抽象函數不“抽象”

冼虹雁

引例：（2023年高考全國Ⅰ卷第11題）已知函數f（x）的定義域為R，f（xy）=y2f（x）+x2f（y），則（）

A．f（0）=0B．f（1）=0

C．f（x）是偶函數 D．x=0為f（x）的極小值點

分析：本題題干簡潔，但內涵豐富．主要考查了抽象函數的值及性質，要求考生在理解抽象函數概念的背景下，探析問題的本質，會通過化歸轉化思想、方程與函數思想運算求解，對數學抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養都有較高的要求．注意到本題中的x，y具有任意性，結合選項對變量x，y賦特殊值0，1，-1等即可．

解析：由f（xy）=y2f（x）+x2f（y），

令x=y=0，f（0）=0f（0）+0f（0）=0，故A正確．

令x=y=1，f（1）=1f（1）+1f（1），則f（1）=0，故B正確．

令x=y=-1，f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1），則f（-1）=0，

再令y=-1，f（-x）=f（x）+x2f（-1）=f（x），

又函數f（x）的定義域為R，所以f（x）為偶函數，故C正確．

對于D，不妨令f（x）=0，顯然符合題設條件，此時f（x）無極值，故D錯誤．故選ABC．

抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖像，只給出一些函數符號及其滿足條件的函數，如函數的定義域、遞推式、特定點的函數值、特定的運算性質等．它是高中函數部分的難點，也是大學高等數學函數部分的一個銜接點．由于抽象函數沒有具體的解析式作為載體，因此理解起來比較困難，所以求解抽象函數的問題需要有嚴謹的邏輯思維能力、豐富的想象力以及函數知識靈活運用的能力．抽象函數的試題在近幾年的高考中均有不同的形式出現．以下是筆者總結的探究抽象函數問題的常見方法策略，以期拋磚引玉．

一、賦值策略

賦值策略是指根據題目所給條件，通過觀察、分析、類比、聯想等思維活動，對變量賦予特殊值或特殊式，從而使問題解決，并具有一定的規律性．這種策略在解決抽象函數問題時具有獨特的功效，它簡單方便，是探求抽象函數問題的一種常用的思維策略．

二、整體策略

這類問題只要緊緊抓住：將函數f［g（x）］中的g（x）看作一個整體，相當于f（x）中的x這一特性，問題就會迎刃而解．

例2．已知函數f（-x2+4x-1）的定義域為［0，m］，則可求得函數f（2x-1）的定義域為［0，2］，求實數m的取值范圍．

解析：∵函數f（2x-1）的定義域為［0，2］，即0≤x≤2，∴-1≤2x-1≤3，

∴函數f（x）的定義域為［-1，3］．

令t=-x2+4x-1，則-1≤t≤3，由題意知，當x∈［0，m］時，t∈［-1，3］，作出函數t=-x2+4x-1的圖像.

由圖可得，當2≤m≤4時t∈［-1，3］，∴實數m的取值范圍是2≤m≤4．

點評：本題中f（-x2+4x-1）、f（x）、f（2x-1）中的x不是同一個量，當f（x）的定義域為［-1，3］時，f（-x2+4x-1）和f（2x-1）分別是-x2+4x-1和2x-1的函數． 解答的

三、“定義”策略

（1）求證f（x）是奇函數；

（2）求f（x）在區間［-3，3］上的最大值和最小值．

解析：（1）證明：令x=0，y=0可得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．

令y=-x可得f（-x）+f（x）=f（0）=0，所以f（-x）=-f（x）．

函數定義域為R，所以f（x）是奇函數．

（2）先證明函數的單調性，證明過程如下：

任取x10．

因為f（x+y）=f（x）+f（y），

所以f（x1）-f（x2）=f［（x1-x2）+x2］-f（x2）=f（x1-x2）+f（x2）-f（x2）

=f（x1-x2）>0，即f（x1）>f（x2），所以f（x）在R上單調遞減．

所以f（x）min=f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-1，

f（x）max=f（-3）=-f（3）=1．

點評：本題考查了抽象函數奇偶性、單調性的綜合應用，解題的關鍵緊扣定義、精巧賦值，請特別留意在證明奇偶性、單調性的賦值技巧．

四、“穿脫”策略

加上函數符號“f”即為“穿”，去掉函數符號“f”即為“脫”．對于有些抽象函數，可根據函數值相等或函數的單調性，實現對函數符號“f”的“穿脫”，以達到簡化解題的目的．

（1）證明：f（x）在定義域上為增函數；

（2）若f（2a+1）>f（4a），求a的取值范圍．

點評：本題主要考查抽象函數的定義域、抽象函數的單調性及解抽象函數不等式．根據抽象函數的單調性解不等式應注意以下三點：（1）一定注意抽象函數的定義域（這一點是同學們容易疏忽的地方，不能掉以輕心）；（2）注意應用函數的奇偶性（往往需要先證明是奇函數還是偶函數）；（3）化成如f［g（x）］>f［h（x）］后再利用單調性和定義域列不等式（組）．

五、數形結合策略

遇到有關抽象函數問題，一定要有數形結合的思想意識，其關鍵是畫圖、用圖．一般來說，抽象函數無圖像，但可根據題設中所給的抽象函數性質，畫出符合題意的草圖，通過觀察、對比，運用數形結合思想全面判斷，并做定量分析，可使抽象函數形象化、具體化、直觀化，從而減少推理、計算量．

例5．已知定義在R上的函數f（x）在（-∞，-4）上是減函數，若g（x）=f（x-4）是奇函數，且g（4）=0，則不等式f（x）≤0的解集是（）

A．（-∞，-8］∪（-4，0］

B．［-8，-4）∪［0，+∞）

C．［-8，-4］∪［0，+∞）

D．［-8，0］

解析：∵g（x）=f（x-4）圖像的對稱中心為（0，0），

∴函數f（x）圖像的對稱中心為（-4，0）．

又函數f（x）在（-∞，-4）上是減函數，

∴函數f（x）在（-4，+∞）上為減函數，且f（-4）=g（0）=0．

∵g（4）=f（0）=0，∴f（-8）=0．

畫出函數f（x）圖像的草圖（如圖）．

結合圖像可得f（x）≤0的解集是［-8，-4］∪［0，+∞）．故選C．

點評：本題考查抽象函數的性質及利用數形結合求不等式的解集．解題時要從函數f（x）的性質入手，同時也要把函數g（x）=f（x-4）的性質轉化為函數f（x）的性質，進一步得到函數f（x）的單調性和對稱性，進而畫出其圖像的草圖，根據圖像寫出不等式的解集．其中在解題中不要忘了f（x）是定義在R上的函數，故應該有f（-4）=g（0）=0這一結論，即函數f（x）的圖像中要有（-4，0）這個點．

六、模型策略

模型策略，就是根據題設所給的抽象函數性質，通過聯想與類比，大膽猜想生成抽象函數的原始模型，作出目標猜想，利用模型函數的有關性質去探索解題方法．對于選擇題和填空題，可用模型函數直接解決．對于解答題，模型函數只能起到啟迪思路、檢驗結論的作用，解題時還必須從題設條件出發加以演繹推理，再證明或運算，切不可用特殊代替一般，發生邏輯上的錯誤．

點評：高中階段所學的抽象函數大都是由特殊的、具體的基本函數為背景的．所以解題時，若能先從探究函數模型入手，通過對題設條件的結構特征進行觀察、分析、類比、聯想，化抽象為具體，尋找出具體的函數模型，進而快速求解．熟練掌握一些具有特定結構特征的基本初等函數類型（特別是冪函數、指數函數、對數函數以及三角函數等），為解決此類問題的特殊函數模型思維提供理論依據，也是綜合創新應用的基礎．常見抽象函數方程對應的原型函數見下表．

f（x）在-e-12，0上單調遞增，在（-∞，e-12）上單調遞減．

顯然，此時x=0是f（x）的極大值，故D錯誤．

七、“結論”策略

涉及抽象函數綜合創新應用問題中，經常需要用到一些函數的基本性質，如函數的奇偶性、單調性以及周期性、對稱性等相關的結論．借助相關的基本性質結論，可以很好快捷分析與推理，借助相應的數學運算、邏輯推理、直觀模型等來綜合應用，從而優化過程，提升效益．

1.對稱的常見形式與結論

2.雙對稱（軸對稱、中心對稱）與周期性

例7．已知定義域為R的函數f（x）滿足f（3x+1）是奇函數，f（2x-1）是偶函數，則下列結論錯誤的是（ ）

A．f（x）的圖像關于直線x=-1對稱

B．f（x）的圖像關于點（1，0）對稱

C．f（-3）=1

D．f（x）的一個周期為8

解析：由題意知f（3x+1）是奇函數，即f（-3x+1）=-f（3x+1），∴f（-x+1）=-f（x+1），

即f（-x+2）=-f（x），即f（x）+f（-x+2）=0，

故f（x）的圖像關于點（1，0）對稱，B正確；

又f（2x-1）是偶函數，故f（-2x-1）=f（2x-1），∴f（-x-1）=f（x-1），

即f（-x-2）=f（x），故f（x）的圖像關于直線x=-1對稱，A正確；

由以上可知f（x）=f（-x-2）=-f（-x+2），即f（x-2）=-f（x+2），

所以f（x+4）=-f（x），則f（x+8）=-f（x+4）=f（x），

故f（x）的一個周期為8，D正確；

由于f（-3x+1）=-f（3x+1），令x=0，可得f（1）=-f（1），∴f（1）=0，

而f（x）的圖像關于直線x=-1對稱，故f（-3）=0，C錯誤，故選C．

點評：此類抽象函數的性質的判斷問題，一般要注意根據函數的相關性質的定義去解答．比如奇偶性，采用整體代換的方法，往往還要結合賦值法求得特殊值，進行解決．解析過程中使用了部分“二級結論”，確實起到了“事半功倍”的效果．但需要提醒的是：解題時不要盲目“死記硬背”、“生搬硬套”，一是因為這些性質結論非常多，本文只節選了部分；二是因為考題不是“一成不變”而是“千變萬化”的．數學學習只有回歸本源，注重數學概念的本質與內涵，加強知識間的聯系及綜合，關注數學思想方法，突出思維的靈活性、深刻性，避免機械刷題．

八、“構造函數”策略

分析、解決“以抽象函數為載體，題設條件中設置與導數有關的不等式（或等式），且目標問題是求解相關不等式的解集，或者比較大小”問題時，往往需要我們結合加、減、乘、除的求導運算法則，靈活構造新函數，然后借助導數知識分析新函數的相關性質（如單調性、奇偶性），進而利用新函數的性質解決目標問題．

所以6 f（2021）＜3 f（2022）＜2 f（2023）．

故選A．

函數的特征是通過函數的性質（如特殊點、奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）反映出來的，抽象函數也不例外．要充分利用題設所表明（或隱含）的條件，靈活、綜合選擇合適的方法策略對解題能起到十分重要的作用．對于以上方法策略的理解、掌握、應用，則需要在平時的學習中多體會與感悟，這樣才能游刃有余地解決此類問題．抽象函數問題才能峰回路轉，柳暗花明．

精題集萃

1．已知函數f（x+1）的定義域為［-2，3］，則函數

2．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2），f（1）=4，則f（3）+f（10）的值為．

答案：4.

解析：由f（x+4）=f（x）+f（2），令x=-2，得f（-2+4）=f（-2）+f（2）．

又f（x）為偶函數，∴f（-2）=f（2），∴f（2）=0．

∴f（x+4）=f（x），∴f（x）的周期為4．

又f（1）=4，

∴f（3）+f（10）=f（-1）+f（2）=f（1）+f（2）=4+0=4．

3．已知f（x）是定義域為R的偶函數，f（5.5）＝2，g（x）＝（x-1）f（x）．若g（x＋1）是偶函數，則g（-0.5）＝（）

A．-3B．-2C．2D．3

答案：D.

解析：g（x+1）為偶函數，則g（x）關于x=1對稱，即g（x）=g（2-x），

即（x-1）f（x）=（1-x）f（2-x），即f（x）+f（2-x）=0，

∴f（x）關于（1，0）對稱，又f（x）是定義域為R的偶函數，

∴f（x）=-f（2-x）=-f（x-2），

∴f（x-4）＝f［（x-2）-2］＝-f（x-2）＝-［-f（x）］＝f（x），即f（x-4）＝f（x），

∴f（x）周期為4，∴f（5.5）=f（1.5）=f（-2.5）=f（2.5）=2，

∴g（-0.5）=g（2.5）=1.5f（2.5）=3．故選D．

4．定義域為R的偶函數f（x）滿足對x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈［2，3］時，f（x）=-2x2+12x-18，若函數y=f（x）-loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是．

解析：∵f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定義域為R的偶函數，

令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），

又f（-1）=f（1），∴f（1）=0 則有f（x+2）=f（x），

∴f（x）是最小正周期為2的偶函數．

∵函數y=f（x）-loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，

令g（x）=loga（x+1），則f（x）的圖像和g（x）的圖像至少有3個交點．

∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0

要使函數y=f（x）-loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，

則有g（2）>f（2），可得loga（2+1）>f（2）=-2，

5．（多選）已知函數f（x）為R上的奇函數，g（x）=f（x+1）為偶函數，下列說法正確的有（）

A．f（x）圖像關于（-1，0）對稱

B．g（2023）=0

C．g（x）的最小正周期為4

D．對任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x）

答案：BCD.

解析：設f（x）=cosπx，易知BCD正確．

7．已知定義在R上的可導函數y=f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）

答案：（0，+∞）.

8．已知函數f（x）的定義域是（0，+∞），當x>1時，f（x）>0，且f（x·y）=f（x）+f（y）．

（1）求f（1）；

（2）證明：f（x）在定義域上是增函數；

解析：（1）∵f（x·y）=f（x）+f（y），

∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0.