中職數學解題技巧之“數”“形”結合

張澤潤

【摘要】解題教學一直都是中職數學教學的重中之重.在解題教學中滲透數學思想有利于增進學生對數學解題技巧的感悟，進一步提高學生審題、解題的效率.文章基于中職數學解題教學實際教情對應用數形結合思想傳授學生解題技巧展開研究，在指出“數”“形”定義、介紹數形結合思想的同時，結合高教版課程教學案例指出教師可以從以形助數、以數解形、數形結合三個層面出發落實解題教學工作，希望為提升中職數學解題教學質量提供參考.

【關鍵詞】中職數學；解題；數形結合；技巧

中職數學解題教學中，教師應認識到“數”與“形”的教育價值，同時結合中職數學解題教學的根本需求合理設計解題教學方案，引導學生在以形助數、以數解形、數形結合的過程中體會化簡問題、轉換問題的方法，進一步豐富學生的解題技巧.

一、“數”與“形”的定義及數形結合思想的應用價值

（一）“數”與“形”的定義

“數”是一種抽象的概念，用于表示長短、多少、高低等，本質上是一種度量符號.在數學研究中，“數”的定義十分廣泛，包括整數、分數、小數、無理數、負數、用字母表示的數、方程、函數、代數等.“形”是一種直觀概念，指的是可以看得見的圖形.在數學研究中，“形”可以指代直線、圓、三角形、球、正方體、雙曲線、正方形等多種可以用肉眼直接觀察的圖形.

（二）數形結合思想的應用價值

“數”與“形”相互依存，也可以相互轉化.數形結合思想的應用價值主要體現在以下兩方面：一方面，有助于加深學生對數學解題理論的理解.數學解題理論包括數學概念、數學性質、數學方法等多項內容.中職數學教學內容具有一定的抽象性，直接為學生講解的話，無法使其在第一時間領會解題理論，會限制其解題能力的形成與發展.借助數形結合思想，教師可以用直觀的圖示將復雜、抽象的數學理論展示出來，增進學生對數學理論的理解，進一步提升學生的解題能力.另一方面，有利于提升學生數學解題思維的靈活性.中職數學解題教學涉及一些形式新穎、內容復雜的數學習題.常規思路無法快速、高效地解決此類問題，容易使學生產生負面的解題情緒.將數形結合思想用于中職數學解題教學中，有利于引導學生從“數”“形”兩個角度分析數學問題，讓其在形轉數、數轉形的過程中開展一系列的思維活動，增強學生的思維靈活性，使學生總結出更多的解題技巧.

二、“數”“形”結合解決中職數學問題的基本技巧

（一）以形助數，加強直觀，快速解決問題

中職數學解題教學中的代數問題具有抽象性強、復雜程度高的特征.應用以數解數的方法可以解決大部分代數問題，但其解題過程復雜，錯誤率高.在解決代數問題時，教師可以指導學生應用以形助數的方法解決代數問題，將代數問題轉化為直觀、具體的圖形簡化問題，幫助學生快速確定解題思路，快速解決代數問題.

1.用“形”助力集合問題求解，提高學生審題能力

審題是解決數學問題的第一項程序，也是正確解題的關鍵.讓學生掌握審題技巧可以極大程度地縮短學生的審題時間，從而提高學生的解題效率.集合問題看似抽象，但應用數形結合思想卻可以快速提煉題目的主干信息，從而確定解題思路，加快解題步伐.解決集合問題時，教師可以指導學生根據題意繪制數軸圖、文氏圖等多種圖形，讓學生在繪圖、看圖的過程中明確題目關鍵信息，確定問題求解思路，為高效解題奠定基礎.

以高教版“集合的運算”一課的解題教學為例，教師可以先應用多媒體課件呈現典型例題，再指導學生用以形助數的方式解決問題.

2.用“形”助力不等式問題求解，提高學生解題效率

不等式問題是中職數學解題教學中的常見問題.很多學生在解不等式問題時習慣性地使用作差法、作比法等代數方法.然而，此類方法的計算量較大，對學生的運算能力要求較高.部分學生存在運算能力差、馬虎的問題，得出的運算結果準確率不高，繼而影響不等式問題的求解質量.為此，教師可以指導學生應用“形”解決不等式問題，讓學生在直觀看圖的過程中比較大小，從而提高學生的解題效率.

（二）以數解形，細致入微，巧妙解決問題

中職數學解題教學中的幾何問題具有直觀性強的特征.但是，直觀性強并不意味著題目簡單.很多學生在解決幾何問題時缺乏解題思路，最終解題失敗.對此，教師可以指導學生應用以數解形的方法解決此類問題，通過為圖形賦值等方式幫助學生理解圖形的真正含義，從而幫助學生確定解題方向，巧妙解決幾何問題.

1.用“數”助力立體幾何問題求解，培養學生直觀想象素養

立體幾何問題看似簡單，實則不易解決.由于部分學生缺乏良好的幾何直觀、數學聯想、數學抽象等能力，不能在解題時快速找到“題眼”，導致幾何問題解決效率低下.為此，教師可以將數形結合思想用于立體幾何解題教學中，通過指導學生應用代數的方法解決立體幾何問題，為學生指明解決立體幾何問題的方向，從而提升其數學直觀水平，使學生能夠巧妙地解決立體幾何難題.

以高教版“柱、錐、球及其簡單組合體”一課的解題教學為例，有問題如下：

2.用“數”助力解析幾何問題求解，培養學生邏輯推理素養

解析幾何具有點與實數對一一對應、曲線與方程一一對應的特征，是中職數學幾何教學的重點內容.在中職數學解題教學中，解析幾何問題多體現為求直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系，等等.同時，受題目信息限制，很多時候學生無法應用幾何方法求證直線與圓、圓與圓的位置關系，不能正確解答數學題目.為此，教師可以在教學中滲透數形結合思想，指導學生應用代數的方式進行邏輯推理，構建數學模型，以此求解出問題答案.

以高教版“兩點間的距離與線段中點的坐標”一課的解題教學為例，

例4 已知△ABC的三個頂點分別為A（1，0），B（-2，1），C（0，3），試求BC邊上的中線AD的長度.

（三）數形結合，綜合應用，高效解決問題

數形結合百般好，隔離分家萬事休.我國數學家華羅庚的這句名言說明了“數”“形”結合的重要性.在中職數學解題教學中，很多學生在解題時存在解題視野局限、解題思路單一的問題，不能高效解決數學問題.為此，教師可以在解題教學中滲透數形結合思想，指導學生綜合代數、幾何的相關知識解決問題，從而提高學生靈活解決數學應用問題的能力.

以高教版“函數的應用”一課的解題教學為例，教師可以為學生呈現典型例題：

例5 已知f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值記為h（t），請寫出h（t）的表達式.

針對這一例題進行解題教學時，教師可以先給學生3～5分鐘的時間自主思考，之后應用數形結合思想進行思路點撥：依據函數f（x）=x2+3x-5的對稱軸與區間的位置關系，結合函數圖像確定f（x）在x∈[t，t+1]上的增減情況，進而可以明確在何處取最小值.之后，教師可以在黑板上演繹解題過程，讓學生學習更加新穎的解題方法：

通過解題可以發現，將數形結合思想用于函數問題的求解，可以使函數問題變得清晰、直觀，有利于學生明確自身解題思路，從而快速求解函數問題.解題教學中，教師應抓住數形結合思想的滲透時機，同時不斷組織類似的演繹教學活動，以此加深學生對數形結合思想的認識，提升學生的數學解題思維水平.

結束語

中職數學教學以培養學生的數學抽象、建模應用、幾何直觀等核心素養為主要教學追求，將更多教學資源融入數學解題教學是非常有必要的.在具體的解題教學過程中，教師應把握“數”“形”的本質，根據“數”“形”之間的具體關聯合理開展解題教學工作，以此鍛煉學生的審題、析題、解題能力，有效培養中職學生的數學學科綜合素養.

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