基于函數(shù)思想的高中數(shù)學(xué)解題探究

朱坤密

【摘要】函數(shù)思想是解決數(shù)學(xué)問題的一種思維策略，培養(yǎng)學(xué)生基于函數(shù)思想解題的能力可有效發(fā)展學(xué)生思維，達(dá)到提高學(xué)生問題解決效率的目的.目前，部分學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的過程中時常會被復(fù)雜的公式、煩瑣的表象困擾，難以找到突破口，解題效率與質(zhì)量不盡如人意.為提高學(xué)生解題效率，發(fā)展學(xué)生思維能力，文章從函數(shù)思想在高中解題中的常用方法以及應(yīng)用意義出發(fā)，立足函數(shù)思想與數(shù)學(xué)解題的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，探討如何在不等式、數(shù)列、立體幾何等題型練習(xí)中應(yīng)用函數(shù)思想，降低解題難度.旨在幫助學(xué)生在函數(shù)思想的引領(lǐng)下，實(shí)現(xiàn)思維能力的發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想；高中數(shù)學(xué)；解題；教學(xué)策略

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，以問題為導(dǎo)向引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中能深化理論知識的理解，順利地完成知識的遷移與運(yùn)用.掌握數(shù)學(xué)意味著善于解題，函數(shù)思想貫穿學(xué)生高中學(xué)習(xí)的整個階段，在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生基于函數(shù)思想解決問題，不僅能幫助其利用函數(shù)將各個零散知識進(jìn)行串聯(lián)，構(gòu)建完善的知識體系，而且能提高學(xué)生的思維能力，使學(xué)生掌握舉一反三、一題多解等技能，對其后續(xù)學(xué)習(xí)發(fā)展大有裨益.因此，教師需要深入解析函數(shù)思想的基本內(nèi)涵，并結(jié)合高中生思維能力及教學(xué)內(nèi)容，完善解題教學(xué)形式，幫助學(xué)生靈活運(yùn)用，提高其解題能力.

一、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的常用方法

現(xiàn)階段在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，大部分教師在應(yīng)用函數(shù)思想解題時通常會采用整體法、遞推法及歸納假設(shè)法，為更好地發(fā)揮函數(shù)思想的價值引領(lǐng)，筆者對以上三種常用方法進(jìn)行解釋.

“整體”即為由內(nèi)在關(guān)系部分所組成的體系對象，各個組成部分之間存在某種聯(lián)系.整體法需要學(xué)生細(xì)致閱讀題目信息，明確數(shù)學(xué)問題整體與局部之間的關(guān)聯(lián)，基于整體角度對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行整合，使用函數(shù)思想進(jìn)行求解.此種方法對學(xué)生思維能力以及知識遷移能力具有較高要求.

遞推法通常適用于具有規(guī)律的數(shù)學(xué)題，學(xué)生可以利用函數(shù)思想結(jié)合題目中的線索，根據(jù)遞推關(guān)系構(gòu)建與之相應(yīng)的函數(shù)，如在高中階段常見的等差數(shù)列、等比數(shù)列等運(yùn)用遞推法，可提高解題效率.

部分?jǐn)?shù)學(xué)題目由于學(xué)生不了解其中的具體性質(zhì)，在解題過程中可以借助函數(shù)思想從整體角度出發(fā)進(jìn)行歸納與假設(shè)，得到結(jié)果后再以逆推的方法將結(jié)果帶入原式進(jìn)行驗(yàn)證.

二、在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用函數(shù)思想的意義

函數(shù)思想主要體現(xiàn)了處于變化中的量和量之間的關(guān)系.幫助學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣具有以下價值：基于函數(shù)思想解決問題可以通過函數(shù)的意義綜合不同知識點(diǎn)，使得函數(shù)成為主線串聯(lián)各知識點(diǎn)，幫助學(xué)生構(gòu)建更為完善的知識體系，掌握復(fù)雜數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)習(xí)效率；運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問題，可以幫助學(xué)生擺脫在過往解題過程中無序思考的問題，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，根據(jù)函數(shù)的本質(zhì)及概念探尋其與題目的內(nèi)在聯(lián)系，在解題中深化對相關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解；在解題教學(xué)中滲透函數(shù)思想可以幫助學(xué)生提高解題能力，使學(xué)生形成具備運(yùn)用函數(shù)思想解題的意識，從多種角度探尋數(shù)學(xué)問題與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐漸養(yǎng)成一題多解、舉一反三的基本能力.

由此可見，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中滲透函數(shù)思想，能幫助學(xué)生在提高解題能力的同時形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，構(gòu)建知識體系，對其核心素養(yǎng)的形成具有積極的促進(jìn)作用.因此，教師需要及時轉(zhuǎn)變自身教育理念，向?qū)W生傳授函數(shù)思想解題的基本方法，幫助學(xué)生形成良好的自主探究意識.

三、在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用函數(shù)思想的策略

（一）函數(shù)思想在不等式問題中的應(yīng)用

不等式是學(xué)生接觸高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初始章節(jié)，也是學(xué)生接觸一元二次函數(shù)的重要基礎(chǔ).為幫助學(xué)生提高問題解決能力，在解決不等式相關(guān)問題的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧初中階段學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)與不等式知識，從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的求解過程，建立起不等式與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而利用函數(shù)的觀點(diǎn)將其統(tǒng)一整合，凸顯數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系性與整體性，便于學(xué)生輕松解決不等式問題.

以人教版A版數(shù)學(xué)教材必修第一冊“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”一課教學(xué)為例，在本課學(xué)習(xí)中，教師可以設(shè)計(jì)這樣的一道問題：

某知名化妝品工廠引進(jìn)了一款全新的美白產(chǎn)品，已知這條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量x（件）與創(chuàng)造的價值y（元）存在y=-2x2+220x的函數(shù)關(guān)系.若該工廠老板想在“雙十一”期間，利用一周實(shí)現(xiàn)該產(chǎn)品6000元以上創(chuàng)收，則工廠這一周內(nèi)大約需要產(chǎn)生多少件該產(chǎn)品？

解析 在解決此問題的過程中，教師首先應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)讀題，整理重要線索，根據(jù)題意得到不等式-2x2+220x>6000，并通過移項(xiàng)得出x2-110x+3000<0.然后，教師可以指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“方程x2-110x+3000=0，Δ=100>0，方程有兩個實(shí)數(shù)根x1=50，x2=60”，運(yùn)用函數(shù)思想，畫出二次函數(shù)y=x2-110x+3000的圖像（如圖1）：

結(jié)合圖像教師可以指導(dǎo)學(xué)生主求解，得到不等式解集{x|50

在解決不等式相關(guān)問題的過程中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生基于函數(shù)思想進(jìn)行解題，可以幫助學(xué)生進(jìn)一步體會利用函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)一方程及不等式的數(shù)學(xué)思想方法，從而有效提高學(xué)生解決問題的質(zhì)量與效率.

（二）函數(shù)思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用

近年來，高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)數(shù)列問題，許多學(xué)生在計(jì)算過程中極容易陷入慣性思維，出現(xiàn)結(jié)果計(jì)算失誤從而導(dǎo)致丟分的問題.基于這一情況，在講解數(shù)列問題的過程中，教師可以利用函數(shù)思想，指導(dǎo)學(xué)生將數(shù)列視為一種特殊的函數(shù)，將數(shù)列中的數(shù)字視為自變量，根據(jù)函數(shù)思想當(dāng)自變量不斷增大時便可以得到相應(yīng)數(shù)值的函數(shù)，最后根據(jù)圖像完成數(shù)列問題的解答.

以人教版A版數(shù)學(xué)教材必修第二冊“等差數(shù)列”一課教學(xué)為例，在講解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式時，教師利用一次函數(shù)知識指導(dǎo)學(xué)生完成對通項(xiàng)公式an=a1+（n-1）d的記憶，可為學(xué)生提供了這樣的一道問題，并指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想求解：

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=10，公差d=-2，求Sn的最大值，以及取得最大值時n的值.

數(shù)列問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)項(xiàng)目，引導(dǎo)學(xué)生使用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，可以幫助學(xué)生避免在復(fù)雜的運(yùn)算中迷失方向，借助函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以清晰的圖像高效且迅速地解決此類問題，從而在訓(xùn)練中提高解題準(zhǔn)確率，為學(xué)生后續(xù)參與高考做好準(zhǔn)備.

（三）函數(shù)思想在立體幾何中的應(yīng)用

在解答立體幾何相關(guān)問題的過程中，為幫助學(xué)生掌握函數(shù)思想在解析幾何解題過程中的應(yīng)用，教師可以發(fā)揮技術(shù)手段的優(yōu)勢，整理并搜集其他地區(qū)的高考試題或模擬練習(xí)題，幫助學(xué)生在訓(xùn)練中了解題型的特點(diǎn)，掌握良好的解題技巧，提高自身解題能力.

以人教版A版數(shù)學(xué)教材必修第二冊“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”一課教學(xué)為例，在本課教學(xué)中，教師可向?qū)W生提供了2012高考真題江西卷中的一道問題：

如圖3，已知正四棱錐S？ABCD所有的棱長都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記SE=x（0

在立體幾何中運(yùn)用函數(shù)思想解決相關(guān)問題，能夠幫助學(xué)生更好地掌握幾何知識，但是由于立體幾何時常出現(xiàn)在大題中，運(yùn)用函數(shù)思想解題計(jì)算量相對較大，因而教師在指導(dǎo)學(xué)生訓(xùn)練的過程中也要注意對學(xué)生耐心、專注力的培養(yǎng)，防止其出現(xiàn)計(jì)算失誤等情況，影響其數(shù)學(xué)成績.

結(jié) 語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中滲透函數(shù)思想，能夠幫助學(xué)生掌握科學(xué)的解題方法，提高自身思維能力，在函數(shù)思想的指引下構(gòu)建完善的知識體系.為提升解題教學(xué)質(zhì)量，教師應(yīng)深入分析函數(shù)思想的具體內(nèi)涵，并結(jié)合高中生的思維能力以及教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)計(jì)，保障每一名學(xué)生都能夠在良好的學(xué)習(xí)環(huán)境中取得收獲，積累知識.相信在廣大教師的共同努力下，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)質(zhì)量將會得到穩(wěn)定提升，學(xué)生能夠通過解題訓(xùn)練提高數(shù)學(xué)成績，發(fā)展自身綜合能力.

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