi(t))E2]。該方法可使模糊控制器的論域隨著誤差變化而變化，從而增強模糊控制算法的控制效果。

1.2 等效變論域模糊PID 控制

變論域模糊控制雖實現了論域隨著系統狀態變化而變化，但模糊控制器的論域變化后，論域中的模糊子集也需進行相應的變化，這種變化在實現時復雜度極高，且需花費的時間代價極大。

為簡化變論域過程的復雜度，本文提出一種等效的變論域模糊PID 控制方案：設計伸縮因子對模糊控制器的輸入和輸出進行縮放，以代替模糊控制器內部的論域縮放。設模糊控制輸入端伸縮因子為α(xi(t))，輸出端伸縮因子為β(yi(t))，為表述方便，設選取的輸入端論域關于原點對稱，即[E1,E2]，E1=-E2。設計的伸縮因子應滿足以下條件。

其中，sgn為符號函數，即：

（1）當模糊控制器的輸入xi(t)減小至小于既定論域范圍時，增大輸入量xi(t)以確保模糊控制器能實現高效控制，并減少相應的輸出量yi(t)。

（2）當模糊控制器的輸入xi(t)增大至大于既定論域范圍時，伸縮因子應使輸入量減小使其不超過論域邊界，并應增加響應的輸出量yi(t)。

等效變論域模糊PID 控制的控制流程如圖1 所示，其中α(e)、α(ec) 和 β均為伸縮因子。

圖1 等效變論域模糊PID 流程圖

2 非原點對稱論域的伸縮方法

此前針對變論域模糊控制的研究大多基于原點對稱論域，即論域為[E1,E2]，E1=-E2。但在一些模糊PID 控制的場景中，輸出端論域設定為非原點對稱時，控制效果會更佳，論域對稱和非對稱示意圖如圖2 所示。

圖2 論域是否關于原點對稱示意圖

若采用非原點對稱論域，變論域模糊控制及第1.2 節提出的等效變論域模糊控制的伸縮因子作用于系統時，直接將伸縮因子與輸入量、輸出量的乘積作為傳統變論域模糊控制的論域范圍或等效變論域模糊控制最終輸入輸出量的方案將不再適用。

為此，本文對非原點對稱論域的伸縮方法進行研究。設模糊控制的論域范圍 Φ為

則由伸縮因子 λ作用后論域范圍應變為

論域中的某一變量x經伸縮后，結果為

該方法同樣可用于論域關于原點對稱論域內變量的位置確定。

3 仿真實驗驗證

為驗證本文提出的等效變論域模糊PID 控制器的控制性能，以一個汽車前橋前束測量系統中的一種采用伺服電機和滾珠絲杠作為傳動結構的運動系統的位置控制為例進行仿真實驗驗證，并選取PID控制、傳統模糊PID 控制、傳統變論域模糊PID 控制為對比實驗。

3.1 運動系統數學模型

汽車前橋前束測量系統結構圖如圖3 所示。測量系統初始狀態時左側前端測量距離為L3，后端為L1；右側前端測量距離為L4，后端為L2，此時前橋前束：

圖3 前束檢測系統結構圖

由于汽車前橋設計要求，前橋左右輪轂需要轉動一定角度呈“內八”形。假設左右輪轂分別轉動θ1和 θ2角度，產生的距離分別為X1和X2，此時環境溫度形變量為UT，前橋總成剛體形變量為U1（如圖中L7位置），工作臺剛體形變量為U2。其中X1和X2為系統需要的測量值，UT、U1和U2為系統干擾輸入，此時系統理論檢測值見式（8），而實際前束見式（9）。

將X1、X2、UT、U1和U2作為控制系統的輸入量，其控制系統示意圖如圖4 所示。由于UT屬于非平穩過程、U1和U2屬于平穩過程，為了識別并消除UT、U1和U2，設計三階相關峭度反卷積算法模塊M3CKD 用于信號識別和提取，然后設計逆濾波器W 模塊用于消除輸入系統的干擾信號，得到輸出信號：

圖4 控制系統示意圖

式中：?表示卷積運算，再將得到的信號輸入本文設計的控制器H 模塊得到系統輸出。

通過調節M3CKD 和W模塊參數，使得系統最終輸出為Y=HWX，經過三階相關峭度逆濾波器處理后系統輸出只與X有關（本文不作細述）。本文主要在H模塊驗證控制器的性能。

本文以伺服電機結合減速箱和滾珠絲杠作為傳動機構的運動系統，工作臺的直線位移d（圖3 中的滾珠絲桿1、2）與伺服電機（圖3 中的伺服電機1、2）的角位移θ的關系為

其中：k為絲杠導程，n為齒輪箱減速比。伺服電機采用位置控制模式，通過輸入脈沖的數量控制伺服電機的角位移，通過輸入脈沖的頻率控制伺服電機的角速度 ω。伺服電機的角位移與角速度的關系為

式中：t為采樣周期。用r代表輸入系統的溫度形變量和剛體形變量，則加入擾動因素r后運動系統臺的直線位移可表示為

3.2 等效變論域模糊PID 控制系統設計

將運動系統的理想位移和實際位移的誤差e和誤差變化率ec作為模糊控制器的輸入，將輸入進行模糊化，將其分為7 個模糊子集NB（負大）、NM（負中）、NS（負小）、ZO（零）、PS（正小）、PM（正中）、PB（正大）。利用Matlab 的模糊工具箱進行模糊控制器的生成。設定模糊控制器的輸入e和ec的論域范圍為[-1,1]，輸出Kp、Ki和Kd的論域范圍分別為[0,1]、[80,120]和[-0.009,-0.001]。隸屬度函數形式均為三角形，解模糊方法為重心法。模糊規則參照文獻[14]。圖1 中的伸縮因子生成方法為

式中：k1、k2和k3均為人工設定的參數。同文獻[15]等文獻采用的變論域模糊控制PID 不同，等效變論域模糊PID 控制不會伸縮模糊控制器的論域，設計的伸縮因子僅需滿足式（3）即可，不必證明伸縮因子是否具有文獻[15]中的對偶性、非零性、單調性、正規性及協調性，從而證明伸縮因子具有穩定性。該運動系統的控制框圖如圖5 所示。

圖5 運動系統等效變論域模糊PID 控制系統框圖

3.3 參數設定及Simulink 仿真模型

在本文的對照實驗中，等效變論域模糊PID 控制器的參數除3.2 節中的敘述外，選取k1、k2和k3，分別為100、100 和10；傳統模糊PID 控制器參數和本文等效變論域模糊PID 控制器完全相同，即Kp0、Ki0、Kd0和C分別為0.109、8 800、8.76 和0.089；PID 控制器的Kp、Ki、Kd分別為0.5、1 000、-0.005；傳統變論域模糊PID 控制器參數Kp0、Ki0、Kd0和C分別為1、6 000、0.5 和1。采樣時間設置為1×10-4s，仿真時間為0.2 s。運動系統跟蹤單位階躍信號位移的Simulink 仿真實驗模型如圖6 所示。

圖6 Simulink 仿真模型

3.4 實驗結果及分析

模擬理想非負載狀態下4 種控制器控制的運動系統跟蹤單位階躍位移時的響應曲線如圖7 所示。圖中本文提出的等效變論域模糊PID 控制器作用時系統的響應曲線為EVUFP，傳統模糊PID 控制器作用時系統的響應曲線為FPID，PID 控制器作用時系統的響應曲線為PID,傳統變論域模糊PID 控制器作用時系統的響應曲線為VUFP。

圖7 理想條件下各控制器運動系統響應曲線

由表1 和圖7（前0.03 s 的響應曲線）可以看出，4 種控制器下系統的超調量相同均為0，本文提出的等效變論域模糊PID 控制上升時間為4×10-4s是4 種控制中最小的，較PID 控制縮短了80.00%，較傳統模糊PID 控制縮短了77.78%，較傳統變論域模糊PID 控制縮短了71.43%；峰值時間為1×10-3s為4 種控制中最小的；調節時間為6×10-4s 較PID控制縮短了99.37%，較傳統模糊PID 控制縮短了91.18%，較傳統變論域模糊PID 控制縮短了91.18%，沒有出現振蕩現象。響應曲線最終于1×10-3s 時趨于穩定并保持在穩態值不變，PID 控制需9.8×10-2s后系統響應曲線才趨于穩定。

表1 仿真結果主要參數對比

設系統由控制器輸出至伺服電機轉化時k·n=1（為理想狀態），由伺服電機至輸出時式（14）中k·n=0.99，以模擬負載條件下，由于剛體形變和溫度形變等因素產生的系統固定擾動；在0.02 s 時，以一脈沖信號干擾模擬運動系統突然受到外部干擾的情況。其系統受到擾動后再次回到穩態所需調整時間見表2，系統的響應曲線如圖8所示。由表2 和圖8 可看出，在模擬現實受到擾動運行情況下，本文提出的等效變論域模糊PID 控制器受到擾動后需要調整時間4×10-4s 回到穩態，較PID 控制縮短了94.17%，較傳統模糊PID 控制縮短了95.12%，較傳統變論域模糊PID 控制縮短了95.00%，說明本文提出的等效變論域模糊PID 控制器控制下系統抗干擾能力更強，受到干擾后，在本文提出的控制器控制下系統能在更短時間內趨于穩定。

表2 系統受到擾動后回到穩態調整時間對比

圖8 模擬現實工作時各控制器下運動系統響應曲線

為了驗證本文提出的等效變論域模糊控制器控制性能，還設計了運動系統跟蹤正弦信號仿真實驗，并在0.02 s 時，以一脈沖信號干擾模擬運動系統突然受到外部干擾的情況。正弦信號幅值為1，頻率為50 rad/s；仿真時間為0.14 s。系統的響應曲線如圖9 所示。

圖9 模擬正弦信號輸入時各控制器下運動系統響應曲線

由圖9 可以看出，四種控制器都能很好地跟蹤正弦信號，但相較于其他3 種控制器，本文提出的等效變論域模糊控制器跟蹤偏差最小、效果最佳，在受到干擾后，本文提出的等效變論域模糊控制器從響應至最佳跟蹤狀態用時最少、無振蕩現象。再次表明本文提出的等效變論域模糊PID 控制器控制下系統的響應最快，抗干擾能力更強。

由以上3 個實驗驗證了本文提出的等效變論域模糊控制器的可行性，且相較于傳統模糊PID 控制器、PID 控制器和傳統變論域模糊PID 控制器，等效變論域模糊PID 控制器的控制性能更佳。

4 結語

針對變論域模糊PID 控制器實現難度大的問題，本文提出了一種等效變論域模糊PID 控制方案，該方案將傳統變論域模糊PID 控制自適應論域轉化為模糊控制器的輸入和輸出自適應變化；并且還提出了非原點對稱論域的變量伸縮后位置確定方法以彌補傳統變量伸縮確定方式僅適用于原點對稱論域的問題。通過對一種以伺服電機和滾珠絲杠作為傳動機構的系統進行仿真實驗，表明本文提出的等效變論域模糊PID 控制具有更快的響應速度、更強的抗干擾能力。相較于PID 控制器、傳統模糊PID 控制器和傳統變論域模糊PID 控制器，等效變論域模糊PID 控制性能更佳。