高職考數(shù)列命題研究與課堂教學(xué)探索

陶彩南

【摘要】數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律、刻畫(huà)離散現(xiàn)象的基本數(shù)學(xué)模型，是認(rèn)識(shí)連續(xù)現(xiàn)象與微積分學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用.其研究過(guò)程還蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有著不可忽視的作用，因此數(shù)列不僅是中職數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高職考重點(diǎn)考查的內(nèi)容.基于此，文章分析了近五年浙江省高職考數(shù)列試題考查的內(nèi)容和命題思路，明確核心考點(diǎn)，明晰命題軌跡，把握試題難度，并給出了一些數(shù)列教學(xué)的建議，以期助力課堂精準(zhǔn)施教.

【關(guān)鍵詞】高職考；數(shù)列專題；考查內(nèi)容；命題思路；教學(xué)建議

引 言

高職考中的數(shù)列試題緊扣《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2020年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》），圍繞求數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和兩類基本問(wèn)題，遵循“基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的命題原則，落實(shí)“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能.綜觀近五年的浙江省高職考數(shù)學(xué)試卷中對(duì)數(shù)列內(nèi)容的考查，考點(diǎn)分布合理，題型分值穩(wěn)定，難度層次分明，思想方法突出.在全面考查的同時(shí)突出了主干內(nèi)容，在注重基礎(chǔ)的同時(shí)著力情境創(chuàng)新和實(shí)際應(yīng)用，多層次、多角度地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為中職數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)揮了良好的導(dǎo)向作用.

一、命題內(nèi)容分析

（一）考點(diǎn)分布

近五年浙江高職考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)列考查的知識(shí)點(diǎn)具體如表1.試題通常以等差數(shù)列、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)列為依托，考查內(nèi)容涵蓋數(shù)列項(xiàng)與和的關(guān)系；等差（比）數(shù)列的判斷和性質(zhì)；等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式；利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)；數(shù)列求和；數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用等.

（二）題型分值

近五年浙江高職考數(shù)列內(nèi)容考查均有一道填空題和一道解答題，填空題4分，解答題10分，選擇題分值為3分.每年數(shù)列內(nèi)容考查總分值在14～17分之間，占比10%左右，分值基本穩(wěn)定.

（三）難度層次

2019年開(kāi)始數(shù)列內(nèi)容命題方向雖略有變化，但考查難度層次仍然分明.填空題、選擇題仍以容易題為主，填空題位于試題靠前位置，主要考查等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)以及它們的中項(xiàng)等內(nèi)容；而解答題以較難題為主，一般設(shè)2～3個(gè)小題，基本上安排在壓軸題或倒數(shù)第二題的位置.

（四）思想方法

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的概括.近五年高職考試題在加強(qiáng)對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能考查的基礎(chǔ)上，也加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)基本思想和基本方法的考查.在考查求數(shù)列通項(xiàng)和數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，主要運(yùn)用了函數(shù)與方程思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，重點(diǎn)考查公式法、累加法、構(gòu)造法、待定系數(shù)法等求數(shù)列的通項(xiàng)，重點(diǎn)考查公式法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等數(shù)列求數(shù)列的和，充分體現(xiàn)了考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.

二、命題思路分析

探究數(shù)列試題的命制規(guī)律，一方面能幫助教師分析試題的來(lái)龍去脈，另一方面能幫助學(xué)生明晰試題特點(diǎn)，從而有效提升教師的課堂教學(xué)水平，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.筆者通過(guò)對(duì)近五年高職考數(shù)列試題進(jìn)行分類整理，發(fā)現(xiàn)數(shù)列試題緊扣《課標(biāo)》，著意將數(shù)學(xué)知識(shí)、能力和素質(zhì)考查融為一體，全面檢測(cè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).試題強(qiáng)調(diào)章節(jié)特點(diǎn)，“關(guān)注基礎(chǔ)、突出應(yīng)用、適度創(chuàng)新”，很好地發(fā)揮了檢驗(yàn)和選拔的作用.近五年高職考數(shù)列從“基礎(chǔ)性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”命題原則出發(fā)，圍繞“求數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和”兩類基本問(wèn)題進(jìn)行命制，命題方向可以歸納為以下三種類型：

（一）立足兩類基本數(shù)列，突出基本量思想

立足兩類基本數(shù)列的解答題，解題思路相對(duì)比較簡(jiǎn)單.只要熟練掌握兩類基本數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，利用基本量思想構(gòu)造方程（組）就可以進(jìn)行解答.求解這種類型題目時(shí)，學(xué)生需要具備一定的運(yùn)算求解能力，中職生略有欠缺，教師在平時(shí)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)簡(jiǎn)化數(shù)列運(yùn)算的策略指導(dǎo).

（二）建構(gòu)數(shù)列模型，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性

數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，在日常生活中存在大量與數(shù)列密切相關(guān)的問(wèn)題，如銀行計(jì)息問(wèn)題、人口增長(zhǎng)問(wèn)題、植樹(shù)造林問(wèn)題、養(yǎng)老金問(wèn)題等都可運(yùn)用數(shù)列模型進(jìn)行分析，并予以解決.《課標(biāo)》指出，中職數(shù)學(xué)課程具有基礎(chǔ)性、發(fā)展性、應(yīng)用性和職業(yè)性特點(diǎn)，為此教學(xué)中要突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.2019年、2021年浙江高職考數(shù)學(xué)試題都涉及了數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題.數(shù)列應(yīng)用以生產(chǎn)、生活實(shí)際為試題情境，要求學(xué)生運(yùn)用數(shù)列相關(guān)知識(shí)、思想和方法對(duì)實(shí)際問(wèn)題建構(gòu)數(shù)列模型，進(jìn)而解決問(wèn)題.重點(diǎn)考查學(xué)生的閱讀能力、推理論證能力、抽象概括能力和運(yùn)算求解能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例2 （2019·浙江高職考·34）體育場(chǎng)北區(qū)觀眾席共有10500個(gè)座位.觀眾席座位編排方式如圖1所示，由內(nèi)而外依次記為第1排、第2排、……，從第2排起，每一排比它前一排多10個(gè)座位，且最后一排有600個(gè)座位.

（1）北區(qū)觀眾席共有多少排？

評(píng)析 本題以教材引例為背景，建立等差數(shù)列模型，難度中等，不僅考查等差數(shù)列的相關(guān)概念、方程思想，而且考查學(xué)生的建模能力和運(yùn)算求解能力.

第（1）小題主要利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式構(gòu)造方程組求解；第（2）小題利用數(shù)列遞推公式，通過(guò)賦值依次求出數(shù)列的項(xiàng).

應(yīng)用類數(shù)列的解題思路：首先仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意；接著根據(jù)題設(shè)條件，建立相應(yīng)的數(shù)列模型（如等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合模型、遞推數(shù)列模型等）；再利用相關(guān)數(shù)列知識(shí)定型解模；最后將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中進(jìn)行檢驗(yàn).其中建模是關(guān)鍵，先要分析研究實(shí)際問(wèn)題中對(duì)象的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，再找出所含元素的數(shù)量關(guān)系，從而確定數(shù)列模型.解模是保證，解模的過(guò)程就是運(yùn)算的過(guò)程，根據(jù)所確定模型選用合理方法進(jìn)行求解.

（三）引入圖形數(shù)列，凸顯創(chuàng)新性

2020年數(shù)列解答題出現(xiàn)圖形數(shù)列，2023年再次出現(xiàn)，圖形數(shù)列已成為高職考數(shù)列命題的一個(gè)方向.學(xué)生雖接觸過(guò)三角形數(shù)、正方形數(shù)、謝爾賓斯基三角形等一些圖形數(shù)列，但碰到此類題型，學(xué)生還是比較畏懼的.圖形數(shù)列以圖形命制數(shù)列問(wèn)題，它是將一些數(shù)據(jù)按照一定的規(guī)律以圖形方式呈現(xiàn)出來(lái).解題關(guān)鍵是充分挖掘圖形所提供的信息特征，讀懂圖形中蘊(yùn)含的數(shù)與數(shù)之間關(guān)系，通過(guò)觀察、分析、歸納和猜想的方法，把圖形中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題求解.主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言運(yùn)用能力、推理論證能力以及數(shù)據(jù)處理能力.

圖形類數(shù)列解題思路：尋找圖形規(guī)律是關(guān)鍵，運(yùn)用數(shù)列知識(shí)是基礎(chǔ).圖形中的數(shù)列問(wèn)題，一般是由于圖形反復(fù)的相似的作圖引起的，為此處理這類問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵是尋求第n+1次作圖與第n次作圖之間的數(shù)量關(guān)系，導(dǎo)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系才有可能判斷這數(shù)列是等差還是等比數(shù)列或是其他形式的數(shù)列.

三、教學(xué)探索

基于上述命題分析，筆者對(duì)于數(shù)列的教學(xué)提出如下建議：

（一）明晰命題特點(diǎn)，把握復(fù)習(xí)方向

高職考試題既是服務(wù)選材的“尺”，又是引導(dǎo)教學(xué)的“旗”.因此，教師要深入研究高職考試題，探尋命題內(nèi)容、難度和題型等線索，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，總結(jié)規(guī)律求推廣.通過(guò)命題方向分析，發(fā)現(xiàn)近五年高職考數(shù)列解答題主要側(cè)重上述三種類型題型方向，復(fù)習(xí)時(shí)必須重點(diǎn)關(guān)注，不僅要讓學(xué)生了解三種類型數(shù)列問(wèn)題，掌握其解題思路和求解策略，更要培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想分析、解決問(wèn)題的能力.除此之外，考慮數(shù)列試題的形式多樣，復(fù)習(xí)時(shí)還要關(guān)注數(shù)列與其他主干知識(shí)交匯的命題方向，如將數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，拓展數(shù)列與其他數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)要適度關(guān)注以“數(shù)表”為載體的數(shù)列問(wèn)題、新定義數(shù)列的研究等，以提高學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)列知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

（二）切實(shí)回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)

通過(guò)對(duì)近五年高職考數(shù)列試題分析，部分高職考數(shù)列試題在課本中均能找到“題根”，有對(duì)例題、習(xí)題改編而成的，也有對(duì)例題、習(xí)題拓展或延伸的等結(jié)論進(jìn)行改造.一方面要重視課本上一些數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，挖掘其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.如數(shù)列試題中常考的累加法、錯(cuò)位相減法等方法，都源于課本中等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.復(fù)習(xí)時(shí)，教師要強(qiáng)調(diào)這些公式產(chǎn)生時(shí)涉及的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)思想與方法，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)這些方法的核心思想；另一方面要加強(qiáng)對(duì)課本例題、習(xí)題的研究與再創(chuàng).課本中的例、習(xí)題都由編者經(jīng)過(guò)精挑細(xì)選，內(nèi)涵豐富，且絕大多數(shù)課本題具有可變性.教師可通過(guò)一題多變，讓學(xué)生系統(tǒng)、全面地掌握知識(shí)，讓學(xué)生在典型例題習(xí)題的變式、拓展、遷移和運(yùn)用中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維和能力的提高.

（三）注重問(wèn)題導(dǎo)向，提高關(guān)鍵能力

研讀高職考數(shù)列真題，發(fā)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的數(shù)列高職考試題需要學(xué)生扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底和必備的關(guān)鍵能力.由于學(xué)生對(duì)解決數(shù)列問(wèn)題所需的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)相對(duì)欠缺，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)列學(xué)不好也考不好.因此，教學(xué)中教師要以上述問(wèn)題為導(dǎo)向，通過(guò)教學(xué)策略優(yōu)化提升學(xué)生關(guān)鍵能力.

1.強(qiáng)化運(yùn)算策略，提高學(xué)生運(yùn)算求解能力

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)列一章基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，強(qiáng)化通性通法在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用，注重基本運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率；引導(dǎo)學(xué)生圍繞所求目標(biāo)思考探求，通過(guò)觀察與已有知識(shí)或方法的聯(lián)系，把握運(yùn)算方向，提高運(yùn)算的敏捷性；在數(shù)列運(yùn)算中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法與運(yùn)算技能的有機(jī)結(jié)合，優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算的高效性.

2.合理利用素材，培養(yǎng)學(xué)生推理認(rèn)證能力

邏輯推理的素材廣泛存在于教材中，教學(xué)中教師要合理利用這些素材培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理意識(shí)，充分挖掘與實(shí)際生活相關(guān)的邏輯推理素材，創(chuàng)設(shè)需要使用推理的數(shù)學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、類比，猜想數(shù)列通項(xiàng)，培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力，促進(jìn)學(xué)生理性思維發(fā)展.

3.加強(qiáng)審題策略和數(shù)列模型意識(shí)指導(dǎo)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力

解決數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題對(duì)中職生的能力要求較高，絕大多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)列應(yīng)用題存在一定的畏懼心理，尤其是審題和建模兩個(gè)環(huán)節(jié).針對(duì)部分學(xué)生不會(huì)審題或?qū)忣}不到位，教師可利用總分關(guān)系解構(gòu)文本內(nèi)涵，強(qiáng)化學(xué)生閱讀理解能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力培養(yǎng)；通過(guò)數(shù)列微專題，指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握數(shù)列的幾種常見(jiàn)模型及其特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)重點(diǎn)在“如何讓學(xué)生想得到”上下功夫，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)列的知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

結(jié) 語(yǔ)

總之，數(shù)列試題千變?nèi)f化，但考查的數(shù)列基本知識(shí)、思想方法和思維策略不會(huì)改變，教師應(yīng)根據(jù)數(shù)列章節(jié)特點(diǎn)，優(yōu)化課堂教學(xué)策略，提升學(xué)生學(xué)好數(shù)列的關(guān)鍵能力，實(shí)現(xiàn)“建構(gòu)知識(shí)、提升能力、培育素養(yǎng)”的價(jià)值追求.

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