面向幾何直觀的代數推理
——以初中學段函數作圖內容為例

黃邵宏 王光生

? 陜西師范大學數學與統計學院

1 問題提出

核心素養具有整體性、一致性和階段性,在不同階段具有不同的表現.《義務教育數學課程標準(2022年版)》提出了初中階段數學核心素養的九種表現形式,其中包含幾何直觀和推理能力.

數學核心素養之間是密不可分、相輔相成的,幾何直觀和推理能力亦然.直覺與邏輯的完美結合是數學發展與學生思維發展的根本之道,應該追尋直覺背后的邏輯與引領邏輯的直覺.在培養學生幾何直觀素養的同時,也要注重學生邏輯推理素養的協同發展,更需要挖掘二者之間的聯系,以促進學生思維的發展.代數推理是邏輯推理素養的重要組成部分,幾何直觀同樣也是直觀想象的關鍵部分.由于初中學段尚未提出核心素養的概念,本研究聚焦代數推理和幾何直觀.為此,培養學生關鍵能力,厘清二者之間的脈絡至關重要.本研究從初中學段函數內容出發,例說代數推理對幾何直觀的促進作用,把幾何直觀視為代數推理的起點之一.

函數是中學數學課程內容的主線之一,也是學習的關鍵.依據初中數學學習的知識序,學生先學習函數的解析式,再利用列表、描點、連線三部曲,作出函數的圖象.由此,引發一些思考:

(1)這種作圖方法針對簡單的一次函數尚可,對于更深層次的反比例函數、二次函數等如何恰當列表?

(2)為何有的函數圖象是直線,有的函數圖象是曲線,有的函數圖象只是一些點?

(3)反比例函數、二次函數描點以后,為何使用光滑的曲線而非折線來連接?

如果能夠先對函數解析式進行簡單的代數推理,猜出函數的大致圖象,就能恰當把握好列表、描點、連線的過程,進而得到精準的函數圖象,同時對后續高中、大學學段函數模塊學習提供很大的幫助.

2 案例展示

2.1 正比例函數圖象的教學——猜圖象

已知正比例函數解析為y=kx(k≠0),不妨設k>0,此時可取y=2x.

根據表1中的推理,猜出函數y=2x的圖象如圖1所示.

圖1

作函數y=2x圖象的啟示:通過對解析式y=2x進行簡單的代數推理,學生猜出y=2x的圖象,經歷直觀感受,列表時會聚焦坐標原點,向正負半軸取點,滿足列表的需求;這些點分布在第一、第三象限,保證了描點的精確性;明確圖象是一條直線,連線時可落筆出圖.代數推理使得數學教學更具有流暢性,而教學的流暢性能使得學生具備良好的數學學習心理準備狀態,從而更加輕松完成數學學習過程.此外,還可讓學生自主完成k<0時猜圖象的過程,實現代數推理對幾何直觀的輔助作用.

2.2 一次函數圖象的教學——猜圖象

已知一次函數解析為y=kx+b(k≠0),不妨設k>0,b>0,此時可取y=2x+3.

根據表2中的推理,猜出函數y=3x+3的圖象如圖2所示.

圖2

表2 y=2x+3的簡單代數推理

作函數y=2x+3圖象的啟示:通過對解析式y=2x+3進行簡單的代數推理,學生猜出y=2x+3的圖象,對其有了直觀的認識.由代數推理猜出函數圖象過兩定點,不難發現(0,3)是一個整點,可以據此作為列表的基調;同時,函數經過第一、第二、第三象限,說明需要圍繞點(0,3)向左和向右取點,列表水到渠成;兩點、三象限限制落點的范圍,函數圖象大棋盤井然有序,接著順次把點連,函數圖象筆下生.對于水平較高的學生,依據一次函數圖象可由正比例函數圖象平移得到,明確其圖象為一條直線,再結合兩點確定一條直線,可直接得到一次函數圖象.“經驗重構”心理水平是后天學習活動的過程性結果,是長期“做數學”和“用數學”的經驗緩存和補償.從某種意義上來說,猜函數圖象為這部分學生提供了經驗重構系統,實現了經驗重構,從而找到作一次函數圖象的便捷方法;亦可改變k,b的正負,讓學生自主完成知識的遷移,猜出其他類型一次函數的圖象,進而更流暢地作出一次函數的圖象.

2.3 反比例函數的教學——猜圖象

表的簡單代數推理

圖3

(1)函數圖象在原點是間斷的;

(2)列表分兩步,可以先列x軸正半軸部分,再列負半軸部分;

(3)圖象越來越接近x軸和y軸,說明函數圖象是非均勻變化的,應為曲線而非折線;

(4)圖象關于原點和直線y=x對稱,使學生在描點和連線時更加流暢,同時水平稍高的學生可由第一象限的圖象對稱得到第三象限的函數圖象.

由此可見,猜函數圖象讓學生由式想形,亦可遷移完成k<0時的代數推理,突破了對反比例函數圖象的認知障礙,可高效完成反比例函數圖象的繪制.

2.4 二次函數的教學——猜圖象

初中數學二次函數圖象的學習始于函數y=x2,在作函數圖象之前,先對y=x2進行簡單的推理.

根據表4中的推理,猜出函數y=x2的圖象如圖4所示.

圖4

表4 y=x2的簡單代數推理

作函數y=x2圖象的啟示:對于剛接觸二次函數的學生來說,二次函數是個函數與一元二次方程結合的“怪物”,猜函數的圖象讓學生提前窺探其真面目.經過對解析式y=x2進行簡單的代數推理,學生猜出y=x2的圖象,對其具有直觀感受,提供簡易作圖支持系統:

(1)列表時聚焦坐標原點,向正負半軸取點,干凈利落;

(2)點分布在第一、第三象限,描點心中有數;

(3)心中非均勻,筆下曲線連.y軸對稱可取巧,先畫半軸再翻折.

不難看出,猜出函數y=x2的圖象,揭開了二次函數的神秘面紗,從而就能較為輕松作出二次函數的圖象.結合平移知識,亦可讓學生猜出函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象,體現代數推理對于幾何直觀的輔助功能.

3 根據代數推理猜函數圖象的過程

根據函數解析式進行代數推理猜函數圖象的過程如圖5所示.

圖5

4 總結與反思

4.1 凸顯解析式推理的魅力

根據解析式進行代數推理的魅力如圖6所示.

圖6

4.2 積累由數想形的基本活動經驗

郭玉峰、張芳的研究表明,歸納概括、類比推廣、數學表達、證明是數學基本活動經驗的4個關鍵因素,是學生數學創新能力培養的關鍵.通過解析式的簡單代數推理猜出函數圖象這一過程蘊含歸納、數學表達的基本活動經驗.在學習了正比例函數圖象后,學生已經具備了歸納和數學表達的能力.而正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數屬于同類知識,猜函數圖象本質上是一致的,因此可以進行類比推廣,提高學習效率,參見表5.

表5 猜函數圖象情況一覽表

從表5中不難發現,學習新函數時,學生對函數圖象是陌生的,圖象知識為0.同類知識學習過程中思維排序為at2>t3>t4,經驗的積累、思維的提升使得學習的時長不斷降低,契合大單元教學的模式和理念.

4.3 領會數形結合的基本數學思想

始于千古第一大定理——勾股定理,感悟幾何與代數結合的美,至此數形結合不僅作為解決數學問題的工具,更被提煉成一種數學思想.函數可以視為數形結合的代名詞,但僅僅把函數解析式與三部曲圖象的聯系視為數形結合遠遠不夠,數形結合不是單行線,其過程是生生不息、循環往復的.如圖6,通過代數推理,由數猜形,由推理結果確定列表、描點、連線的過程是由形寫數,再通過三部曲作出函數圖象是由數定形,最后通過函數圖象驗證函數解析式是由形驗數.只有經歷循環往復的數形轉化才能從真正意義上領會數形結合思想,內化于心,外化于行.

4.4 把握函數內容的整體性

數學整體性教學的要求是:“數學知識的教學,要注重知識的‘生長點’與‘延伸點’,把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中,注重知識的結構和體系,處理好局部知識與整體知識的關系,引導學生感受數學的整體性,體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同層次進行理解.”根據函數解析式,進行簡單的代數推理猜出函數圖象這一過程,由數猜形,再由形驗數,對于函數內容的學習具有普適性.從一次函數到反比例函數、二次函數,再到高中、大學學段的函數學習均有重要的作用,表明函數內容是一個有機整體,不可分割.每一類函數圖象猜的過程核心都不變,但猜的結果不盡相同,正體現了知識的“生長點”與“延伸點”.因此,教師在教學中引導學生猜函數圖象的活動,把握住了整體教學觀,站在了教學的高起點,有助于學生建立良好的認知結構.