淺談初中數(shù)學(xué)課堂中的變式教學(xué)

孫小強(qiáng)

（甘肅省莊浪縣水洛中學(xué)，甘肅莊浪 744699）

變式教學(xué)即通過提問方式或思維的改變來進(jìn)行教學(xué)，“變”是為了“不變”，是為了讓學(xué)生通過“變幻莫測”的題目來把握蘊(yùn)含在這些題目中不變的本質(zhì)，學(xué)會從不同的角度思考問題，從不同的視角來看待數(shù)學(xué)知識。教師要通過充足的變式教學(xué)來引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面看待數(shù)學(xué)知識，從而觸類旁通，熟練地應(yīng)用所學(xué)知識來解決實際問題。

一、秉持變式教學(xué)的一般原則

（一）目標(biāo)性原則

所有的教學(xué)方法都是為了既定的教學(xué)目標(biāo)服務(wù)的，只有能夠促進(jìn)教學(xué)目標(biāo)順利實現(xiàn)的教學(xué)方法與教學(xué)手段才是有效的，變式教學(xué)作為一種教學(xué)方式，理應(yīng)為了教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)服務(wù)，堅持目標(biāo)性原則。所謂目標(biāo)性原則，即將教學(xué)目標(biāo)作為變式教學(xué)的指導(dǎo)，為了實現(xiàn)一定的教學(xué)目標(biāo)而進(jìn)行變化。比如，教師可以為了揭示某一個數(shù)學(xué)法則來進(jìn)行變式，可以為了幫助學(xué)生深入理解某一概念來進(jìn)行變式，只有基于一定教學(xué)目標(biāo)的變式教學(xué)才是真正有效的變式教學(xué)，才能幫助學(xué)生打牢學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（二）漸進(jìn)性原則

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)要腳踏實地，這與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律也是相匹配的。漸進(jìn)性原則要求變式教學(xué)把握好“變”的度，以保證教學(xué)的有效性。漸進(jìn)性原則要求變式要關(guān)注前后知識的銜接。變式的變是將學(xué)生現(xiàn)在接觸的題目轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N樣式，讓學(xué)生結(jié)合學(xué)習(xí)過的知識來解題，因此變式要處理好新舊知識之間的關(guān)系，既要避免變化的幅度過小限制學(xué)生的思維，也要避免變化的幅度過大超出學(xué)生的能力。

（三）有效性原則

變式教學(xué)作為一種教學(xué)方法，其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用是為了提高教學(xué)效果，為課堂教學(xué)服務(wù)。也就是說，變式教學(xué)無論是對教學(xué)質(zhì)量的提升，還是對教學(xué)效率的提升，都要是有效的。有效性原則要求變式必須具有典型性。有些教師在應(yīng)用變式教學(xué)時很容易陷入一種怪圈兒，過于求新求變，追求變式的偏、難、怪。雖然這種變式的難度更大，但是在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中卻不常用，難以為學(xué)生提供普遍性的解題技巧，變式教學(xué)也就失去了本來的意義。同時，有效性原則要求變式必須具有針對性。一方面，變式要隨學(xué)生的學(xué)情而變。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是變式教學(xué)的對象，變式教學(xué)要以學(xué)生為“變”的出發(fā)點與落腳點，以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。另一方面，變式要隨具體的教學(xué)內(nèi)容而變。變式教學(xué)旨在通過提問方式、思考方式等的不同來鍛煉學(xué)生的知識應(yīng)用能力。在面對不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容時，學(xué)生面臨的問題、出現(xiàn)的錯誤經(jīng)常具有相似性，從這一角度入手，將這些教學(xué)內(nèi)容作為變式的焦點，能夠幫助學(xué)生減少在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)錯誤的可能性。尤其是針對一些容易混淆的知識點、重難點等，采用變式教學(xué)對同一知識點進(jìn)行各式各樣的變化，讓學(xué)生認(rèn)識到知識點的不同側(cè)面，往往會收到更好的應(yīng)用效果。

（四）主體性原則

變式教學(xué)應(yīng)將學(xué)生視為學(xué)習(xí)的主體，尊重學(xué)生的主體地位，讓變式教學(xué)服務(wù)于學(xué)生，這就是主體性原則。一方面，主體性原則要求凸顯變式教學(xué)的探索創(chuàng)新性。變式教學(xué)就是在變化中來發(fā)展學(xué)生的能力，如果在給出變式題目之后不給學(xué)生充分的思考時間，那么變式的意義也就蕩然無存了。故而，變式教學(xué)應(yīng)該為學(xué)生提供更為充分的思考時間與空間，挖掘?qū)W生的創(chuàng)造潛能，讓學(xué)生逐步突破思維障礙，多學(xué)多思，構(gòu)建起自己的知識體系。另一方面，主體性原則要求強(qiáng)調(diào)學(xué)生在變式教學(xué)中的過程參與。出于此要求，教師要讓學(xué)生參與到變式教學(xué)過程中，讓學(xué)生自己完成變式，自己發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，在動腦、動口、動手的過程中去主動獲取知識。

二、掌握變式教學(xué)的一般分類

（一）數(shù)學(xué)形式變式

形式與內(nèi)容是一個數(shù)學(xué)知識點的構(gòu)成要素，顧名思義，數(shù)學(xué)形式變式就是知識點外在形式變化，而知識點的內(nèi)容不發(fā)生改變的變式。

其一，是數(shù)學(xué)語言變式，即用其他的方式來對數(shù)學(xué)概念、公式等進(jìn)行重新表述。教材中所給出的數(shù)學(xué)概念一般都是十分規(guī)范且凝練的，學(xué)生要想理解這些數(shù)學(xué)概念，就要將其轉(zhuǎn)化成自己的語言。學(xué)生用自己的語言來重新表述數(shù)學(xué)概念的過程就是數(shù)學(xué)語言的變式。

其二，是數(shù)學(xué)圖形變式，即將一些基本的圖形經(jīng)過一定的變化組成非基本的圖形。比如，在學(xué)習(xí)相似三角形時，教材中給出了幾個典型的相似三角形的基本圖形，但是在實際做題過程中，題目絕大多數(shù)時候不會直接用這些基本的圖形來出題，而是要將其轉(zhuǎn)化為非一般圖形的形式，如果學(xué)生不能搞清楚其中的變化方式，就不能正確解題。因而，在面對這一類型的變式時，教師首先要向?qū)W生講解題目中所給出的這些圖形是如何由基本的圖形轉(zhuǎn)變而來的，讓學(xué)生了解其中的變化規(guī)則。然后，再要求學(xué)生按照該變化規(guī)則不斷通過變式來得到新的變式圖形，達(dá)到學(xué)一個會一類的效果。

（二）數(shù)學(xué)內(nèi)容變式

數(shù)學(xué)內(nèi)容變式與數(shù)學(xué)形式變式相對，主要包括以下幾種形式。

其一，是數(shù)學(xué)概念的變式，即通過數(shù)學(xué)圖形的變化來幫助學(xué)生更為深刻地理解數(shù)學(xué)概念的變式。比如，三角形的高是初中數(shù)學(xué)重點學(xué)習(xí)內(nèi)容，當(dāng)圖形發(fā)生變化時，三角形某一邊的高就會不同。在向?qū)W生講授了三角形高的確定方式之后，再向?qū)W生展示不同的三角形，并要求學(xué)生畫出三角形的高，能夠幫助學(xué)生更好地理解三角形高的概念，掌握三角形高的畫法。

其二，是數(shù)學(xué)定理的變式。數(shù)學(xué)定理的變式就是找到定理的等價命題，或者探討定理的逆命題是否成立，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用十分廣泛。比如，初中階段涉及的一些判定定理與性質(zhì)都是緊密相關(guān)的，具體如等腰三角形的判定定理與性質(zhì)之間就是互逆命題的關(guān)系，這顯然是成立的。但是也有一些是不成立的，最為典型的就是“對頂角相等”的逆命題就不成立，因為不是所有相等的角都是對頂角。很多時候，學(xué)生在解題時會存在想當(dāng)然的心理，認(rèn)為已知定理的逆命題也是同樣成立的，因此在應(yīng)用所謂的“逆命題”來求解數(shù)學(xué)題目時，就會造成錯誤。因而在變式教學(xué)中指出數(shù)學(xué)定理與其逆命題之間的關(guān)系，能夠有效避免學(xué)生出錯。

其三，是數(shù)學(xué)公式的變式。談到數(shù)學(xué)公式，不少學(xué)生認(rèn)為公式是不可變化的，因而在解題時一旦遇到與自己認(rèn)知有些出入的公式就不知所措，進(jìn)而影響自己的判斷。針對這一問題，在變式教學(xué)中，教師要對學(xué)習(xí)的某一公式進(jìn)行變式。以平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2為例，教師在組織變式教學(xué)時，可以進(jìn)行系數(shù)變化，將其變?yōu)椋?m+3n）（2m-3n）；還可以進(jìn)行項數(shù)變化，將其變?yōu)椋╝+b+c）（a-b-c），這樣的變化即使是已經(jīng)熟練掌握了平方差公式的學(xué)生在剛開始看到時也不能準(zhǔn)確地將其視為平方差公式的變式。但是事實上，很多時候在解題時都要用到這些變式。因而在組織變式教學(xué)時，教師可以就這些變式的形成過程進(jìn)行推導(dǎo)與展示，一方面深化學(xué)生對平方差公式的認(rèn)識，另一方面鍛煉學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展。

（三）數(shù)學(xué)過程變式

其一，是類比變式，能夠幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)含的隱性內(nèi)容。比如，在學(xué)習(xí)“分式的意義”時，如果說一個分式的值為零，那么除了需要考慮該分式的分子為零的同時，還要考慮分式的分母不能為零的情況。但是在通常情況下，多數(shù)學(xué)生都能想到分子為零，卻容易忽略分母不能為零，影響了做題的正確性。教師可以進(jìn)行變式訓(xùn)練，如在完成一個不需要考慮分母不為零的情況也能做對的題目之后，更改分母的形式，分子不變，這個時候如果不考慮分母不為零的情況，學(xué)生計算出來的結(jié)果就是錯誤的，這樣才能警醒學(xué)生，達(dá)到變式教學(xué)的目的。

其二，是模仿變式，主要是用來幫助學(xué)生更為快速地掌握數(shù)學(xué)的基本方法。在針對數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)設(shè)計變式訓(xùn)練時，教師首先要按照常規(guī)的數(shù)學(xué)方法來設(shè)計題目，之后再更改常規(guī)題目中的具體條件或是提問方式，以提高該數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用難度。教師還可以逐漸增加數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用難度，以幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)題目的求解過程中熟練地掌握數(shù)學(xué)方法。

（四）數(shù)學(xué)應(yīng)用變式

數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的最終目的，尤其是在課程改革背景下，學(xué)生的知識應(yīng)用能力成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分，因而變式教學(xué)也要關(guān)注應(yīng)用層面，通過數(shù)學(xué)應(yīng)用變式來提升變式教學(xué)的效果，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)知識靈活地解決現(xiàn)實生活中遇到的問題。

其一，是解法變式。數(shù)學(xué)方法能夠為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)提供一般規(guī)律，但是在實際應(yīng)用過程中卻并不是一成不變的，因此針對數(shù)學(xué)方法的變式教學(xué)也是數(shù)學(xué)過程變式的重要組成部分。一方面，在初中數(shù)學(xué)課堂上，教師通常會詢問學(xué)生還有沒有其他解法，這就表明數(shù)學(xué)題目很多時候有兩種及兩種以上的解決方法，這就是一題多解變式。比如，三角形全等的判定有很多方法，在證明某一三角形全等時，學(xué)生可以根據(jù)題目中給出的條件來選擇三角形全等的判斷方法，這就是一題多解變式。另一方面，數(shù)學(xué)方法具有一般性與普遍性，因而也就有一法多用變式。該數(shù)學(xué)方法是在具體的解題中經(jīng)過反復(fù)實踐被提煉與總結(jié)出來的，能夠應(yīng)用在其他題目中，因此也就成為一種典型的解題方法。比如我們常常說的換元法，就是典型的一法多用變式。

其二，是內(nèi)容變式。解法變式的題目本身并沒有發(fā)生變化，但是內(nèi)容變式的題目本身卻發(fā)生了變化，這變化可能是提問方式上的，可能是問題的條件上的，也可能是問題的結(jié)論上的，這些都是內(nèi)容變式經(jīng)常會出現(xiàn)的情況。對內(nèi)容變式進(jìn)行細(xì)分，又可以分為以下幾個變式類型。一是條件變式。在數(shù)學(xué)題目中所給出的已知條件都是在一定的范圍中的，當(dāng)所給定的范圍發(fā)生變化時，已知條件也就發(fā)生了變化，而與條件所對應(yīng)的結(jié)果也就自然而然地發(fā)生變化。但是從本質(zhì)上來說，題目類型仍然是相同的，只是條件發(fā)生了變化。選擇這樣的變式類型來進(jìn)行變式教學(xué)，能夠幫助學(xué)生在反復(fù)的變式練習(xí)中總結(jié)出該類型題目的解題方法。二是結(jié)論變式。結(jié)論是數(shù)學(xué)題目的靈魂，學(xué)生需要根據(jù)結(jié)論追本溯源，通過轉(zhuǎn)變問題結(jié)論，學(xué)生的切入點就會發(fā)生改變。在執(zhí)果索因的過程中，學(xué)生往往會嘗試以一種新的思維方式來看待這一問題，這種變式也是變式教學(xué)中常見的變式類型，教師要根據(jù)具體題目類型來確定變式教學(xué)方法。比如，如果是綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)題目，教師就不能直接從大處著眼來組織變式教學(xué)，而是要將其分解為幾個基本問題，強(qiáng)化題目本身的遞進(jìn)性，降低綜合性題目的難度。三是條件結(jié)論互換變式。該類型的變式與條件變式以及結(jié)論變式存在某種相似性，旨在鍛煉學(xué)生的逆向思維，通過條件與結(jié)論的緊密關(guān)聯(lián)來內(nèi)化知識，激活學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

其三，是題型變式。題型變式是比較基礎(chǔ)的一種變式，也是初中數(shù)學(xué)階段經(jīng)常會遇到的一種變式，就是將數(shù)學(xué)問題用不同的方式呈現(xiàn)出來。這種變式與形式變式存在相似性，只是問題外在形式的變化，而不涉及題目本質(zhì)的變化。比如，我們可以將一個經(jīng)常以證明題形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為計算題的形式，可以將一個經(jīng)常以應(yīng)用題形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為填空題的形式，這些都是很基礎(chǔ)卻又很典型的題型變式，也是新課改背景下受到諸多關(guān)注的一種變式類型。

三、結(jié)語

變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用應(yīng)秉持萬變不離其宗的教學(xué)理念，透過千變?nèi)f化的外在形式，抽絲剝繭，找到數(shù)學(xué)問題最根本的解決方式。但是教師也應(yīng)該認(rèn)識到，世界上沒有萬能的教學(xué)方式，變式教學(xué)也是如此。教師要重視變式教學(xué)的應(yīng)用，但是卻不能迷信變式教學(xué)的應(yīng)用，不能為了變而變，而要顧及全體學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，以滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求與教師的教學(xué)需要為目的組織變式教學(xué)，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解更為深刻。