緊扣知識生長點,讓思維在“重溫”中飛揚
——對“最值問題”專題復習課的剖析與思考

丁 潔

?無錫市河埒中學

中考第二輪復習一般設為專題復習課,是在一輪復習——夯實“四基”的基礎上,注重知識的縱橫聯系,強化重點、考點,是對學生已有知識、技能、思想方法的升華．因此,如何上好專題復習課,讓它更有新意與深意,值得每位一線教師思考．《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《新課標》)中指出:要運用數學的思維方式進行思考,讓學生有足夠的時間和空間經歷觀察、抽象、探索、猜測、推理、驗證等活動過程.可見,初中數學是活動和思維的學科．本文中從一次專題復習課的兩個不同案例出發,側重于對問題設計角度的剖析,談談如何抓住知識的生長點,讓思維在“重溫中”飛揚．

1 教學案例的簡要呈現

在一次中考復習研討會上,兩位教師執教二輪復習的同一個課題“最值問題——線段和差問題”,這兩個班級整體水平較高,學生思維較敏捷．

案例1

例1從點A(—2,3)發出的一束光,經x軸反射后過點B(3,1),則這束光線從點A到點B所經過的路徑長為______．

圖1

變式2如圖2,在等邊三角形ABC中,AB=6,N為線段AB上的任意一點,∠BAC的平分線交BC于點D,M是AD上的動點,連接BM,MN,則BM+MN的最小值是______．

圖2

案例2

例2如圖3,在平面直角坐標系中,A(8,0),B(2,0),直線l與x軸的正半軸的夾角為30°,P是直線l上一動點,求PA+PB的最小值．

圖3

變式1如圖3,平面直角坐標系中,A(8,0),B是x軸上的一個動點,直線l與x軸的正半軸的夾角為30°,P是直線l上一動點,求AP+BP的最小值．

變式2如圖4,在平面直角坐標系中,A(8,0),B是x軸上的一個動點,直線l與x軸的正半軸的夾角為30°,P是直線l上一動點,Q是直線l上一定點,且OQ=2,求AP+PB+BQ的最小值．

圖4

接著,授課者提問學生:你還能“變”出哪些題來?

生1:如圖4,在平面直角坐標系中,A(8,0),B是x軸上的一個動點,若轉動直線l使其與x軸的正半軸的夾角為15°,P,Q是直線l上的兩個動點,求AP+PB+BQ的最小值．

生2:如圖5,在平面直角坐標系中,A(8,0),C(1,0),B是線段AC上的一個動點,直線l與x軸的正半軸的夾角為15°,P,Q是直線l上的兩個動點,求AP+PB+BQ+QC的最小值．

圖5

…………

學生討論激烈,思維被激活,最后,授課者組織學生對問題進行歸類梳理,并解決產生的新問題．

2 教學案例的剖析與思考

2.1 目標定位,理解學生

教學目標就是教學的方向,目標定位關乎一堂課的成敗.正確的目標定位的前提是理解學生,因為學生是課堂教學的主體,教師只有明晰學生已有的知識經驗、學習習慣、思維特點等,才能做到有的放矢,事半功倍．對于案例1,從“將軍飲馬”問題出發,教師在教學過程中注重以生為本,由學生獨立求解,而因知識容量偏小,幾個變式問題難度也不大,使得學生在課堂教學中對答如流,但看似流暢的背后往往存在一些隱憂.因為該班學生的基礎扎實,整體水平較高,況且這是二輪復習,如果僅僅是重現原來的問題或設置的問題難度過低,那么思維含量就會偏低,導致這些功底好的學生,幾乎不需多加思考就能解決,思維又怎能興奮呢?案例1的教學使不少學生處于被動答題狀態,長此以往,他們學習數學的興趣也會逐步喪失．而案例2的題量與難度都比較符合學生實際,學生或動手解答,或動腦思考,都能積極參與其中．當然,如果在普通層次的班級,問題設計偏難,也不符合學生實際,同樣會降低復習效率．可見,題量、難度是二輪復習目標定位的兩個重要元素,教學一定要落在學生的最近發展區．另外,二輪復習的目標定位,還要考慮課標和本地中考對知識點的相關要求,考慮中考的重點、熱點以及一輪復習的薄弱點．弄清這些問題后,再合理選材,就能讓預設的教學目標與課堂生成相匹配,使復習教學更有針對性,也更有價值．當然,案例2也存在一些不足:(1)案例2中問題背景單一,不利于學生解決新穎問題;(2)課題為線段的和差問題,而選擇的問題卻只有“和”未見“差”.建議在例1之后,增設一道“自主練習”題:在平面直角坐標系中,A(1,3),B(4,3),在直線y=x上是否存在一點P,使得|PA-PB|最大.如果存在,求出此時點P的坐標.這樣既更換了問題背景,也探究了“差”的最值．

2.2 精選問題,用好經典

模型觀念是初中數學學科核心素養的關鍵詞之一,《新課標》認為數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象．俗話說,好鋼要用在刀刃上,好題也要放在合適的位置才能發揮它的最大價值,所以選擇經典問題是上好復習課的第一步．幾何中的最值問題,通常最終歸結為“兩點之間線段最短”“垂線段最短”.因此,上述兩個案例,緊抓知識要點,都是以學生熟悉的“將軍飲馬”問題作為切入點,重溫幾何最值中的最基本模型.從這一經典問題出發,由淺到深,再現“化折為直”的轉化思想,最終運用“兩點之間線段最短”順利解決問題．在復習時,應有意識地加深學生對這些核心知識的理解和認識,使學生在遇到幾何最值問題時,能夠聯想到“將軍領馬”等基本模型,將陌生問題變為熟悉問題．因此,尋找題根至關重要．數學教學從來不缺少題目,只是缺少對題目的篩選和創新.教師在選擇例題和習題時,要及時發現習題之間的內在聯系,精心選擇,合理編排,科學創新,讓例題具有生長性、層次性、科學性.通過有限的題量,達到無限的效果,從而培養學生思維的深刻性和發散性．

2.3 變式問題,拓展經典

數學學習需要一定的連貫性與靈活性.案例2中以例1為背景,進行了2次變式.其一,可節省學生審題的時間;其二,在主線清晰的情況下,更方便學生將知識點加以整合,舍棄枝葉,突出問題本質,提煉數學模型．變式1把例1中的定點B變為x軸上一動點,化定為動,進一步加深問題．根據“點動成線”的思路,x軸即為所有動點B的集合,作定點A關于直線l的對稱點A′,則此時A′B的最小值即為點A′到x軸距離的最小值,“點與直線之間,垂線段最短”的“加盟”使問題走向深入．變式2將問題由“兩折線求和的最小值”拓展為“三折線求和的最小值”,有了之前的題型鋪墊、思維構建,學生易想到通過軸對稱“化折為直”．變式2通過兩次軸對稱,先以點P所在的直線為對稱軸作點A的對稱點A′,得到AP=A′P,再以點B所在的x軸為對稱軸作Q的對稱點Q′,得到BQ=BQ′,因此可得AP+PB+BQ=A′P+PB+BQ′,從而將問題化歸．案例2中巧用具有梯度的變式,由簡單到復雜,由淺入深,層層遞進,滿足不同層次的學生解決不同層次的問題,拾級而上,讓學生的思維逐步走向深入．

案例2中授課者還設計了開放型問題.開放型問題一般需要學生經歷觀察、分析、比較的過程,才能很好地對題組進行提煉、發散.在變式1、變式2中,授課者一直在帶領學生感受題目變化的過程,領悟題目變化過程中思維的提升發展,感受“化定為動”“化折為直”的奧妙．通過題組連貫性的發展,學生“變”出來的題目可謂是在變式1和變式2的基礎上“長”出來的,生1“讓定點再次動了起來”,而生2更為大膽地嘗試了增加線段的條數．開放型問題,打開了學生的思域,再加上最后師生互動性的思維提煉,筆者發現不管數學模型隱藏得有多深,只要將問題與模型聯系起來,學會融會貫通,無從下手的問題也會變得輕而易舉．而在其后的解答過程中,學生都在嘗試通過軸對稱“化折為直”,努力將問題轉化為“兩點之間線段最短”“垂線段最短”問題,可謂把握住了此類題型的精髓.

通過對一系列問題的整合,學生感受到不斷的變化與轉化中,萬變不離其宗的是“兩個最短”原理和對稱的思想方法．這樣的設計直擊幾何最值問題的本質,培養了學生思維的靈活性與深刻性．同時,開放型問題更有利于激發學生興趣,培養學生創新意識,讓他們真正成為課堂的主人．從案例2的例1開始生長變式,便于進行歸納、提煉共性.其一,選擇在同一個背景下,以問題串的形式,激發學生興趣,引發學生思考;其二,在講解過程中,有意識地引導學生關注“變化與不變”“運動與靜止”“有限與無限”等關系,站在發展的角度思考問題,有益于培養學生思維的敏捷性和深刻性．

這兩個案例給我們以啟示,若能從多角度進行變式拓展及“生長”,經典題就猶如題根,抓住題根,就等于抓住了整個題系,再抓根挖掘進行改編,就可以實現“做一題,會多題,會一法,得通法”,讓復習更有效,事半而功倍．因此,教師應該找到知識、方法的生長點,拓展經典,讓老題生根發芽、煥發新機,幫助學生走出題海．教學實踐表明,在最近發展區設置問題,讓學生“數學地思考問題”,有助于學生產生思維共振,同時讓學生習得解決問題的數學思想方法,積累數學知識和經驗.通過例題及適度的一題多變、一題多解,不僅能激發學生的興趣,還能培養學生思維的發散性和靈活性;通過對問題的層層深入,引導學生關注“數學本質”,有益于培養學生思維的敏捷性和深刻性.這樣的課堂教學,將使學生終身受益．