例談初中三角函數解題技巧

甘芝明

【摘要】三角函數中涵蓋諸多公式、學習要點，是各類考試的熱點，也是學生學習的難點.且在教學實踐中，學生常常受到諸多因素制約，致使其在解答三角函數試題時，面臨諸多困難.基于此，文章以學生解答三角函數試題為切入點，分析了三角函數試題的考查知識點和要求，并從不同角度提出了針對性的解題路徑，旨在提高初中生的三角函數解題能力.

【關鍵詞】初中數學；三角函數；解題技巧；課堂教學

在初中數學知識體系中，三角函數是重中之重，其中涵蓋了大量的數學公式、數學定理以及相關的函數圖像.學生在初次接觸這一部分知識時，由于三角函數知識存在極強的抽象性，致使學生在解題時頻頻碰壁；從考試的角度來說，三角函數題目類型多變，且常常與其他知識點結合起來，呈現出極強的綜合性，也在很大程度上增加了學生的解題難度.鑒于當前初中生在三角函數解題中面臨的“吃力”現象，教師應精準分析學生在解題中常常出現的錯誤，調整課堂教學方案，加強基礎知識教學，促使學生在基礎知識學習中“知其然知其所以然”；同時，結合不同的題目類型加強解題教學，促使學生在解題訓練中逐漸構建成完整的解題思維模式，掌握基本的解題技能，循序漸進地提高自身的數學解題能力.

一、初中三角函數解題中學生常見錯誤分析

由于初中三角函數題目中涉及的知識點和公式比較煩瑣，導致學生在解題時，常常因為對定義理解不夠深刻、解題技巧匱乏、理解能力較弱等，出現各種各樣的錯誤.具體來說，集中體現在以下幾個方面：

（一）概念不清導致解題錯誤

（二）基于等角或同角代換，解答題目

在解答三角函數問題時，學生常常會遇到一些難度比較大的問題.如果按照常規的思路解答問題，學生會面臨極大的困難，甚至還會出現各種各樣的失誤現象.對此，在開展解題時，教師可運用“同角代換”或“等角代換”的方式，通過角“位置”的變換，將所求角的問題轉化到易于求解的三角形中，進而順利解答.

例2 如圖1，在4×5的正方形網格中，已知每一個小正方形的邊長都為1，△ABC的頂點在格點上，求sin∠ACB的值.

分析 在這一題目中，主要考查了“同角代換”的知識點.結合題目中已知條件和信息可以得出，△ABC不是直角三角形，因此無法直接利用直角三角形求出sin∠ACB的值.教師可以引導學生借助“等角代換”的思路，在BC邊上取一點M，使得CM=3，連接AM（如題圖1），則有∠ACB=∠ACM，如此即可將sin∠ACB的值轉化到Rt△AMC中.

（四）融入數學模型，解答三角函數問題

在三角函數試題中，還有部分題目非常接近學生的實際生活.這一類問題，由于其難度比較大，學生在解答問題時，不僅要具備堅實的基礎知識，還應具備極強的綜合素養，對實際問題進行分析，并據此構建數學模型，將原本復雜的問題轉變為典型的數學問題，進而運用所學的數學知識進行解答.

例4 一艘小船要從河的南邊向北移動，河對岸有一座高山，在船的北偏東30°方向.現該船以24海里/時的速度正在向北方移動.當行駛15分鐘后，高山在船北偏東45°的方向，求該船出發時距離高山的距離是多少？

分析 本題是典型的“三角函數”在實際生活中的應用問題.在解答這一問題時，可融入數學模型思想，結合題意，畫出相關圖形（如圖2），將其抽象為解三角形問題，進而運用相關知識完成題目的解答.

三、基于三角函數的解題教學啟示

（一）加強基礎知識教學

由于三角函數中涵蓋的知識點比較繁雜，包括正弦函數、余弦函數、正切函數等，且每一個函數都有對應的函數圖像.教師要想真正提高學生的三角函數解題能力，只有全面加強基礎知識教學，使學生在學習中真正理解三角函數的定義、概念和內涵，才能為其日后解題奠定堅實的基礎.

（二）強化思維訓練，促進學生數學思維發展

針對初中數學三角函數的解題來說，學生在解題時需要通過轉化、抽象等方式，完成題目的解答.而這一過程對初中生的數學思維能力要求相對比較高.對此，在三角函數教學時，教師必須靈活開展課堂教學，促進學生數學思維能力的發展.一方面，數形結合.因為三角函數與三角形之間存在密切的聯系，在引導學生開展學習時，教師可充分借助數形結合思想，促使學生在“數形結合”中，深刻理解三角函數知識，數學思維也得到發展；另一方面，教師可充分利用多媒體信息技術，將其制作成為動態的課件，以便于學生在直觀的感知中，完成知識的內化與思維的發展.

（三）兼顧學習與練習，全面提高學生的三角函數解題能力

教師在培養學生三角函數解題能力時，不僅要加強理論知識的教學，而且應設置必要的練習題目，引導學生在針對性的練習中，逐漸掌握一定的解題技巧，形成一定的解題能力.同時，在這一過程中，教師應結合學生的實際情況，堅持“由易到難”的原則，為學生選擇針對性的練習題目，使得學生在層層遞進的三角函數練習中，通過分析與總結，深化三角函數解題技巧，并逐漸提高三角函數解題能力.

（四）推進循環教學，形成逐層推進的學習理念

培養和發展學生的三角函數解題能力，是一項艱巨的、系統化的工作.但是在具體的學習中，由于學生的知識、能力、思維之間存在顯著的差異，學生的三角函數解題能力參差不齊.對此，在優化課堂教學時，教師應努力轉變傳統的教學理念，基于層次化教學的方式，通過循循善誘的方式，引導學生在針對性的訓練中，獲得逐層發展與提升.

結 語

綜上所述，三角函數是初中數學的一大難點，也是中考的熱點.同時，這一部分知識的考查形式靈活多變，常常與其他的知識點結合在一起，具備一定的綜合性.基于此，教師在日常教學中，只有轉變傳統的解題教學模式，指向三角函數考查的方向，引導學生以多角度思考、解答，才能促使學生在多維度解題中，數學解題思維得到發展，數學解題能力得到提高.

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