蝸桿砂輪磨削齒面紋理主動調控方法研究＊

田曉青 武眾磊 唐建平 游通飛 韓 江 夏 鏈

（①合肥工業大學機械工程學院，安徽 合肥 230009；安徽省智能數控技術及裝備工程實驗室（合肥工業大學），安徽 合肥 230009）

齒輪是人類社會生產生活過程中重要的基礎零件，隨著工業的不斷發展，對齒輪的要求越來越高，齒輪傳動朝著更加精密、更加低噪和更加高效的方向發展。在新能源汽車迅速發展的今天，齒輪噪聲嚴重影響了傳動效率和駕駛體驗，低噪聲意味著更強的競爭力。Hansen B 等[1]研究表明，幾何精度高的齒輪依然存在高噪聲的情況。1992 年，Mark W D[2]的研究結果表明齒輪齒面的波動誤差會影響斜齒輪的傳動誤差，從而增大了齒輪噪聲的強度。Amini N 等[3-4]發現在齒輪嚙合的軌跡上存在著規則且有周期性的齒面細微結構，容易生成聚集在齒輪嚙合頻率及其諧頻帶上的噪聲，由實驗證明齒輪噪聲與齒面細微結構有關。已有的研究表明齒輪噪聲的激勵源主要來自齒輪沖擊、傳動誤差和摩擦等[5]。齒輪的表面形貌，包括粗糙度、波紋度和紋理等表面微結構決定齒輪噪聲激勵源也已成為普遍共識。然而，傾斜不規則紋理的生成方法在行業中是高度機密，還未公開。因此，研究齒面紋理的主動控制有重要意義。

常見的改變齒面紋理的方法有改變加工的某些工藝參數和增加刀具運動軸附加量。Jolivet S 等[6]通過試驗證明了齒面波長與實際的加工方式有關，與波長單一的齒面形貌相比，具有混合波長的齒面形貌可以降低齒面缺陷的影響，傾斜且不規則的齒面紋理更有利于齒輪的嚙合。Schenk T 等[7]通過設計一種高性能珩磨輪，研究了切削速度和軸交角的關系，獲得珩削齒面紋理分布與齒輪中心距和軸交角的關系。楊樹峰等[8]通過滾磨光整加工工藝顯著降低弧齒錐齒輪表面粗糙度，降低了錐軸齒面粗糙度和錐盤粗糙度值，顯著提高了齒面紋理的一致性，便于弧齒錐齒輪的振動和噪聲特性的研究。李國龍等[9]通過研究磨齒的磨削特性對齒面細微結構的作用效果，對加工過程中的沖程速度施加正弦函數，加工出分布不規則的磨齒齒面紋理。韓江等[10]通過內嚙合強力珩齒工藝，研究了中心距和軸交角對珩齒齒面紋理的影響，實現了珩齒加工工件齒面紋理的主動控制。瑞士的制造商Reishauer[11]在磨齒加工中采用低噪聲偏移技術，對機床加工軸附加運動，生成了傾斜且不規則的紋理，具有較好的降噪效果。

目前國內對磨齒紋理的研究比較少，磨齒齒面紋理的調整還未找到有效的控制方法。參考上述研究，本文進一步研究了磨削過程中機床X、Y和Z軸的附加加工運動，以實現對齒面紋理的調整，提出一種基于電子齒輪箱的通過對X、Y和Z軸附加運動進而實現磨削齒面紋理主動調控的方法。將仿真結果與國外尚未披露的方法進行比較，證明了本研究的可行性。

1 蝸桿砂輪磨齒和齒面紋理角度建模

齒輪加工機床采用的是重慶機床集團的YW7232CNC 磨齒機，主要軸示意圖如圖1 所示。砂輪和齒輪的基本參數見表1。

表1 基本參數

圖1 磨齒機主要軸示意圖

1.1 齒輪和砂輪模型的建立

圖2 所示為齒輪端截面廓形，以齒輪圓心為坐標原點o建立坐標系xoy，豎直向上為x軸正向，水平向右為y軸正向，rb為基圓半徑，σ0為oe與x軸正向夾角，e點為漸開線起點，取∠eoa0=(μ>0)為參數，根據漸開線的性質可知：Ma0=rbμ。

圖2 齒輪端截面廓形

以右側齒面為例，漸開線ef的參數方程為

漸開線ef繞著z軸螺旋運動，旋轉得到漸開線螺旋齒面[12]，公式如下：

式中：θ為漸開線繞z軸旋轉的角度，βb為基圓螺旋角。

對 μ 和 θ求偏導后外積可得到曲面的法向量ng(μ,θ)表達式為

同理可得左齒面的參數方程以及曲面法向量。

同樣地，可以表示蝸桿砂輪的坐標rw(ξ,τ)和法向量nw(ξ,τ)：

式中：ξ和τ為蝸桿砂輪的兩個參數；基圓半徑rw為150 mm；p是螺旋參數，為6.730 mm；?Zw是蝸桿砂輪的齒槽角參數，為-22.3 mm；βw為砂輪螺旋角，為87.5°。

1.2 蝸桿砂輪磨齒空間坐標系的建立

式中：v01為砂輪軸向進給速率；v02為砂輪切向進給軸進給速率；t為加工時間。

圖3 所示為齒輪和砂輪的空間嚙合坐標系，坐標系S(O-X,Y,Z)與S p(Op-Xp,Yp,Zp)是空間固定坐標系，坐標系S1(O1-X1,Y1,Z1)與S2(O2-X2,Y2,Z2)分別與砂輪、齒輪固聯，Z1軸、Z2軸分別與砂輪、齒輪回轉軸線重合，a是中心距，Σ為軸交角，φA、φB、φC、LX、LY、LZ分別表示A軸、B軸、C軸、X軸、Y軸、Z軸的運動量。

圖3 砂輪、齒輪嚙合坐標系

刀具坐標系到工件坐標系的坐標變換矩陣M21：

式中：

M2p、Mp0、M01分別是坐標系S p(Op-Xp,Yp,Zp)到坐標系S2(O2-X2,Y2,Z2)、坐標系S(O-X,Y,Z)到坐標系S p(Op-Xp,Yp,Zp)、坐標系S1(O1-X1,Y1,Z1)到坐標系S(O-X,Y,Z)的變換矩陣。

坐標系S(O-X,Y,Z)坐標與坐標系S1(O1-X1,Y1,Z1)坐標的轉換關系為

設空間中有一點M（圖3），則有：

M點隨砂輪運動的速度v1和隨齒輪運動的速度v2為

式中：ω1為蝸桿砂輪的角速度；ω2為工件齒輪的角速度；兩者均為矢量，其標量單位為rad/s。

在S(O-X,Y,Z)坐標系下：

在電子齒輪箱[13]中：

式中：z1、z2分別為砂輪頭數和齒數；β、λ分別為齒輪螺旋角和刀具安裝角，單位為度；齒輪右旋時螺旋角為正，左旋時螺旋角為負；mn為法面模數，單位為mm；kB、kZ、kY為系數常量；砂輪右旋時kB=1，砂輪左旋時kB=-1。

當v02<0、β>0時，kZ=1；當v02<0、β<0時，kZ=-1；當v02>0、β>0時，kZ=-1；當v02>0、β<0時，kZ=1；當v01>0時，kY=1；當v01<0時，kY=-1。

砂輪和齒輪在M點的相對運動速度v12為

將式（4）、式（5）、式（8）～式（15）代入式（18）可得

1.3 齒面磨削紋理產生原理及紋理角度的表示

如圖4 所示，蝸桿砂輪相當于一個螺旋角很大的圓柱斜齒輪，在空間中與齒輪嚙合[14]。磨削過程中，刀具經過滑擦、耕犁和切削3 個過程切除材料。與此同時，會在齒面上形成一條條接觸跡線，每條接觸跡線上產生一個個磨削印痕（圖5）。磨削路徑的方向決定了磨削印痕的方向。理想狀況下，每個磨削印痕的形狀相同，砂輪與工件的磨削速比vw/vg決定了磨粒的磨削運動[15]。齒面的磨削紋理由一個個磨削印痕相連而成，所以可以通過控制每個磨削印痕的導向，即控制每個磨削印痕與齒向的夾角來達到宏觀上控制齒面磨削紋理的目的。

圖4 蝸桿砂輪與齒面示意圖

圖5 齒面磨削印痕示意圖

包絡齒面坐標和法向量在S2(O2-X2,Y2,Z2)坐標系中表示為

式中：rw′(ξ,τ,φB,LY,LZ)為蝸桿砂輪在S2(O2-X2,Y2,Z2)下的包絡齒面坐標；nw′(ξ,τ,φB,LY,LZ)為蝸桿砂輪在S2(O2-X2,Y2,Z2)下的包絡齒面法向矢量；LCB為MCB左上3 ×3 子矩陣。

蝸桿砂輪產生包絡齒輪的包絡齒面的必要條件為

如圖6 所示，蝸桿砂輪產生的包絡齒輪的包絡齒面與目標齒面坐標相同，向量方向相反。目標齒面法向量ng(ξ,τ,φB,LY,LZ)為

圖6 蝸桿砂輪表面與目標齒面示意圖

S1(O1-X1,Y1,Z1)坐標系中點M1的坐標為rw(ξ,τ)，過M1的蝸桿砂輪“齒向”切線與端截面漸開線的交點記為，其坐標為rw(ξ,τ)τ=0，蝸桿砂輪“齒向”切線用表示。

目標齒面齒向切向量nLEAD可表示為

齒面某一點M2的磨削印痕與齒向的夾角 α由nLEAD與v12的夾角表示

2 附加運動函數求解

常規蝸桿砂輪磨削加工后，齒面會形成規則的、α幾乎為0 的齒面紋理，這種紋理容易產生較大的嚙合噪聲。為了改善齒面紋理，生成不規則的有一定傾斜角的齒面紋理，則在X軸、Y軸和Z軸上分別施加多項式，生成齒面紋理角度與多項式系數的函數關系：

接下來，采用敏感度矩陣（SM）結合Levenberg-Marquardt（LM）算法確定運動軸（X軸、Y軸、Z軸）附加運動函數的各個系數。

構建敏感度矩陣Ms如下：

式中：N為單側齒面網格點數量，等式右邊矩陣為敏感度矩陣，即

式中：δ為表示變量變化量的符號。

多項式系數的變化量可以使用最小二乘法求解：

采用奇異值分解求Ms的偽逆

式中：U為2N×2N階酉矩陣；W為對角矩陣；VT為12×12階酉矩陣。

式中：矩陣W+為W的偽逆，將W的每個非零對角元素替換為它的倒數并裝置可以獲得W+。

SM 算法求解附加函數系數如圖7 所示，通過圖7 的計算流程求解附加運動函數系數。理論上將運動軸的附加運動補償到機床上，即可獲得需要的齒面紋理角度。

圖7 附加多項式系數計算流程

3 齒面紋理仿真

以 3?為齒面目標紋理角度，齒面網格劃分為72×40，敏感度矩陣Ms如下：

前文已經建立齒面紋理角度與機床運動軸附加運動多項式系數的關系，因此可根據需要的齒面紋理角度，求得X軸、Y軸和Z軸附加運動多項式系數，見表2。

表2 附加運動多項式系數

將求得的(ti,ξi,τi)和附加運動多項式系數代入式（26），獲得目標齒面的坐標以及每個點磨削印痕與齒向的夾角。然后進行齒面紋理仿真，如圖8 所示。

圖8 齒面紋理仿真

為了簡化仿真，使用半徑為dgr的球形磨粒。u為齒廓方向，v為齒向方向，h方向為齒面法向。以第n個磨粒為例，其球心為Q，與被加工齒面發生干涉，產生磨削印痕，磨削印痕的寬度為圖8 中的b，弧長ljk由Malkin S[15]建立的砂輪與工件的模型可知：

磨粒干涉區域任一點在干涉截面的干涉深度hi為

式中：ri∈[0,b/2]，hs為磨粒最大干涉深度。

磨齒齒面紋理具有相似性，我們用局部紋理來表示整個齒面的紋理。Reishauer 通過設置機床的LNS 參數，使得磨削過程中附加加工運動，從而得到圖9 所示的傾斜不規則的齒面紋理。

圖9 采用LNS 技術的齒面紋理[11]

圖10 所示為常規磨削過程產生的齒面紋理圖，可以看到齒面紋理是規則的且平行于齒向的。圖11所示為X、Y和Z軸附加運動后的齒面紋理。

圖11 X、Y 和Z 軸附加運動的齒面紋理

相比較于圖10 中常規加工的齒面紋理，施加附加運動后的齒面磨削紋理分布不規則且與齒向有3?的傾角；與圖9 中采用LNS 技術獲得的齒面紋理相比，也有較大的相似性，證明了本研究的可行性。

理論上，可以采用上述方法求解所需磨削齒面紋理角度的附加運動函數，在機床上對運動軸X軸、Y軸、Z軸進行補償，即可獲得所需的齒面紋理角度，實現對磨削齒面紋理的主動調控。

4 結語

（1）建立了齒輪與砂輪的模型，表示出齒輪和砂輪的坐標以及法向偏差，求得在齒輪坐標系、砂輪坐標系以及和它們固聯的坐標系下，砂輪與包絡齒面的坐標之間和向量之間的轉化。

（2）介紹了蝸桿砂輪磨削過程中，齒面磨削紋理產生的原理，給出齒面每個磨削印痕與齒向夾角的表示方法。結合蝸桿砂輪生成包絡齒面的必要條件，建立了齒面磨削紋理與運動軸附加運動的多項式系數的聯系。

（3）給出目標齒面紋理角度的求解方法，即采用敏感度矩陣（SM）結合最小二乘估計（LSE）確定運動軸（X軸、Y軸、Z軸）附加運動多項式的各個系數，通過對機床進行補償獲得目標齒面紋理角度，實現磨削齒面紋理的主動調控。

（4）對齒面磨削紋理進行仿真，生成不規則的 3?的齒面磨削紋理。與常規加工生成的齒面磨削紋理和采用LNS 技術獲得的齒面磨削紋理比較，該方法可以生成傾斜不規則的磨削齒面紋理，證明了本研究的可行性。