追問(wèn)，循序漸進(jìn)開(kāi)啟思維

謝靜

【摘要】追問(wèn)是一門藝術(shù)，恰到好處的追問(wèn)能有效開(kāi)啟學(xué)生的思維，開(kāi)發(fā)學(xué)生的智慧.高質(zhì)量的追問(wèn)可有效拓寬知識(shí)的縱深與橫寬，提高教學(xué)成效.基于此，文章以“數(shù)列中一類存在性問(wèn)題”的復(fù)習(xí)教學(xué)為例，借助兩道典型的數(shù)列例題，分別從追問(wèn)于疑難處、錯(cuò)誤處、獨(dú)特處等展開(kāi)教學(xué)設(shè)計(jì)與分析，并提出了追問(wèn)應(yīng)遵循從無(wú)到有的規(guī)律、追問(wèn)應(yīng)該關(guān)注適度性、追問(wèn)需注重靈活性的教學(xué)思考，以期給高中一線教師提供一些參考.

【關(guān)鍵詞】追問(wèn)；思維；錯(cuò)誤；數(shù)列

引 言

追問(wèn)屬于課堂提問(wèn)的后續(xù)，是解決問(wèn)題后的下一個(gè)教學(xué)步驟，它體現(xiàn)了教師的專業(yè)水平與教學(xué)機(jī)智.追問(wèn)講究一定的藝術(shù)性，在課堂教學(xué)中，教師切忌在追問(wèn)環(huán)節(jié)濫問(wèn)、亂問(wèn)，要注意追問(wèn)的每一個(gè)問(wèn)題都要與前一個(gè)問(wèn)題相關(guān)聯(lián)，同時(shí)要注重追問(wèn)的方式、方法與時(shí)機(jī).

一、展示教學(xué)片段

（一）在疑難處追問(wèn)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，學(xué)生常會(huì)似懂非懂，若教師在此處追問(wèn)往往能成功引發(fā)學(xué)生的深度思考，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)產(chǎn)生更深刻的認(rèn)識(shí)，克服因思維定式產(chǎn)生的一些問(wèn)題.因此，教師在知識(shí)的疑難處追問(wèn)具有克服思維程序化的作用，能讓學(xué)生的思維變得更加清晰.

例1 已知{an}的通項(xiàng)公式an=2n，是否存在正整數(shù)p，q，r（p

教師選擇一名學(xué)生的不完整解題過(guò)程進(jìn)行投影：

解 如果存在這樣的正整數(shù)，也就是2aq=ap+ar，那么2q+1=2p+2r.

師：接下來(lái)該解決什么問(wèn)題了？

生1：應(yīng)該是方程問(wèn)題，但這里出現(xiàn)了3個(gè)未知數(shù).

生2：將等式的兩邊同時(shí)除以2p，就能解決未知數(shù)的問(wèn)題，具體過(guò)程為2q+1-p=1+2r-p，鑒于p1，r-p>0.等號(hào)的左邊結(jié)論為偶數(shù)，而等號(hào)右邊的結(jié)論是奇數(shù)，因此這種情況不存在.

追問(wèn)1：為什么會(huì)想到將等號(hào)兩邊同時(shí)除以2p呢？

生3：因?yàn)檫@個(gè)方程的變量比較多，所以考慮到除以2p能減少變量.

追問(wèn)2：但事實(shí)上這么處理后，變量的數(shù)量并沒(méi)有減少，對(duì)嗎？

生3：將q+1-p與r-p都視為整體，那么問(wèn)題就從三元轉(zhuǎn)化為二元了.

追問(wèn)3：不錯(cuò)！這里呈現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？

生4：整體思想.

設(shè)計(jì)意圖：面對(duì)學(xué)生的疑惑，教師給予學(xué)生充足的時(shí)間進(jìn)行分析、討論、探究，并以逐層深入的追問(wèn)方式為學(xué)生的思維指引方向，此處的追問(wèn)相當(dāng)重要，它給學(xué)生帶來(lái)了啟發(fā).

（二）在錯(cuò)誤處追問(wèn)

錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)教學(xué)中時(shí)有發(fā)生，如何利用好學(xué)生的錯(cuò)誤，化錯(cuò)誤為寶貴的教學(xué)素材呢？實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生的錯(cuò)誤處加以追問(wèn)，往往能化“錯(cuò)誤”為“領(lǐng)悟”，達(dá)到意想不到的教學(xué)成效.

接著以上教學(xué)片段，教師可繼續(xù)追問(wèn)：為什么將等式的兩邊同時(shí)除以2p，不除以其他呢？

生5：因?yàn)閜是最小的，如此可確保指數(shù)部分均為正整數(shù).

生6：我認(rèn)為也可以除以2r.

師：哦？這是一個(gè)最大的量，是否可行呢？我們一起來(lái)看生6的解題過(guò)程（投影）：2q+1-r=2p-r+1，鑒于p

生6：兩邊都小于2，不會(huì)出現(xiàn)矛盾.

師：那咱們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)看看，題中還有什么條件是沒(méi)有利用到的？

生6：“p，q，r為正整數(shù)”這個(gè)條件未用到.

追問(wèn)4：將這個(gè)條件考慮進(jìn)來(lái)，指數(shù)部分的范圍是否有什么變化？

生6：考慮到這個(gè)條件，有q-r≤-1，p-r≤-2，q-r+1≤0.

追問(wèn)5：據(jù)此有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

追問(wèn)6：不錯(cuò)！現(xiàn)在我們回過(guò)頭來(lái)看看，之前未發(fā)生矛盾的根源是什么？

生6：是因?yàn)閷?duì)“p，q，r”的條件未考慮全面，致使等式兩邊的范圍都擴(kuò)大了.

師：非常好！出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的根本原因就是等式兩邊函數(shù)的定義域太大致使值域也大了.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)是課堂教學(xué)值得關(guān)注的點(diǎn)，教師應(yīng)緊扣這樣的契機(jī)實(shí)施追問(wèn)，并給予學(xué)生充足的時(shí)間與空間進(jìn)行思考與分析，讓學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤產(chǎn)生深刻的認(rèn)識(shí)，避免類似情況再次發(fā)生.

（三）在獨(dú)特處追問(wèn)

1.尊重個(gè)體差異，追問(wèn)在多解或歸一處

受個(gè)體差異的影響，學(xué)生對(duì)同一個(gè)問(wèn)題會(huì)產(chǎn)生不一樣的理解.教師應(yīng)尊重學(xué)生的個(gè)體差異性，從學(xué)生的“元認(rèn)知”出發(fā)，追本溯源，關(guān)注大部分學(xué)生的想法，切忌只將目光鎖定在“學(xué)優(yōu)生”身上.

有時(shí)學(xué)生所展示出來(lái)的不起眼的思路，教師若能順應(yīng)他們的思維向下耐心引導(dǎo)，往往能起到事半功倍的效果.一題多解、多解一題都是優(yōu)化解題方法，提煉“通性通法”的重要途徑，而適時(shí)追問(wèn)則是促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散、優(yōu)化、收斂的過(guò)程.

師：通過(guò)以上探究，我們發(fā)現(xiàn)選擇最大與最小均能激發(fā)矛盾，那么選擇中間的是否可以呢？

追問(wèn)7：該生是通過(guò)范圍激發(fā)矛盾，是否還有其他方法呢？

生7：根據(jù)左邊為分?jǐn)?shù)，右邊為整數(shù)，同樣能發(fā)現(xiàn)矛盾.

追問(wèn)8：通過(guò)對(duì)以上幾條路徑的回顧，說(shuō)說(shuō)它們之間存在怎樣的共性特征？

生8：同時(shí)除以一個(gè)變量的目的是一樣的，均為消元，雖然矛盾形式不一樣，但均與范圍相關(guān).

追問(wèn)9：為什么都與范圍相關(guān)？

生9：因?yàn)檎謹(jǐn)?shù)與奇數(shù)、偶數(shù)都是觀察兩邊范圍發(fā)現(xiàn)的.

教師充分肯定了學(xué)生的說(shuō)法，并與學(xué)生一起總結(jié)回顧以上教學(xué)流程與解題方法.經(jīng)過(guò)師生、生生交流、歸納與總結(jié)，形成圖1（板書(shū)）.

設(shè)計(jì)意圖：在尊重學(xué)生個(gè)體差異性的基礎(chǔ)上，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖穯?wèn)給學(xué)生提供了充足的思維空間，學(xué)生能在有的放矢的課堂中感受學(xué)習(xí)帶來(lái)的愉悅感，進(jìn)一步拓展了思維的寬度.

生1：觀察兩邊的取值范圍，存在公共部分，代表問(wèn)題有解，但不太好計(jì)算.

師：很好！本題與例題1有區(qū)別，這是研究“有解”的問(wèn)題，是否存在其他的解題思路？

生2：根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式可想到用m表示n.

追問(wèn)2：如此表示有什么作用嗎？

生2：僅需考慮等式一邊的范圍即可.

追問(wèn)3：為什么不用n表示m？

生1：若用n表示m，則需要進(jìn)行開(kāi)方運(yùn)算，且表達(dá)式異常復(fù)雜，不便于運(yùn)算.

追問(wèn)4：這名學(xué)生的解題過(guò)程有沒(méi)有什么問(wèn)題？

生2：這么解不對(duì)，其中關(guān)于m≥7時(shí)“是否成立”沒(méi)有交代清楚.

生3：只要求出m≥7時(shí)分母的取值范圍即可.

生4：還可先縮小m的取值范圍，再取值.

追問(wèn)5：怎樣縮小m的取值范圍呢？

生4：根據(jù)n>0，可知-2m2+4m+1>0，此時(shí)m的取值范圍就小了.

追問(wèn)6：你是怎么想到這種方法的？

生4：其實(shí)等式兩邊變量具有相互牽制性，因此我想到了用n的取值范圍限制m的取值范圍.

追問(wèn)7：此處僅僅是n>0的限制嗎？

生4：本應(yīng)為n>m，本題僅需考慮n>0的情況.

互動(dòng)至此，教師帶領(lǐng)學(xué)生將以上探究進(jìn)行一次小結(jié)，并板書(shū)：

追問(wèn)8：這兩種方法哪種更好一些？

生5：個(gè)人感覺(jué)第一種方法更簡(jiǎn)單一些，但第二種方法的功能更強(qiáng)大一些，若m為大數(shù)，列舉就沒(méi)那么容易了.

師：正是如此！我們將第二種方法作為解決這一類問(wèn)題的通性通法.

設(shè)計(jì)意圖：一個(gè)不完整的解題過(guò)程具有典型代表意義，教師通過(guò)循序漸進(jìn)的追問(wèn)幫助學(xué)生慢慢理清運(yùn)算路徑與解題思路，不僅讓學(xué)生明確了運(yùn)算的方向，還感知了“分離”的作用，掌握了解決這一類問(wèn)題的通性通法.由淺入深地引導(dǎo)與追問(wèn)，成功發(fā)散了學(xué)生的思維，提高了學(xué)生思維的靈活性.

二、教學(xué)思考

（一）遵循從無(wú)到有的規(guī)律

數(shù)列存在性問(wèn)題一般以解決問(wèn)題的形式出現(xiàn)在高考試卷中，這是復(fù)習(xí)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).不少學(xué)生一看到這類問(wèn)題就感到害怕，還未思考就打退堂鼓.本節(jié)課，教師以循序漸進(jìn)的追問(wèn)，帶領(lǐng)學(xué)生抽絲剝繭，逐漸暴露問(wèn)題的本質(zhì)，為形成解決這類問(wèn)題的通性通法奠定了基礎(chǔ).學(xué)生的思維也經(jīng)歷了從無(wú)到有的過(guò)程，整體來(lái)說(shuō)收效頗豐.

課堂上，教師帶領(lǐng)學(xué)生從一類不定方程的問(wèn)題出發(fā)，切口小，難度適中，問(wèn)題具有代表意義.教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)“無(wú)解→有解”“無(wú)限→有限”，恰到好處的追問(wèn)，幫助學(xué)生成功地克服了一個(gè)又一個(gè)障礙，學(xué)生思維真正意義上實(shí)現(xiàn)了“無(wú)→有→優(yōu)→精”.

（二）追問(wèn)需關(guān)注適度性

追問(wèn)的時(shí)機(jī)相當(dāng)重要，問(wèn)得過(guò)早，達(dá)不到預(yù)期效果；問(wèn)得過(guò)晚，學(xué)生的思維已經(jīng)冷卻.恰到好處的追問(wèn)于思維的混沌處，能讓學(xué)生產(chǎn)生豁然開(kāi)朗之感；追問(wèn)于思維的臨界點(diǎn)，可催生學(xué)生新的認(rèn)知；追問(wèn)于思維的僵持點(diǎn)，可幫助學(xué)生突破瓶頸，柳暗花明；追問(wèn)于思維定式時(shí)，可開(kāi)闊學(xué)生的視野，跳出窠臼.追問(wèn)絕非隨意問(wèn)、濫問(wèn)，指向不明確或毫無(wú)意義地問(wèn)，只會(huì)浪費(fèi)寶貴的教學(xué)時(shí)間，難以達(dá)到預(yù)期效果.

（三）追問(wèn)需注重靈活性

課堂具有動(dòng)態(tài)變化的特征，不是所有教學(xué)環(huán)節(jié)都能靠預(yù)設(shè)完成.教師應(yīng)有較高的專業(yè)素養(yǎng)，根據(jù)實(shí)際情況靈活調(diào)整教學(xué)策略，包括追問(wèn)的時(shí)機(jī)、內(nèi)容與方法等，這些都是實(shí)施教學(xué)的必備素養(yǎng)，體現(xiàn)了教學(xué)機(jī)智.如本節(jié)課，當(dāng)學(xué)生的解題思路出現(xiàn)偏差時(shí)，教師沒(méi)有直接揭示正確方法，而是耐心傾聽(tīng)學(xué)生的想法，通過(guò)循序漸進(jìn)的追問(wèn)，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤根源，避免類似情況的再次發(fā)生.

結(jié) 語(yǔ)

總之，追問(wèn)并非課堂教學(xué)的目標(biāo)，通過(guò)追問(wèn)這種方式引導(dǎo)學(xué)生更進(jìn)一步掌握知識(shí)內(nèi)容，獲得學(xué)習(xí)能力才是追問(wèn)的真正目的.教師應(yīng)擁有良好的追問(wèn)意識(shí)，要提出高質(zhì)量、有品位的問(wèn)題，以彰顯教育的藝術(shù)與智慧.

【參考文獻(xiàn)】

[1]龍艷文.基于概念生成中三個(gè)層面追問(wèn)的問(wèn)題串設(shè)計(jì)[J]數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（03）：11-13，17.

[2]郭建理.基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2021（12）：57-60.

[3]李瀟瀟.高中數(shù)學(xué)教學(xué)“問(wèn)題鏈”設(shè)計(jì)研究[J].武漢：華中師范大學(xué)，2021.