有的放矢微“創(chuàng)”教材,借“題”發(fā)揮發(fā)展思維
——“三角形的中位線”的教學(xué)嘗試與思考

沈 雯

? 江蘇省南京金陵匯文中學(xué)

1 問題的提出

新課程理念著重強調(diào),想要促進學(xué)生基本技能的形成,需要適度訓(xùn)練且要注重訓(xùn)練的實效性,而非機械重復(fù)的實踐活動,讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程,在主動參與中不斷反思和積累,促進思維的自然生長[1].由此可見,實踐性是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要特征,需要讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中主動探究,體驗發(fā)現(xiàn)樂趣,感悟數(shù)學(xué)真諦,提高實踐與創(chuàng)新能力,發(fā)展數(shù)學(xué)思維,逐步積累有效的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗[2].

數(shù)學(xué)實驗具備較高的實踐性,這也為一線教師的教學(xué)設(shè)計提供了好的思路與方法,通過整合與再加工實驗手冊與教材內(nèi)容,精心設(shè)計問題情境與探究活動,用開放性的探究素材引發(fā)學(xué)生的探究興趣,用創(chuàng)造性的教學(xué)過程為學(xué)生提供廣闊的探究空間,巧妙地延伸拓展主題,促進學(xué)生思維的自然生長.下面以筆者講授的“三角形的中位線”一課為例,評析微創(chuàng)教材、借題發(fā)揮促進思維發(fā)展的實踐.

2 “三角形的中位線”的教學(xué)嘗試

2.1 再識舊知,引領(lǐng)新探

問題1我們一起來回顧如何通過折紙得到直角三角形的斜邊中線并研究該直線的重要性質(zhì),感受折紙的奇妙.仔細觀察折痕,你發(fā)現(xiàn)了什么?(課件呈現(xiàn)圖1.)

圖1

設(shè)計意圖：溫故而知新,回顧折紙與驗證的過程,在“再認識”中自然實現(xiàn)認知的“再生長”.在回顧舊知之后,又以開放性問題為導(dǎo)引,引領(lǐng)學(xué)生主動探究并發(fā)現(xiàn)“連接三角形兩邊中點的線段是一條特殊線段,它與第三邊存在特殊的位置與長度關(guān)系”.

問題2觀察圖形,并闡述三角形中線與中位線的區(qū)別.

設(shè)計意圖：以對比概念的強化方式獲得對概念的深入認識與理解.

設(shè)計意圖：問題3中的證明需要猜想與操作的輔助來積累豐富的感性認知,獲得如何恰當(dāng)添加輔助線的靈感,以突破認知難點.也正是有了前面的一系列鋪墊,學(xué)生才充分感知到“圖形的翻折”是演繹推理的重要思路,從而通過“化長為短”的方法完成問題的驗證(如圖2).

圖2

問題4除了“化長為短”的翻折以外,你還能想到其他方法或策略嗎?

設(shè)計意圖：誘導(dǎo)學(xué)生在深入思考與探索中生成“補為矩形”的新證法,并利用幾何畫板的輔助讓學(xué)生感受圖形變化的每一個過程,從而在強化幾何直觀的同時促進思維的不斷進階.

問題5若這個三角形只是一個任意三角形(非直角三角形),你能折出它的一條中位線嗎?請嘗試并說出操作過程.

設(shè)計意圖：學(xué)生從中位線定義出發(fā)能想到通過折線段中點來折中位線的方法,但很難得出其他折法.教師此時可以鼓勵學(xué)生合作交流,生成“先折該三角形一邊上的高,再折直角三角形中位線”的思路.當(dāng)然,這個思路不是每個學(xué)生都能直觀感知的,教師依舊可以借助幾何畫板進行演示來強化學(xué)生的幾何直觀.

問題6任意三角形的中位線也具有相同特征嗎?如何驗證?

追問:有沒有其他驗證方法?

設(shè)計意圖：以上活動經(jīng)驗所得結(jié)論是新活動經(jīng)驗形成的基石,可以促進知識與能力的內(nèi)化,最終水到渠成地突破難點.學(xué)生在多次探索之后形成了方法,并能從“圖形旋轉(zhuǎn)”的角度“補短為長”給予證明.

問題7試著簡潔概括三角形的中位線定理.

設(shè)計意圖：在總結(jié)提煉的過程中自然而然地訓(xùn)練學(xué)生的自主歸納與自主探究精神,并促進學(xué)生對知識間聯(lián)系的頓悟.

2.2 例題鞏固,變式提升

例題如圖3,DE為△ABC的中位線.

圖3

(1)已知DE=5,那么BC的長是多少?

(2)已知∠A=60°,∠B=50°,那么∠AED的度數(shù)是多少?

變式1如圖4,已知F是BC的中點,那么△ABC的中線AF與中位線DE有何關(guān)系?

圖4

追問:想要AF=DE,則△ABC需滿足什么條件?想要AF⊥DE,則△ABC又需滿足什么條件?想要AF=DE且AF⊥DE,則△ABC需滿足什么條件?

變式2如圖5,已知D,E,F分別為△ABC三邊的中點,依次連接DE,EF,FD,你有何發(fā)現(xiàn)?

圖5

追問:挖掘特殊圖形后,你發(fā)現(xiàn)了什么?

設(shè)計意圖：以例題與變式的方式,引領(lǐng)學(xué)生溝通知識間聯(lián)系,發(fā)散聯(lián)想去解決問題,并在解題中不斷豐富聯(lián)想,為后續(xù)經(jīng)驗的生長儲存充足的能量.

2.3 小結(jié)拓展,內(nèi)化提升

問題8順次連接三角形的三邊中點后得到的三角形為中點三角形,觀察這個中點三角形,你發(fā)現(xiàn)了什么?

追問1:在研究問題8之后,后續(xù)你想研究什么?

追問2:何為中點四邊形?你想研究它的哪些方面?

設(shè)計意圖：此處教師通過“設(shè)問+追問”的方式,引領(lǐng)學(xué)生用“類比+對比”的方式進行進階式學(xué)習(xí),促進思維的不斷生長,實現(xiàn)經(jīng)驗的內(nèi)化,促進新經(jīng)驗的形成與生長.

問題9回顧本節(jié)課的研究歷程,分析你收獲的經(jīng)驗,并說一說你還想研究哪些內(nèi)容.

設(shè)計意圖：通過回顧本節(jié)課的探究歷程,對學(xué)習(xí)路徑和研究方法等方面有了深刻的感悟,為良好思維品質(zhì)的形成播下種子.

3 一些思考與感悟

完美融合數(shù)學(xué)實驗與數(shù)學(xué)教材設(shè)計教學(xué),有的放矢地組織教學(xué)過程,可以讓學(xué)生在充分體驗中積累豐富的活動經(jīng)驗,在實踐運用中內(nèi)化經(jīng)驗,促進數(shù)學(xué)思維的自然生長.

3.1 從思維生長點著手,激發(fā)學(xué)生的源動力

事實上,筆者是做足功課才生成以上教學(xué)思路的.在課前筆者生成了多種設(shè)計靈感:如從特殊到一般的剪拼活動,后續(xù)由于這種設(shè)計方案具有一定的普遍性選擇舍棄;又如從實際問題情境導(dǎo)入,但由于“概念還應(yīng)以講授的方式呈現(xiàn)”而再次選擇舍棄;再如以逆向思維的方式導(dǎo)入,即我們可以將三角形紙片剪拼為平行四邊形,也可以將平行四邊形紙片剪拼成三角形,繼而以“拼接線”是三角形的中位線導(dǎo)入,這樣的導(dǎo)入方式可以幫助學(xué)生積累豐富的活動經(jīng)驗,但無法借題發(fā)揮,即無法從三角形中位線這一主題延伸出去,幫助學(xué)生更透徹地領(lǐng)悟新知,促進思維的自然生長,因此選擇放棄.筆者多次深入思考,決定立足折紙操作與圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的已有活動經(jīng)驗,深入整合教學(xué)內(nèi)容,從“利用圖形的運動研究三角形中位線”這一主題長驅(qū)直下,在磨礪學(xué)生實踐能力、表達能力和思維能力的同時培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力,提高課堂活動的針對性[3].

3.2 借助主題延伸拓展,提高學(xué)生的思維力

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,學(xué)生親歷操作、猜想、驗證、證明的過程,獲得豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,提高數(shù)學(xué)的思維力.在本課中,教師引導(dǎo)學(xué)生“做中學(xué)”,親歷操作、實驗、觀察、思考、交流等活動,拾級而上地感受演繹推理,步步深入地厘清數(shù)學(xué)本質(zhì).這樣,在活動的引導(dǎo)下,學(xué)生像科學(xué)家一樣進行研究與探索,自主歸納定義與定理,對研究方法、知識理解有了切實的感悟與思考,能利用已有知識經(jīng)驗大膽猜測與推理,同時在類比與對比中深化了對特殊與一般關(guān)系的認識,促進了良好思維品質(zhì)的深度發(fā)展.教學(xué)過程中重視主題的強大功能并巧妙延伸拓展,往往可以集反思、運用、鞏固和遷移于一身,讓學(xué)生在獲取知識的同時提升數(shù)學(xué)思維,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

在優(yōu)化教學(xué)設(shè)計的道路上,教師要善于創(chuàng)造性整合教學(xué)內(nèi)容,通過借“題”發(fā)揮引領(lǐng)學(xué)生去探索、去感知、去體驗,獲得豐富的活動經(jīng)驗,提高數(shù)學(xué)思維力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).