逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

張晶晶

? 吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2022年版)》指出,數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),包括會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界[1].根據(jù)思維方向的順、逆之別,又可把數(shù)學(xué)思維分為正向思維和逆向思維[2].因此逆向思維是數(shù)學(xué)思維的重要組成部分,是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn).培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維,使其能夠靈活地分析和解決數(shù)學(xué)問題是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的本質(zhì)要求.

1 逆向思維的含義

逆向思維是相對于順向思維而言的.在思考數(shù)學(xué)問題時,按通常思維的方向進行思維稱為正向思維,而按照相反方向進行的思維稱為逆向思維.逆向思維是一種發(fā)散性思維.在解決問題時,采用逆向思維,往往能打破常規(guī)的思維模式,更容易找到解題思路.

2 培養(yǎng)學(xué)生逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

根據(jù)皮亞杰的認知階段理論,初中學(xué)生正處于形式運算階段,是形成推理能力的關(guān)鍵時期,而推理能力是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)思維的主要表現(xiàn)之一.作為數(shù)學(xué)思維重要組成部分的逆向思維,在幫助學(xué)生深入理解學(xué)科內(nèi)容、靈活選擇數(shù)學(xué)方法、開拓思維空間方面起著重要作用.

2.1 有助于學(xué)生深入理解學(xué)科內(nèi)容

相比于小學(xué)階段對經(jīng)驗感悟的重視,初中階段更側(cè)重于對抽象概念的理解.如果學(xué)生只按常規(guī)思維理解概念,往往不夠深刻,在解題時會出現(xiàn)思維誤區(qū),而逆向思維能夠幫助學(xué)生從反面理解,不僅知道什么是對的,而且知道什么是錯的,從而掃除理解上的盲點,更加全面深入地理解概念的內(nèi)涵和外延.除了概念理解,逆向思維對于學(xué)生學(xué)習(xí)公式、定理等數(shù)學(xué)內(nèi)容都起著重要作用.

2.2 有助于學(xué)生靈活選擇數(shù)學(xué)方法

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,經(jīng)常有多種不同的方法都能解決同一個問題,但不同的數(shù)學(xué)方法所對應(yīng)的解題難度和效率是不同的.逆向思維是一種”反其道而行之”的思維,可以幫助學(xué)生從結(jié)果入手分析問題或從問題的反面尋求解題方法,往往能簡化解題過程,提升學(xué)生思維的敏捷性,提高解題效率[3].

2.3 有助于開拓學(xué)生的思維空間

培養(yǎng)逆向思維通常有兩種方式,一種是把過程反過來思考,另一種是把結(jié)果反過來思考.而無論哪種方式都有利于學(xué)生打破思維定勢,從不同的角度看待問題,從不同的方向思考問題,破除了思維的單一性,拓展了思維空間,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要途徑.

3 逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

3.1 利用逆向思維找到解題突破口

初中生的思維能力還處于發(fā)展時期,在實際教學(xué)中,教師如果難以幫助學(xué)生建立解題模型,那么學(xué)生也就很難形成相應(yīng)的解題思路.因此,教師要找準問題的切入點,以更好地引導(dǎo)學(xué)生進行逆向思考.初中數(shù)學(xué)中存在許多幾何證明問題,而幾何證明是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的關(guān)鍵.在教學(xué)中,教師要抓住材料和載體的作用,引導(dǎo)學(xué)生探究,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

例1(北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)教材“圖形的相似”一道課后題)如圖1,在△ABC中,D是邊AC上的一點,∠CBD的平分線交AC于點E,且AE=AB.求證AE2=AD·AC.

圖1

3.2 利用逆向思維簡化解題過程

數(shù)學(xué)逆向思維具有靈活性的特點[4].在解決問題的過程中,有一些問題利用正向思維從條件入手也可以解決,但過程比較繁瑣,學(xué)生容易因為計算量大或步驟過多而出錯.這時從問題入手,利用逆向思維往往會極大地簡化解題過程,提高解題的正確率.

3.3 利用逆向思維巧解證明問題

在數(shù)學(xué)解題方法中,反證法是體現(xiàn)逆向思維的重要方法.反證法是先假設(shè)命題結(jié)論不成立,然后推導(dǎo)出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果,從而證明命題的結(jié)論一定成立.由于反證法需要嚴密的邏輯推理以及對已知條件、已知定理等的熟練掌握和靈活運用,因此學(xué)習(xí)運用反證法對初中學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力都有很大的幫助.

例3(北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)教材“平行線的性質(zhì)”一節(jié)中利用反證法證明定理“兩直線平行,同位角相等”)

已知:如圖2,直線AB∥CD,∠1和∠2是直線AB和CD被直線EF截出的同位角.求證:∠1=∠2.

圖2

證明：假設(shè)∠1≠∠2,那么過點M作直線GH,使∠EMH=∠2,如圖3所示.根據(jù)“同位角相等,兩直線平行”,可知GH∥CD.又因為AB∥CD,這樣經(jīng)過點M存在兩條直線AB和GH都與CD平行.這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾.這說明假設(shè)不成立,所以∠1=∠2.

圖3

由此證明了“兩直線平行,同位角相等”.

對于從正面很難說明的問題,比如,“∠2是無理數(shù)”“一個三角形中不能有兩個角是直角”等應(yīng)用反證法往往能夠嚴謹?shù)刈C明.解決這樣的問題,可以促進學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展.

逆向思維可以在一定程度上幫助學(xué)生避免解決問題時陷入思維誤區(qū)而不自知.逆向思維能讓學(xué)生從單純的解決問題,轉(zhuǎn)移到對數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)上,從而激發(fā)出對數(shù)學(xué)問題的探究熱情,并在解決問題時體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂.

4 學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)策略

(1)夯實基礎(chǔ)知識

學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)要以扎實的基礎(chǔ)知識為前提.學(xué)生首先要明確什么是正向才能理解什么是反向,如果盲目強調(diào)逆向思維會讓學(xué)生不知所措.而逆向思維對基礎(chǔ)概念、公式、定理的理解又起到了促進作用.

(2)樹立逆向思維意識

要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維,教師應(yīng)在授課過程中培養(yǎng)學(xué)生逆向思考的意識,引導(dǎo)學(xué)生在解決問題時從不同的角度積極思考,不要局限于單一解法.

(3)強化逆向思維專項訓(xùn)練

逆向思維的培養(yǎng)不是一朝一夕就能完成的,它是長期的過程.專項練習(xí)可以強化學(xué)生的逆向思維,讓逆向思維深入學(xué)生的腦海,遇到問題可以靈活應(yīng)用.

逆向思維可以幫助學(xué)生明確問題的解決途徑,拓展解題思路,創(chuàng)新解題方法.在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維,可以豐富學(xué)生的視角,使思維更靈活,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).