基于多代理模型的離心葉輪高效優(yōu)化設計方法

劉基盛　計良　李威　賈志新　成金鑫　方鵬程

摘要：針對自動優(yōu)化設計時迭代過多、耗時過長等問題，建立了基于多代理模型優(yōu)化算法的離心壓氣機葉片高效尋優(yōu)模型，研究了全局/局部模型管理策略和樣本填充方法，對比分析了多代理模型與常用的元啟發(fā)式優(yōu)化算法（粒子群算法、多島遺傳算法等）的綜合性能，驗證了多代理尋優(yōu)模型的高效性。離心葉輪優(yōu)化結果表明：等熵效率提高了0.73%，總壓比增大了0.18%，喘振裕度提高了1.1%；與經典粒子群算法相比，優(yōu)化時間縮短54.9%。

關鍵詞：離心葉輪；葉片幾何外形；高效尋優(yōu)；優(yōu)化算法；多代理模型

中圖分類號：TH122

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.08.003

Efficient Optimization Design Method of Centrifugal Impellers Based on Multi-surrogate Model

LIU Jisheng1 JI Liang2 LI Wei1 JIA Zhixin1 CHENG Jinxin1 FANG Pengcheng3

Abstract： Aiming at the problems of excessive number of iterations and time consumption in automatic optimization design， an efficient optimization search model for centrifugal compressor blades was established based on multi-surrogate model optimization algorithm. A global/local model management strategy and a sample filling method were studied. The comprehensive performance of multi-surrogate model and common meta-heuristic optimization algorithms（particle swarm algorithm， multi-island genetic algorithm， etc. ）were compared and analyzed， and the effectiveness of the efficient optimization search model was verified. The results of the centrifugal impeller optimization show that the isentropic efficiency is improved by 0.73%， the total pressure ratio is increased by 0.18%， and the surge margin is improved by 1.1%. Compared with the classical particle swarm algorithm， the optimization time may be reduced by 54.9%.

Key words： centrifugal impeller； blade geometry shape； efficient optimization seeking； optimization algorithm； multi-surrogate model

0 引言

離心壓氣機葉輪在工作時呈現大逆壓梯度和強三維效應等特征，這使得內部氣體流動較為復雜，容易造成能量損失。葉片幾何外形氣動優(yōu)化設計方法是實現葉輪機械高負荷高性能的重要技術手段，因此優(yōu)化算法是葉輪機械優(yōu)化設計領域研究的主要方向。

元啟發(fā)優(yōu)化算法（粒子群算法、進化算法等）［1-4］模仿自然界和人類社會領域中的相關行為、經驗和規(guī)則，采用迭代搜索方式求解復雜優(yōu)化問題，具有能跳出局部“陷阱”、獲取全局最優(yōu)解的優(yōu)勢，是目前葉輪機械優(yōu)化中研究和應用最為廣泛的智能算法。BASHIRI等［5］利用粒子群優(yōu)化算法（PSO）和計算流體動力學（CFD）對離心葉輪幾何外形進行優(yōu)化，使其效率提高了3.2%。孔慶國等［6］基于PSO算法和中弧線曲率控制方法對壓氣機葉片進行了優(yōu)化設計，優(yōu)化后的設計點總壓損失顯著降低。元啟發(fā)算法在實際應用工程的優(yōu)化中需遍歷整個尋優(yōu)空間，每次的數值模擬計算通常需要幾分鐘甚至幾小時，尋優(yōu)迭代至少需要上千次（昂貴計算），整個優(yōu)化流程耗時數十天甚至更長。劉基盛等［7］利用遺傳算法對離心壓氣機進行了全葉片優(yōu)化設計，雖然氣動性能改善明顯，但是迭代尋優(yōu)需要1200次，計算時間需要30天，評估耗時較長。

近年來，為減少中高維（大于20維）自動優(yōu)化設計時的迭代，提高尋優(yōu)效率，計算機領域發(fā)展了多代理模型優(yōu)化理論，將計算時間成本低廉的機器學習模型代替昂貴的模擬評估成為智能計算領域研究的熱點。集成多個具有不同特性的單一代理模型，可構建出普適性更強、近似精度更高的多代理模型［8-11］。因此，研究基于多代理模型算法的葉片優(yōu)化設計方法對解決實際工程中的“高耗時評估問題”具有積極意義。

1 優(yōu)化設計方法

如圖1所示，葉輪機械自動優(yōu)化設計流程如下：①對原始葉片幾何構型布局設計變量，并將設計變量進行參數化表達；②利用參數化建模方法生成新的葉輪幾何外形；③利用仿真軟件對新葉輪進行網格劃分和流場計算；④對新葉輪進行氣動性能評估，若滿足循環(huán)迭代條件則利用優(yōu)化算法更新設計參數，若不滿足迭代條件則退出循環(huán)程序，得到最佳葉輪；⑤重復步驟②～④。參數化建模和算法優(yōu)化是葉輪自動優(yōu)化設計過程中最重要的兩個環(huán)節(jié)。

1.1 參數化建模方法

傳統(tǒng)離心葉輪參數化方法存在設計變量多、構型靈活度差、葉型型線缺乏徑向約束等問題，因此本文采用雙Bezier曲面參數化方法［7］，即通過擾動Bezier曲面來控制葉片型面的形狀（Bezier曲面疊加的擾動量為0時，葉片生成面就是原始葉片型面）。該方法利用優(yōu)化變量在一維方向上的變化，可以實現三維葉片吸力面和壓力面的自由變形，有效減少了設計變量，并具有構型靈活、徑向約束和高階連續(xù)性等優(yōu)勢。

1.2 多代理模型優(yōu)化算法

代理模型的選取是建模技術的核心，不同的優(yōu)化問題需要匹配不同的近似模型，但無法預知哪種代理模型可以精確逼近真實模型，將精度較高的幾種代理模型進行加權組合可以解決選型問題，并能有效降低計算成本。常用的組分模型有多項式響應（polynomial response，PR）模型、Kriging模型和徑向基函數（radial basis function，RBF）模型［12］。

多代理模型優(yōu)化算法（multi-surrogate model optimization algorithm，MMOA）借鑒模型管理方法［13］，其流程如圖2所示，圖中，桔色框表示全局模型管理策略，綠色框表示局部模型管理策略，桔色箭頭表示利用全局策略得到的適應度評估值并進行樣本填充，綠色箭頭表示利用局部策略得到的適應度評估值并進行樣本填充。

（1）采用拉丁超立方采樣方法初始化5d（d為變量的維數）個樣本。對初始樣本的每個個體進行數值模擬計算得到適應評估值；基于初始樣本和計算結果構建全局多代理模型（multiple surrogate models，MSM）：

式中，y^MSM（x）為MSM的預測響應值；n為代理模型的總數；x為d維決策向量；y^i（x）為第i個單一代理模型的預測響應值；wi為第i個單一代理模型的權重；Eavg為n個模型的平均預測平方和；常數α、β為調整參數，推薦取α=0.05和β=-1；Ei為第i個代理模型的預測平方和；p為樣本數據總數；e^q為去除第q個數據后，剩余的p-1個數據構建出代理模型后對第q個數據進行預測的誤差平方和；yq－y^q為預測偏差；yq為第q個數據的實際值；y^q為代理模型對第q個數據的預測值。

其中，yUM（x）是在預測解x處組分模型之間的不確定度，即不同的兩個組分成員輸出的最大差值；訓練數據集Sk={（x1，y1），（x2，y2），…，（xk，yk）}的每組數據包括決策變量和計算得到的適應度評估值。若不確定性最大解為（xUMk+1，yUMk+1），則被添加到樣本數據集合Sk中，并 重新更新MSM。

（3）求解更新后MSM的全局最優(yōu)解：

并對其進行昂貴計算，獲得yGk+2，將（xGk+2，yGk+2）添加到數據集Sk+1并更新MSM。

（4）重復步驟（3），當MSM不能進一步改進時，將所有優(yōu)于初始樣本的數據添加到數據集SL，有利于求出局部最優(yōu)解，并建立一個基于少量數據集SL的多代理模型MSM_L，并求解y^MSM_L的預測最優(yōu)解：

對預測最優(yōu)解xL進行昂貴計算，得到適應度yL，將（xL，yL）添加到數據集S和SL，更新MSM和MSM_L。

（5）當局部模型管理不能進一步改進時，循環(huán)執(zhí)行步驟（2）～（5），直到總迭代次數達到11d。

為驗證MMOA昂貴計算問題中的優(yōu)化效果，將其與多島遺傳算法（MIGA）、粒子群（PSO）算法和差分進化（DE）算法在測試函數上進行對比。算法MMOA、MIGA、PSO和DE均執(zhí)行30次獨立重復性實驗，測試維度分別設為20、30、40，如表1所示。

以MMOA迭代11d次的運算結果作為基準值，記錄其他算法收斂到基準值時的迭代次數，實驗數據如表2～表4所示。由測試數據可知，中高維求解問題中，MMOA在評估次數上具有明顯優(yōu)勢，雖然耗時較多，但對于實際工程問題中動輒需數十天的模擬仿真計算，多出的運行時間可基本忽略，所以采用MMOA可以減少昂貴計算的迭代，大幅提高計算效率，改善求解質量。

2 離心葉輪氣動優(yōu)化設計研究

2.1 優(yōu)化對象

結合雙Bezier曲面參數化方法、MMOA及CFD技術，構建了額定工況下的離心壓氣機葉片高效優(yōu)化設計模型。研究對象為額定輸出功率100 kW、峰值轉速可達100 000 r/min的離心壓氣機葉輪，優(yōu)化對象為主葉片和分流葉片的幾何外形，端壁面形狀在優(yōu)化過程中保持不變。葉輪模型見圖3，氣動參數和幾何參數如表5所示。

2.2 優(yōu)化目標與約束條件

選取額定工況近峰值效率點為優(yōu)化工況點，在額定工況下通過尋優(yōu)葉片最佳幾何外形，使離

心壓氣機葉輪的等熵效率最大化，以葉片映射的單位Bezier曲面控制頂點為設計變量［7］，以總壓比不降低作為約束條件，目標函數和約束條件如下：

式中，ηROC為原始葉輪額定工況的等熵效率；xi為優(yōu)化控制變量，其上下限分別為xUi和xLi；πROC_opt、πROC_ori分別為葉輪的原始總壓比和優(yōu)化后總壓比。

目標函數和設計變量是隱形關系（“黑箱”問題）。“黑箱”問題的求解可采用隨機迭代優(yōu)化算法，即只關注輸入值和輸出值，擺脫了中高維復雜優(yōu)化設計問題對人為經驗的依賴。

2.3 數值計算方法

數值模擬技術已廣泛用于研究葉輪機械的內部流動［14-15］，本文采用NUMECA軟件進行CFD計算，湍流模型采用S-A一方程模型，時間離散采用四階顯式Runge-Kutta模型，同時采用具有二階和四階人工黏性項的有限體積中心差分格式控制空間離散化過程中的偽數值振蕩，利用多重網格、局部時間步長和隱殘差加快算法的收斂。

網格生成采用NUMECA中的Autogrid5模塊，主拓撲采用H＆I，葉尖間隙網格采用HO拓撲，近壁面第一層網格厚1 μm，量綱一的壁面距離Y+≤5，葉片表面和端壁設置為無滑移邊界條件，邊界條件如下：壓氣機進口總溫度為293 K，總壓為101 325 Pa，進口的方向設置為軸向，出口的背壓取平均靜壓，通過逐漸增大出口的背壓，使得從堵塞點向近喘振點推進計算，取第一個發(fā)散點之前的收斂點為近喘振點。為保證流場計算時的網格質量，對葉輪在額定轉速下單通道的網格獨立性進行了驗證。如圖4所示，103萬個網格和150萬個網格的計算結果基本一致，說明當網格總數N達到103萬時，再增多網格對氣動性能影響很小。為節(jié)約時間成本，后續(xù)優(yōu)化過程均選擇103萬網格的結構作為網格模板進計算，優(yōu)化時所有樣本數據的計算方法均采用相同的邊界條件和網格配置，生成的葉片網格如圖5所示。

在自動優(yōu)化過程中，NUMECA軟件的網格劃分和流場計算功能通過程序代碼調用實現：首先找出NUMECA軟件中網格模板和流場計算的配置文件路徑；然后將網格劃分、流場計算功能的.exe文件和配置文件，按圖6中的形式寫入.bat批處理文件中；在優(yōu)化算法每次進化出新的樣本數據后，得到新葉輪；最后，調用.bat批處理文件，完成網格劃分和流場計算，實現自動優(yōu)化。

2.4 優(yōu)化流程

雙Bezier參數化配置方法如下［7］：利用2個6×3階的單位化Bezier曲面對主葉片和分流葉片分別進行曲面參數化。如圖7所示，單位化Bezier曲面的ξ軸對應葉片翼展方向，η軸對應葉高方向，每個曲面在ξ方向上設7個控制頂點（0、0.1、0.3、0.5、0.7、0.9、1.0），在η方向上設4個點（0、0.4、0.7、1.0），以綠色壓力面上的控制頂點作為優(yōu)化變量，以Bezier曲面的法向為設計變量的尋優(yōu)方向，吸力面控制頂點（粉色）與壓力面控制

頂點（綠色）的變化保持一致，優(yōu)化變量的變化范圍如表6所示。

采用MMOA算法（參數配置見表7）、雙Bezier曲面參數化方法、CFD流場求解器求解等熵效率的最大值。圖8所示的基于多代理模型優(yōu)化技術流程如下：①采用拉丁超立方采樣設計初始化220個種群變量個體，生成220個不同葉片幾何構型的初始離心葉輪；②按照2.3節(jié)生成的網格模板，利用NUMECA軟件對離心葉輪進

行網格劃分；③流場計算采用NUMECA的Fine/Turbo模塊，對網格劃分完的離心葉輪進行氣動性能的模擬計算，得到適應度評估值，并將每個變量個體及其適應度評估值組成一組樣本數據，得到全局樣本數據集G；④基于全局樣本數據集G構建PR_G、Kriging_G和RBF_G模型和集成MSM_G模型，利用PSO算法快速求出MSM_G模型的不確定性最大樣本，對其進行雙Bezier曲面參數化生成新的離心葉輪，按照步驟②、③對新葉輪進行耗時的模擬評估，得到一組不確定性最大的樣本數據，將其填充到全局樣本集數據G，并更新PR_G、Kriging_G、RBF_G模型和集成MSM_G模型；⑤利用PSO算法快速求解出全局最優(yōu)樣本變量個體，并對其進行雙Bezier曲面參數化，生成新的離心葉輪，按照步驟②、③對新葉輪進行昂貴計算，得到一組全局最優(yōu)樣本數據，將其填充到全局樣本數據集G，并更新PR_G、Kriging_G、RBF_G模型和集成MSM_G模型；⑥重復步驟⑤，當全局最優(yōu)樣本不能進一步改進時，將所有優(yōu)于初始樣本的數據組成局部樣本數據集L，并構建PR_L、Kriging_L、RBF_L模型和集成MSM_L模型；⑦利用PSO算法快速求解出局部最優(yōu)樣本變量個體，對其進行雙Bezier曲面參數化，生成新的離心葉輪，按照步驟②、③對新葉輪進行昂貴計算，得到一組局部最優(yōu)樣本數據，將其填充到局部樣本數據集L和全局樣本集G，并更新PR_L、Kriging_L、RBF_L模型和集成MSM_L模型；⑧重復步驟⑦，當局部最優(yōu)樣本不能進一步改進時，自動循環(huán)步驟④～⑦，直到全局樣本數據達到440組，選取樣本數據中的最優(yōu)解并生成最佳葉輪幾何外形。

為對比MMOA與傳統(tǒng)算法的計算效果，利用葉輪機械常用的PSO算法對同一葉輪進行優(yōu)化設計。優(yōu)化流程中，除算法不同外，參數化方法、網格生成方法、數值計算模型、數值求解器、設計變量、設計空間等均保持不變，PSO的優(yōu)化流程如圖9所示，參數配置如表8所示。

2.5 優(yōu)化結果及分析

2.5.1 優(yōu)化前后氣動性能變化

分別采用MMOA和PSO對上述對象進行優(yōu)化，得到的實驗數據如表9、表10所示：由對比實驗數據可知，MMOA與PSO的優(yōu)化效果相近，但計算效率上有了大幅的提高，迭代減少了56%，運行總時間縮短了112h。這表明多代理模型優(yōu)化技術可解決離心壓氣機葉輪優(yōu)化設計過程中的昂貴計算難題。圖10是MMOA優(yōu)化前后氣動性能對比圖，結合表9可知，氣動性能曲線有了整體上移，額定工況的等熵效率提高了0.73%，質量流量增加了2.49%，總壓比增加了0.18%，喘振裕度提高了1.1%，優(yōu)化后氣動性能改善較為明顯，證明了該優(yōu)化方法的有效性。

2.5.2 優(yōu)化前后葉片幾何外形變化

優(yōu)化前后的離心葉輪主葉片和分流葉片幾何外形如圖11所示，沿著葉高方向，主葉片中下部分彎向壓力面，中截面基本不變，中上部分彎向吸力面；沿著葉高方向，分流葉片葉根部分彎向壓力面，中上部分彎向吸力面。葉型和葉片外形的變化勢必引起流道結構的變化，從而使流場結構和氣動性能發(fā)生改變。

2.5.3 流場分析

葉高10%處B2B流面的相對馬赫數如圖12所示，優(yōu)化后，區(qū)域A、B、C、D、E、F、G的相對馬赫數增大，低速區(qū)域減小，有利于減少逆壓梯度，使分離區(qū)延后。葉高10%處B2B流面的熵值如圖13所示，H1、H2、J區(qū)域的高熵值區(qū)域減小，主葉片壓力面和分流葉片吸力面之間通道的下游氣動效率改善明顯。

如圖14、圖15所示，MMOA優(yōu)化后的入口氣流匹配性增強，正攻角減小，相對馬赫數的最大值和高值區(qū)域均有所減小，激波損失降低。由主葉片靜壓分布曲線可知，優(yōu)化后吸力面的靜壓爬坡變緩，逆壓梯度減小，分離區(qū)延后，降低流動損失。

3 結論

（1）基于PR模型、Kriging模型和RBF模型創(chuàng)建了多代理模型優(yōu)化算法，利用在線驅動方法、模型管理策略及粒子群算法對樣本數據進行填充，獲得了高精度的預測模型。基于30次獨立重復性實驗和5個經典測試問題，對比分析了多代理模型優(yōu)化算法與常用元啟發(fā)式算法性能表現，實驗數據表明多代理模型優(yōu)化算法僅需11d次（d為設計變量維數）迭代即可得到理想解，明顯減少了迭代，驗證了多代理模型優(yōu)化算法高效求解較大規(guī)模優(yōu)化問題的有效性。

（2）建立了離心葉輪復雜曲面葉片幾何構型與Bezier曲面的映射模型，通過擾動Bezier曲面來控制葉片形狀，得到了新的葉片幾何構型。與傳統(tǒng)型線參數化相比，雙Bezier曲面參數化方法具有明顯的降維效果，利用少量設計變量即可實現葉片的靈活構型；增加了徑向約束，有利于生成光滑葉片。

（3）基于多代理模型技術、雙Bezier曲面參數化方法及計算流體動力學，構建了離心葉輪高效氣動優(yōu)化設計方法，以等熵效率最大化為優(yōu)化目標，求解了離心葉輪復雜曲面葉片的最佳幾何構型。優(yōu)化后，氣動性能曲線整體上移，綜合性能改善較為明顯：額定工況等熵效率提高了0.73%，總壓比增加了0.18%，喘振裕度增加了1.1%，流場結構得到優(yōu)化。對比分析了多代理模型優(yōu)化算法和粒子群算法的優(yōu)化結果，實驗數據表明多代理模型優(yōu)化算法可提高計算效率達54.9%，驗證了該優(yōu)化設計方法的時效性。

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（編輯 張 洋）

作者簡介：

劉基盛，男，1986年，博士。研究方向為數字化設計與制造、現代機械設計方法。發(fā)表論文10余篇。E-mail：liujisheng@ustb.edu.cn。

賈志新（通信作者），男，1968年，教授。研究方向為數字化設計與制造、智能制造、數控制造裝備設計及其可靠性技術。發(fā)表論文100余篇。E-mail：jiazhixin@me.ustb.edu.cn。

收稿日期：2022-10-27

基金項目：國家自然科學基金（51775036）；廣東省基礎與應用基礎研究基金（2022A1515110055）