立足背景 積極聯想 審慎構思 適度融合
——對兩道解三角形試題命制過程的思考*

楊元韡

(江蘇省常州高級中學 213003)

數學檢測是評價數學教學和數學學習質量的重要方式,數學檢測離不開具有較高信度、效度和區分度的高質量的試題．因此,試題命制是日常數學教學的重要部分,同時也是教師重要的基本功之一．試題命制是一項創造性的勞動,往往需要經歷發現、聯想、探究、構思等一系列復雜過程．試題命制主要有基于母題的改編式命制與原創命制兩種類型,相對而言,基于母題的改編式命制更為容易些,值得一線教師去嘗試．通過試題的改編式命制,教師往往更能高屋建瓴地看待數學問題,更能從復雜的問題中析出深刻的背景,因此試題命制是提升教師專業素養很好的途徑．下文筆者將結合2022—2023學年第二學期常州市教育學會學業水平檢測高一數學卷的兩道解三角形試題的命制過程,談一談自己的思考．

1 第1道解三角形試題的命制過程

母題1 已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=c-2acosB．

(1)證明:B=2A;

母題2 (多選)在△ABC中,若a∶b∶c=4∶ 5∶6,下列結論中正確的有( ).

A．sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6

B．△ABC是鈍角三角形

C．△ABC的最大內角是最小內角的2倍

背景挖掘 母題1的第(1)問由條件a=c-2acosB證明B=2A,第(2)問又給出其他兩個邊的條件,求三角形面積,母題1是一道比較常規的解三角形問題．母題1給出了B=2A的一個充分條件a=c-2acosB．母題2的各選項維度不一,但是引起筆者興趣的是選項C(為正確選項)．據此,確定命題背景:邊長之比為4∶5∶6的三角形的最大內角是最小內角的2倍．

確定命題背景之后,展開聯想,從不同的角度進行嘗試,設定已知條件與問題．

聯想與構思1 以邊的關系為已知條件,以角的關系為問題,擬定下列試題1．

試題1已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足下列條件中的一個:① sinA∶sinB∶sinC=4∶6∶5;②a=c-2acosB．

若選擇條件(在條件①,②中選擇一個),求證:B=2A．

聯想與構思2 以角的關系和部分邊的關系為已知條件,以求角或求邊為問題,擬定下列試題2．

試題2已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且B=2A,3a=2b,c=5．

(1)求cosB的值;

(2)求△ABC的周長．

試題1,2評析試題1從兩個條件中選擇一個條件(條件的結構不良),雖然維度不同,但試題本身略顯單薄;試題2主要的缺點在于,若將B=2A轉化為sinB=sin 2A,就會出現兩解的情況(兩者不等價造成的),要進行舍解(過程參見下面定稿試題(1)解析),最后求出周長．試題2就成為一道有“陷阱”的題目,學生很可能因為思維縝密性不夠而丟分．筆者對試題1,2都不滿意．

聯想與構思3 結合母題2命制了第(1)小問后,筆者將試題2的(2)仍作為第(2)問．如何消除試題2中的“陷阱”?可讓學生先證明三角形的唯一性,再去求其周長,使學生明確取舍這一要求.據此命制如下定稿試題1,該題不設“陷阱”,還能從多個角度加以解決,不禁錮學生的思維．

定稿試題1(試卷第21題)已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足下列條件中的一個或多個:①a=c-2acosB;②B=2A;③ 3a=2b;④c=5．

(1)若△ABC滿足條件①,求證:△ABC滿足條件②;

(2)求證:同時滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,并求出其周長．

解析 (1)由條件①,a=c-2acosB,根據正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB,因為A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+ cosAsinB,所以sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin(B-A)．因為0

綜上所述,同時滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周長為15．

當b=6時,a=4,檢驗過程同方法1,得△ABC同時滿足條件②,③,④;

綜上所述,同時滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周長為15．

(方法3)先證明條件①與②等價:根據(1)知,只需證明當B=2A時,有a=c-2acosB．

證明如下:因為B=2A,所以A=B-A,所以sinA=sin(B-A),所以sinA=sinBcosA- cosBsinA,所以sinA=sin(A+B)-2cosBsinA,又A+B+C=π,所以sinA=sinC-2cosBsinA,根據正弦定理,a=c-2acosB.

綜上所述,同時滿足條件②,③,④的△ABC是唯一的,且a=4,b=6,c=5,故△ABC的周長為15．

評析定稿試題1從內容層面考查了正弦定理、余弦定理等數學基本知識,從能力層面考查了轉化與化歸、推理與論證、數學計算等能力．本題入口較寬,方法多樣,可以從兩角相等出發,利用兩角的正弦值相等或兩角的余弦值相等去尋找邊的方程,有效地訓練學生的數學思維能力.方法1、方法2中,利用正弦值相等出現多解的原因是B=2A與sinB=sin 2A并不等價,前者是后者的充分不必要條件,檢驗時舍去的情形恰是B+2A=π的情形;方法3中,根據第(1)問的啟發進行有效的轉化;方法4中,利用余弦值相等只有一解的原因是B=2A與cosB=cos 2A是等價的,其難點主要是解高次方程,可以用猜根的方式求得一解后再用因式分解來突破．

2 第2道解三角形試題的命制過程

圖1

(1)若∠BDC=45°,求線段AC的長;

(2)求線段AC長的最大值．

聯想與構思1 確定了命題背景之后,展開聯想,改編條件,擬定下列試題3．

圖2

(2)試用θ表示對角線AC的長,并指出θ取何值時AC的長最大．

在一次組內教研活動中,一位同事問道:在一個解三角形問題求解結果中,如果出現平面凹四邊形的情況要不要舍去?筆者一時難以回答,平面四邊形的確分為平面凸四邊形和平面凹四邊形,而高中階段學生往往遇到的是平面凸四邊形．

聯想與構思2 同事問的問題觸發筆者的靈感,將試題3進一步改編．以平面凸四邊形為背景,編擬如下的新情境題．

圖3 圖4 圖5

(1)求cosθ的取值范圍;

(2)試用θ表示對角線AC的長,并指出θ取何值時AC的長最大．

3 對兩道試題命制過程的思考

3.1 立足背景,使試題命制的根基更扎實

在命題之前選好背景,使命制的試題題干中的對象至少是存在且相容的．有些時候,我們按照某種演繹推理的方式去解決某個問題時,也能得到相應的結果,但很可能其大前提的條件之間就是自相矛盾的．如果事先選好背景,就可以避免出現這類不易被察覺的自相矛盾的情形．值得注意的是,選好背景之后還要仔細推敲,防止出現背景相對應的情形之外還有其他情形,如果需要規避其他情形的出現,命題時可加一些條件加以限制;如果不需要規避其他情形的出現,則無需限制．例如,定稿試題1本身不會出現背景外的情形,因此也沒有給出額外的限制條件,但是方法1和2因為轉化的不等價還是出現了其他情形,需要進一步檢驗排除．

3.2 積極聯想,使試題命制的維度更廣闊

根據背景積極聯想,應盡可能多地進行條件預設和問題預設,比較每一種預設的優點與不足,選擇最佳的條件預設與問題預設,當然這些最佳的預設也未必是唯一的．條件與問題很多情況下是可以置換的,如交換部分條件與問題的位置就可以得到新的問題,這種置換常見于教學中變式題組的問題設計,也可以用于試題的命制．通過積極聯想,可以把一個題目通過不斷的變形,如置換部分條件與問題,如弱化條件、變形引申、問題一般化等,生成一個個生動活潑的“衍生題”,讓試題命制的維度更為廣闊．

3.3 審慎構思,使試題命制的預設更合理

審慎構思,就是要對命制的試題的每一個條件與結論進行構思,并進行細致入微的審核,避免出現多余條件或缺少條件的情況發生,還要“仿真模擬”學生的想法,即要對學生審題的過程、設計解題思路的過程、具體的表達過程等環節做好預判,思考學生如何尋找切入點,如何轉化條件,如何轉換目標等．同時也要注意,避免出現人為的“陷阱”題,讓試題更加有效地測試學生的核心素養與關鍵能力．例如,定稿試題1的唯一性證明目的在于規避這種“陷阱”的發生．

3.4 適度融合,使試題命制的內涵更豐實

適度融合,包含知識之間的適度融合、方法之間的適度融合、情境與問題之間的適度融合,等等,這樣可以使命題的內涵更加豐實．例如知識之間的適度融合、方法之間的適度融合可以讓一題有多用,考查多個知識點或多種方法、情境與問題之間的適度融合可以考查學生提取信息、加工信息、處理信息的能力以及轉化與化歸的能力．定稿試題1將母題1和母題2的考查有機地融合在一起,定稿試題2將新情境植入具體問題中,對轉化與化歸能力的考查更加“濃墨重彩”．值得注意的是,適度融合必須在條件與問題的表達上仔細推敲,避免出現題目生拼硬湊的現象．